(共27张PPT)
2023
第25章 投影与视图
25.2 三视图
第二课时 三视图的应用
起航加油
知识梳理
1.棱柱：
如图1，这样的几何体叫做棱柱，它的上、下两个面叫做
_______（ 和 是互相______且是______的三
角形），其余各面叫做______，相邻侧面的交线叫做______
（各______ ， ， ______且______）.
底面
平行
全等
侧面
侧棱
侧棱
平行
相等
2.直棱柱和正棱柱：
（1）当侧棱______于底面多边形时，棱柱称为直棱柱，直棱柱的各个
侧面都是______.
垂直
矩形
（2）底面是__________的直棱柱叫做正棱柱．
正多边形
3. 三视图的应用：
（1）由三视图还原几何体；
（2）根据三视图进行计算.
课前自测
图2
1.图2是某几何体的展开图，则该几何
体是( ) .
D
A.长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.圆柱
图3
2.图3是某几何体的三视图，则该几何体
是( ) .
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
3.图5是图4所示的圆柱的主视图，则该圆柱底面圆的直径为___，高为___.
图4
图5
3
2
随堂演练
典型题析
知识点一 由三视图确定几何体
方法指导
由三视图想象几何体的技巧：
（1）多动手操作；
（2）熟练记忆一些简单几何体的三视图；
（3）多对比实物与视图，提高空间想象能力.
图6
例1 （绥化中考）已知某物体的三视图如图6，那么
与它对应的物体是( ) .
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
思路点拨 由三视图可以看出，这是一个组合体，再分别判断该组合体上、下两部分的形状.
解：由三视图可以看出，它对应的物体是一个组合体.
上面部分的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，
因此上面部分为圆柱；下面部分的主视图、左视图、
俯视图都是矩形，因此下面部分是长方体. 又由俯视图可以看出，圆柱的底面直径与长方体的宽相等，因此可以判断它对应的物体如选项B.
知识点二 根据三视图进行计算
方法指导
根据三视图进行计算的关键是借助三视图确定几何体的形状，再明确相应的线段长，最后根据几何体的特征进行计算.
图7
例2 （一题多解）如图7，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，求这个几何体的表面积.
思路点拨
解：通过三视图，想象出几何体的形状如图8.
图8
解法一：上、下底面的面积和为 .
侧面积为 .
这个几何体的表面积为 .
解法二：上、下底面的面积和为 .
侧面展开后如图9.
几何体的侧面积为 .
这个几何体的表面积为 .
图9
当堂检测
图10
1.图10是某几何体的三视图，则该几何体
是( ) .
A
A.圆柱 B.球 C.圆锥 D.正四棱柱
2.由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图11，
那么构成这个几何体的小正方体的个数是___．
5
图11
3.图12是一个几何体的三视图（单位： ），则该几何体的侧面积是
____ ，体积是_ ___ .（结果保留 ）
图12
课后达标
基础巩固
图13
1.王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图13，
这个盒子的形状是( ) .
D
A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.三棱柱
图14
2.图14是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可能是
( ) .
A
A.&9& B.&10& C.&11& D.&12&
图15
3.图15是一个几何体的三视图，根据图中数
据计算，这个几何体的表面积是( ) .
A
A. B. C. D.
4.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的三视
图如图16，则搭成这个几何体的小正方体有___个.
4
图16
能力提升
图17
5.图17是一个几何体的三视图，若该几何体的主视图
是高为 的矩形,俯视图是边长为 的等边三角
形，则这个几何体的侧面积为____ .
18
图18
6.图18是一个物体的三视图的设计图纸（单位：
）.求该物体的体积和表面积.
解：由三视图可知，该物体为两个圆柱的组合体，上面小圆柱的底面直径为 ，高为 ；下面大圆柱的底面直径为 ，高为 .
故 ， .
拓展延伸
图19
7.图19是一个几何体的三视图，其主视图、左视图均
是底边长为 、腰长为 的等腰三角形.
（1）这个几何体的侧面展开图的形状是______,侧面
积为_ ____ .
扇形
图19
（2）有一只蚂蚁要从这个几何体的点 处出发，沿该几何体的表面爬到 的中点 处,请你求出蚂蚁爬行的最短路程.（结果保留 和根号）
解：由三视图可知，这个几何体是圆锥，将其侧面沿 展开，如图109，则线段 即为蚂蚁爬行的最短路程.设侧面展开图的圆心角为 ,则 .
图109
.
连接 ，则 为等边三角形.
又 为 的中点，
.
答：蚂蚁爬行的最短路程为 .
图109(共29张PPT)
2023
第25章 投影与视图
25.1 投影
起航加油
知识梳理
1.投影：一般地，利用阳光或灯光照射物体，在某个平面（地面、墙壁
等）上得到的______叫做物体的投影.
影子
2.平行投影和中心投影：
（1）由______的光线形成的投影是平行投影.
平行
（2）平行投影的特点
在同一时刻，不同物体的物高和影长________．
成比例
（3）由______（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影.
一点
3.正投影及其规律：
（1）在平行投影中，如果投影线______于投影面，那么这种投影称为
正投影.
垂直
（2）线段的正投影规律
平行长______，倾斜长______，垂直成______．
不变
缩短
一点
（3）平面图形的正投影规律
平行形______，倾斜形______，垂直成______.
不变
改变
线段
（4）几何体的正投影规律
一个几何体在一个平面上的正投影是一个__________.
一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的______.
平面图形
视图
课前自测
1.下列属于平行投影的是( ) .
A
A.太阳光下的树影 B.皮影戏
C.路灯下的人影 D.台灯下的手影
图1
2.如图1，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，
则它的正投影是( ) .
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
3.夜晚，小明从远处向一路灯走去，离路灯越近，他的影子越____（填
“长”或“短”）．
短
随堂演练
典型题析
知识点一 平行投影
方法指导
图2
（1）平行投影的特点是，在同一时刻的阳光
下，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影
长成比例.如图2，
.
（2）判断一个投影是不是平行投影的关键是看光线是否平行.若光
线平行，则所形成的投影是平行投影；反之，则不是.
图3
例1 如图3， 和 是直立在地面上的两根立
柱，已知 ，某一时刻， 在太阳光下
的投影长度 .
思路点拨
（1）在图中画出此时 在太阳光下的投影长度 .
图3
解: 如图4， 即为所求.
图4
图3
解：由题意，得 ，即 .
解得 .
答： 的长为 .
（2）在测量 的投影长度时，测量得 的投影长度 ，求
的长.
知识点二 中心投影
方法指导
解答中心投影问题的关键是确定点光源的位置，具体方法如下：物体上的一点与其投影上的对应点的连线即为光线（投影线），两条光线（投影线）的交点就是点光源的位置．
图5
例2 如图5，在同一盏路灯下，一堵墙
（用线段 表示）的影子是 ，小明
（用线段 表示）的影子是 ，在
处有一棵大树，它的影子是 .
思路点拨 （1）中心投影是由同一点发出的光线形成的，所以连接CA，FD并延长，交点的位置即路灯的位置.
（1）请确定路灯 的位置.
解：如图6，点 即为路灯的位置.
图6
（2）在图中画出表示大树的线段 .
解：如图6，线段 即为大树的高.
图6
思路点拨 （2）利用大树的影长 ，结合路灯的位置得出答案.
知识点三 正投影
方法指导
求正投影的关键是掌握正投影的规律.对于线段，只要确定线段两端点的正投影，即可得出线段的正投影;对于平面图形，只要确定构成平面图形的线段的正投影，即可得到平面图形的正投影;对于几何体，只要确定各面的正投影，即可得到几何体的正投影.
图7
例3 把一个正五棱柱按照图7的方式放置，当光线由正五棱柱
的正前方向后方照射时，正五棱柱的正投影是( ) .
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
思路点拨 根据投影的性质可得，当光线由正五棱柱的正前方向后方照射时，正投影的形状为3个矩形拼成的一个大矩形．
易错提示 此题中，当光线由物体正前方向后方照射时，除了产生该物体正面的投影，还产生了两侧面的投影．
当堂检测
图8
1.一个正六棱柱如图8摆放，光线由上向下照射此
正六棱柱时，形成的正投影是( ) .
A
A.&9& B.&10& C.&11& D.&12&
图9
2.夜晚，小刚在一盏路灯下散步，如图9，他从
路灯 下的 处走到 处，则他的影子长度的变
化情况是( ) .
B
A.逐渐变长 B.先变短后变长
C.逐渐变短 D.先变长后变短
图10
3.广场上，一个宣传牌垂直于地面放置，其投
影如图10，则该投影属于__________.（填“平
行投影”或“中心投影”）
中心投影
图11
4.在阳光照射下的某一时刻，操场上有三根在同
一直线上的测杆，如图11，其中测杆 的影子
为 .
（1）请画出测杆 的影子 ，并简述画法.
图102
解：如图102，连接 ，过点 作 交
于点 ，则 为测杆 的影子．
图11
（2）测杆 的影子的顶端恰好落在点 处，且
，请确定测杆 所在的位置，并简述
画法．
图102
解：如图102，过点 作 ，且 ，过点 作 交 于点 ，则
得出测杆 所在位置．
课后达标
基础巩固
1.下列图形中，可以表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是
( ) .
A
A.&13& B.&14& C.&15& D.&16&
2.（柳州中考）一根笔直的小木棒（记为线段 ），它的正投影为线
段 ，则下列各式中一定成立的是( ) .
D
A. B. C. D.
3.日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照
在日晷上时,晷针的影子会随着时间慢慢移动,以此来显示时刻.那么晷针
在晷面上形成的投影属于______投影．（填“平行”或“中心”）
平行
图12
4.如图12，小树 在路灯 的照射下形成树影
.若树高 ，树影 ，树与路
灯的水平距离 ，则路灯 的高度为
___ .
5
5.一个由圆柱和球组成的几何体如图13，请分别按下列要求画出它的正投影：
（1）投影线从前方到后方；
（2）投影线从左方到右方；
（3）投影线从上方到下方.
图13
解：如图103.
图103
能力提升
图14
6.如图14，一路灯距地面高 ，身高
的小方从距离路灯底部（点 ）
的 处，沿 所在的直线行走到点 时，
人影长度增长 .求小方行走的路程．
解： ， ，
，即 .
图14
，即 .
解得 ．
答：小方行走的路程为 .
解得 .
.
同理可得
拓展延伸
图15
7.如图15，某一时刻，太阳光线与地面成 的角，太阳光照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是 ，求这个皮球的直径.
图104
解：如图104，设皮球截面圆的圆心为点 ，点 ， 分别为 与光线的切点， 为皮球在地面上的投影，连接 ，则 为 的直径, ， , .
过点 作 于点 ，在 中， .
又 ， ，即皮球的直径是 ．
图104(共27张PPT)
2023
第25章 投影与视图
25.2 三视图
第一课时 三视图的识别与画法
起航加油
知识梳理
1.三视图：
自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为________；
自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为________；
自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为________.
主视图
俯视图
左视图
2.三视图的画法和规律：
（1）在画三视图时，其位置以主视图为基准，俯视图画在主视图的
________，左视图画在主视图的________.
正下方
正右方
（2）主视图与俯视图____对正；主视图与左视图____平齐；俯视图与
左视图____相等.
长
高
宽
课前自测
图1
1.图1中的几何体的俯视图是( ) .
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
2.下列几何体中，主视图为矩形的是( ) .
C
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
图2
3.一个圆锥如图2放置，对于它的三视图，下
列说法正确的是( ) .
B
A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同
C.左视图与俯视图相同 D.三个视图完全相同
随堂演练
典型题析
知识点一 三视图的识别
方法指导
判断组合体的三视图时，可将组合体分解成几个常见的几何体，分别判断它们的三视图，再加以组合即可．
图3
例1 （宁波中考）图3的几何体是由一个球体和一个圆柱
组成的，它的俯视图是( ) .
C
A.&9& B.&10& C.&11& D.&12&
思路点拨 先将其分解成球体和圆柱,分别得出它们的俯视图，再结合它们的相对位置将俯视图组合起来.
解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径．
知识点二 三视图的画法
方法指导
画三视图必须遵循“长对正，高平齐，宽相等”的规律，即主视图与俯视图等长，主视图与左视图等高，俯视图与左视图等宽.画较复杂的实物图（几何体）的三视图时，可以根据几何体的特征将其分成几个部分，先画出最主要（最大）部分的三视图，再逐步画出其他部分的三视图．
图4
解： 两个几何体的三视图分别如图5.
图5
思路点拨 根据三视图的画法作图.（2）中画左视图时，注意将凹下去部分的轮廓线用虚线表示出来.
例2 分别画出图4中两个几何体的三视图.
当堂检测
1.下列几何体中，三视图完全相同的是( ) .
D
A.&13& B.&14& C.&15& D.&16&
图6
2.图6是由4个相同的小正方体组成的几何体，
它的主视图是( ) .
B
A.&17& B.&18& C.&19& D.&20&
图7
3.图7是一个空心圆柱，它的左视图是( ) .
A.&21& B.&22& C.&23& D.&24&
B
4.图8是由一个长方体截成的几何体，请画出这个几何体的三视图．
图8
解：如图105
图105
课后达标
基础巩固
1.下列几何体中，俯视图为三角形的是( ) .
D
A.&25& B.&26& C.&27& D.&28&
图9
2.图9中的几何体的左视图是( ) .
C
A.&29& B.&30& C.&31& D.&32&
3.石鼓广场供游客休息的石板凳如图10，
它的主视图是( ) .
A
图10
A.&33& B.&34& C.&35& D.&36&
图11
4.图11所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，
将小正方体①移走后，所得几何体的三视图中没有发生
变化的视图是________________.
主视图、左视图
5.图12是一个组合几何体，图13是它的两种视图，在横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图（要求写出视图名称，并根据图12中的数据标注相关尺寸）．
图12
主
俯
图13
解：左视图; 如图106.&37&
图106
能力提升
6.图14是一个由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的
数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是
( ) .
B
图14
A.&38& B.&39& C.&40& D.&41&
7.画出图15中几何体的三视图.
图15
解：如图107.
图107
拓展延伸
8.根据要求完成下列题目.
（1）图16中有____个小正方体.
10
图16
（2）请在图17的网格图中分别画出图16中几何体的主视图、左视图和俯视图.
图17
解：如图108.
图108
图1
（3）用小正方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视
图与你在图17的网格图中所画的一致.若这样的几何体最
少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体，则
的值为____.
22
提示：这样的几何体最少需要9个小正方体，最多需要13个小正方体.
