(共21张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第26章 概率初步
26.2 等可能情形下的概率计算
第一课时 简单随机事件的概率计算
起航加油
知识梳理
1.如果一个试验具有以下两个共同的特点：
（1）所有可能出现的不同结果是________;
有限个
（2）各种不同结果出现的可能性______那么我们可以通过列举所有可
能的结果，具体分析后得出随机事件的概率.
相等
2.等可能情形下的概率计算：一般地，如果在一次试验中，有 种可能
的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件 发生的结果有
种，那么事件 发生的概率为 _ __.
3.各类事件的概率：一般地，对任何随机事件 ，它的概率 满足
_ ____________，必然事件的概率为___，不可能事件的概率为___.
1
0
课前自测
1.下列说法错误的是( ) .
B
A.必然事件发生的概率为1
B.不确定事件发生的概率为0.5
C.不可能事件发生的概率为0
D.随机事件发生的概率介于0和1之间
图1
2.（朝阳中考）图1是由8个全等的小正方形组成的图
案，若随意在图中取一点，则这个点取在阴影区域的
概率是( ) .
A
A. B. C. D.1
3.一个不透明的袋子里装有7个除颜色不同其他都相同的球，其中4个白
球，2个红球和1个黄球.从袋子里任意摸出1个球，摸出的球共有___种
等可能的结果，其中有___种结果使事件“摸到红球”发生， （抽得红
球） _ _.
7
2
随堂演练
典型题析
知识点 概率公式的应用
方法指导
计算简单随机事件 的概率，关键是要找准两点：
①所有等可能的结果总数 ；
②使事件 发生的结果总数 .
然后利用概率公式 求解.
例 已知一个不透明的纸箱中放有除颜色不同其他都相同的10个白球和
若干个黄球，从纸箱中随机取出1个球，这个球是白球的概率为 .再往
纸箱中放进20个白球，求随机取出1个球，这个球是黄球的概率．
思路点拨
解： 设黄球有 个.
根据题意，得 .
解得 .
经检验, 是原方程的根，且符合实际意义.
故再往纸箱中放进20个白球，随机地取出1个球，这个球是黄球的概率
为 .
当堂检测
1.掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的概率为( ) .
D
A. B. C. D.
图2
2.（北部湾中考）如图2，一个质地均匀的正五边形转
盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察
指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则
重新转一次，直到指针指向数字区域为止），这个数
字是奇数的概率是_ _．
3.（衡阳中考改编）在1个不透明的布袋里装有3个白球、2个红球和 个
黄球，这些球除颜色不同外没有任何区别．已知从该布袋里任意摸出1
个球，该球是黄球的概率为 .求 的值.
解：设从该布袋里任意摸出1个球是黄球为事件 ，则 ．
又 ，所以 .
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解且符合题意.故 .
课后达标
基础巩固
1.（丹东中考）有4张不透明的卡片，正面分别标有数字 ，3， ，
6.将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取1张卡片，则这张
卡片正面标有数字 的概率是( ) .
A
A. B. C. D.1
图3
2.（阜新中考）图3是由12个全等的等边三角形
组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么
这个点取在阴影区域的概率是( ) .
D
A. B. C. D.
3.（贵港中考）随机掷一枚质地均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，
2，3，4，5，6点，则掷得的点数不小于3的概率是_ _.
4.（烟台中考）如图4，有4张不透明的卡片，除正面的函数表达式不同
其余相同.将它们背面朝上洗匀后，从中抽取1张卡片，则抽到函数图象
不经过第四象限的卡片的概率为_ _.
图4
5.在一个不透明的袋子中装有 个白球和4个红球，这些球除颜色其他均
相同．如果从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率是 ，那么 的值
是____．
16
能力提升
图5
6.（通辽中考）如图5， 内切于正方形 .若随
机地往正方形 内投1粒米，这粒米落在阴影区域
的概率是( ) .
B
A. B. C. D.
提示：设 的半径为 ，则 的面积为 ，正
方形的面积为 .故米落在阴影区域的概率为
．
7.一个口袋中放有290个仅颜色不同的红球、黑球和白球.若红球个数比
黑球个数的2倍多40.从口袋中任取1个球，这个球是白球的概率为 .
（1）求口袋中红球的个数.
解：因为 （白球） ，所以口袋中白球的个数为 .
设口袋中黑球的个数为 ，则口袋中红球的个数为 .
由题意，得 .
解得 .所以 .
故口袋中红球的个数为200.
（2）求从口袋中任取1个球，这个球是黑球的概率.
解： （黑球） .
拓展延伸
8.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出 个红球，再从袋子中随机摸出1个球.将
“摸出黑球”记为事件 ，请完成下列表格：
事件 必然事件 随机事件
的值 ___ ______
4
2或3
提示：当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，再摸出1个球，摸到黑球是必然事件．当摸出2个或3个红球时，再摸出1个球，摸到黑球是随机事件.
（2）先从袋子中取出 个红球，再放入 个相同的黑球并摇匀后，随
机摸出1个球，这个球是黑球的概率为 .求 的值．
解：由题意，得 .解得 .所以 的值为2.(共23张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第26章 概率初步
26.1 随机事件
起航加油
知识梳理
1.事件的有关概念：
（1）在每次试验中，可以事先知道其一定会发生的事件叫做__________，
一定不会发生的事件叫做____________，这两种事件统称为确定性事件.
必然事件
不可能事件
（2）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做__________.
随机事件
（3）________事件和______事件统称为事件，一般用大写字母 ，
， ， 表示.
确定性
随机
2.概率的定义及表示：一般地，表示一个随机事件 发生的________大
小的数，叫做这个事件发生的概率，记作_ _____.
可能性
课前自测
1.（武汉中考）李大叔购买了1张中国福利彩票并中奖．这个事件是
( ) .
D
A.必然事件 B.确定性事件 C.不可能事件 D.随机事件
2.（辽宁中考）下列事件中，属于必然事件的为( ) .
D
A.射击运动员射击一次，命中靶心
B.掷一次骰子，向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票，座位号是2
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球，是红球
图1
3.图1是一个可以任意转动的转盘，转盘被分成了6等
份，随意转动一次，停止后指针落在阴影部分的可能
性比落在非阴影部分的可能性____.（填“大”或“小”）
大
随堂演练
典型题析
知识点一 事件的分类
方法指导
在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件；一定不会发生的事件是不可能事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件．
例1 （巴中中考）下列说法正确的是( ) .
C
A. 是无理数 B.明天城区下雨是必然事件
C.正五边形的每个内角是 D.相似三角形的面积比等于相似比
思路点拨
选项 分析 结论
A ，是有理数，是不可能事件 错误
B 明天城区有可能下雨，有可能不下雨，是随机事件 错误
C 正五边形每个内角是 正确
D 相似三角形的面积比等于相似比的平方 错误
知识点二 事件发生的可能性大小
方法指导
判断事件发生的可能性大小，首先找到所有可能出现的结果，再找到各事件包含的结果在所有可能出现的结果中所占的比例，所占比例越大的事件，发生的可能性就越大.
例2 我国南方地区有冬至吃汤圆的传统习俗，其寓意团团圆圆.冬至那
天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4
个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红舀了1个汤圆，下列
描述正确的是( ) .
B
A.她吃到黑芝麻馅汤圆和吃到枣泥馅汤圆的可能性一样大
B.她吃到枣泥馅汤圆比吃到豆沙馅汤圆的可能性大很多
C.她不可能吃到豆沙馅汤圆
D.她一定能吃到枣泥馅汤圆
思路点拨
选项 分析 结论 选项 分析 结论
A 两种汤圆的数量不 一样，吃到的可能 性不一样 错误 C 豆沙馅汤圆有4个， 有可能吃到 错误
B 枣泥馅汤圆的数量 多，吃到的可能性 大 正确 D 汤圆共有30个，其中 枣泥馅汤圆有14个， 若只吃一个汤圆，可 能吃到枣泥馅的，但 不是一定能吃到 错误
当堂检测
1.（扬州中考、跨学科）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是
( ) .
D
A.水落石出 B.水涨船高 C.水滴石穿 D.水中捞月
2.“篮球运动员投篮一次，投进并得分”是______事件.（填“随机”“必然”
或“不可能”）
随机
3.如图2，第一排表示各盒中球的情况，第二排描述的是摸到红球的可能性大小，请用短线把它们对应连接起来．
图2
课后达标
基础巩固
1.（宁夏中考）有下列事件：①打开电视正在播动画片；②掷一枚质地
均匀的硬币，正面朝上； 是无理数.其中，属于确定性事件的有
( ) .
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.（贵阳中考）某校九年级选出3名同学参加学校组织的“法治和安全知
识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序.主持人将表示
出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在
一个不透明的盒子中，搅匀后让参赛同学各自从中任意抽出1张.若小星
第一个抽，则下列说法中正确的是( ) .
D
A.小星抽到数字1的可能性最小 B.小星抽到数字2的可能性最大
C.小星抽到数字3的可能性最大 D.小星抽到每个数字的可能性相同
图3
3.一个小球在图3所示的由黑、白两种颜色方块铺成
的地面上随意滚动，小球停在____色方块上的可能性
较大.
白
4.判断下列事件中，哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件.
（1）“从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃”，是______事件.
随机
（2）“在同一年出生的367名同学中，至少有两人的生日在同一天”，是
______事件.
必然
（3）“从装有2个红球和3个黄球的袋子里摸出1个球，摸出的球是白色
的”，是________事件.
不可能
能力提升
5.（安顺中考）一个不透明的袋子中装有三个球，分别标有1，2， 这
三个号码，这些球除号码不同其他都相同.若“将袋子中的球搅匀后任意
摸出1个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则 的值可能是
( ) .
A
A.4 B.5 C.6 D.7
6.小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给他分配了一项任务：借助网络评价选择当地的一家餐厅.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1 000条网络评价，统计如下：
等级 五星 四星 三星 二星 一星 合计
甲 538 210 96 129 27 1 000
乙 460 187 154 169 30 1 000
丙 486 388 81 13 32 1 000
评价条数
餐厅
（注：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）
小芸一家选择在____（填“甲”“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好
用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.
丙
小锦囊 比较随机事件发生的可能性大小时，总数一定的情况下，结果数越多,则可推断这个事件发生的可能性越大．
等级 五星 四星 三星 二星 一星 合计
甲 538 210 96 129 27 1 000
乙 460 187 154 169 30 1 000
丙 486 388 81 13 32 1 000
评价条数
餐厅
拓展延伸
7.甲、乙两人轮流掷一枚各面写有数1，2，3，4，5，6的质地均匀的骰子，若朝上的数字大于3，则甲获胜，若朝上的数字小于3，则乙获胜.
（1）按照上述规则，获胜的可能性比较大的是____.
甲
（2）试修改规则，使这个游戏变公平.
解：（答案不唯一，使甲、乙两人获胜的可能性相同即可）若朝上的数字大于3，则甲获胜；若朝上的数字小于或等于3，则乙获胜.(共28张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第26章 概率初步
26.2 等可能情形下的概率计算
第三课时 概率的初步应用
起航加油
知识梳理
用概率解决游戏问题：在游戏问题中，通过求概率判断游戏的公平
性.两人做某种游戏，如果两人获胜的概率相同，说明游戏是______的；
如果概率不相同，说明游戏是________的.
公平
不公平
课前自测
图1
1.如图1，小球从 口往下落，在每个交叉口都有向
左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从
口落出的概率为( ) .
C
A. B. C. D.
2.一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突
然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致
的概率是_ _.
3.一个箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球各一个，三个人先后去摸球，
一人摸一次，一次摸出一个球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢.则每次
摸出黑色小球的概率是_ _，说明每人赢的机会是______（填“均等”或“不
均等”）的，所以这样的规则是______（填“公平”或“不公平”）的.
均等
公平
随堂演练
典型题析
知识点 概率的初步应用
方法指导
（1）判断规则公平性的方法：分别计算各参与者获胜的概率，若相等则公平，否则不公平.（2）用概率公式解决实际问题时，要注意不重复、不遗漏地找出所有可能性相等的结果总数和使特定事件发生的结果数.
例 （贺州中考）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入4个标有数字1，2，3，4和3个标有数字1，2，3的完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出1个球.若所摸出的球上的数字之和小于6，则小王去;否则，小李去．
（1）请用树状图或列表法求出小王去的概率.
图2
解：如图2，摸球的所有结果用树状图来表示.
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中数字之和小于6的结果有9种.所以小王去的概率是 .
思路点拨（1）先用树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再求出数字之和小于6的结果数，即可利用概率公式求解.
（2）小李说：“这种规则不公平.”你认同他的说法吗？请说明理由．
解：认同小李的说法，这种规则不公平.
理由：由（1）知，小王去的概率是 .同理，得小李去的概率是 .因为 ，说明小王去和小李去的机会不均等，所以这种规则不公平.
思路点拨（2）只要分别计算出小王和小李去植树的概率，就可判断这种规则是否公平.
当堂检测
图3
1.如图3，甲，乙两辆汽车即将经过 字路口，可能
向左转或向右转，且每辆汽车向左转或向右转的可
能性相等，则它们都向右转的概率为( ) .
A
A. B. C. D.
2.（教材第100页例6变式）小明给自己的行李箱设置了一个四位密码，
每位上的数字是0到9中的任一个.在开锁时，小明忘了密码的第一个数
字和最后一个数字，他随意拨动第一位号码和最后一位号码，恰好打开
锁的概率是_ ___.
3.小阳、小军做游戏，游戏规则如下：在一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的2支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出1支笔（不放回）.若两人所取笔的颜色相同，则小阳胜；否则，小军胜.
（1）请用树状图或列表法求出摸笔游戏所有可能的结果.
解：列表如下.
小军 结果 小阳 红 红 黑 黑
红 （红 ，红 ） （红 ，黑 ） （红 ，黑 ）
红 （红 ，红 ） （红 ，黑 ） （红 ，黑 ）
黑 （黑 ，红 ） （黑 ，红 ） （黑 ，黑 ）
黑 （黑 ，红 ） （黑 ，红 ） （黑 ，黑 ）
由表格可以看出，共有12种等可能的结果.
（2）请计算小阳获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平.若不公平，你认为对谁有利？
解：由表格可以看出，两人所取笔的颜色相同的结果有4种，所以小阳获胜的概率是 .同理，得小军获胜的概率是 .因为 ，所以本游戏规则不公平，对小军有利.
小军 结果 小阳 红 红 黑 黑
红 （红 ，红 ） （红 ，黑 ） （红 ，黑 ）
红 （红 ，红 ） （红 ，黑 ） （红 ，黑 ）
黑 （黑 ，红 ） （黑 ，红 ） （黑 ，黑 ）
黑 （黑 ，红 ） （黑 ，红 ） （黑 ，黑 ）
课后达标
基础巩固
图4
1.如图4，电路图上有 ， ， 个开关和1个小灯
泡，任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率
是( ) ．
B
A. B. C. D.
图5
2.如图5，小明和小刚利用两个转盘玩游
戏.规则为：将两个转盘各转一次，分别
记录指针指向的颜色，且红色和蓝色可
配成紫色，若配成紫色，则小明得5分，
否则小刚得3分.此规则( ) .
A
A.公平 B.不确定对谁有利
C.对小明有利 D.对小刚有利
图6
3.一只蚂蚁在图6所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路
口随机选择一条路径，它获得食物的概率是_ _．
4.有2把不同的锁和3把不同的钥匙，其中2把钥匙分别能对应打开这2把
锁，第3把钥匙不能打开这2把锁.若随机取出1把钥匙开任意1把锁，打
开锁的概率是_ _.
图7
5.（柳州中考改编）如图7，小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜.求小李获胜的概率.
解：画树状图如图115.
图115
由树状图知，共有25种等可能的结果，其中两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13种，所以小李获胜的概率为 .
图115
6.某早餐店供应主食和饮料，提供4种主食：肉包、馒头、鸡蛋、油饼，提供2种饮料：牛奶、豆浆．已知每名顾客可以购买1种主食和1种饮料．
（1）顾客可以买到的早餐有多少种不同搭配？
图116
解：画树状图如图116.
根据树状图可知共有8种等可能的结果，因此顾客买到的早餐一共有8种不同的搭配.
（2）某天该早餐店举办回馈顾客活动，随机给老顾客赠送1种主食和1种饮料，请求出某位老顾客当天早餐刚好得到牛奶和馒头的概率．
解：根据（1）可知，共有8种等可能的结果，刚好得到牛奶和馒头的结果只有1种，故某位老顾客当天刚好得到牛奶和馒头的概率是 ．
图116
能力提升
7.（通辽中考）如图8，有4张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有不同的几何图形，将4张纸牌洗匀，正面朝下放在桌面上.
图8
（1）从4张纸牌中随机摸出1张，摸出的牌牌面图形为中心对称图形的
概率是_ _.
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出1张，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出1张，若摸出的2张牌牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜.这个游戏规则对双方公平吗？请用列表法（或树状图法）说明理由.若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.（纸牌用A，B，C，D表示）
图8
解：游戏规则对双方不公平.列表如下.
第一张 第二张 A B C D
A
B
C
D
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中，摸出的2张牌牌面图
形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即 ， .
所以 （小亮获胜） .
那么 （小明获胜） .
因为 （小亮获胜） （小明获胜），所以游戏规则对双方不公平.
修改规则：若抽到的2张牌牌面图形都是中心对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜.（答案不唯一）
拓展延伸
图9
8.（武汉中考）班长邀请甲、乙、丙、丁四名同
学参加圆桌会议．如图9，班长坐在⑤号座位，
四名同学随机坐在①②③④号座位上，则甲、乙
两名同学座位相邻的概率是( ) .
A. B. C. D.
小锦囊 可以列出当甲坐在①号座位时座位的安排情况，再依此类推所有的结果数.注意：当甲坐在②号座位或③号座位时，有两个座位都可以使得乙与他相邻.
图117
提示：当甲坐在①号座位时，画树状图如
图117.由树状图可知，共有6种等可能的
结果，其中甲、乙座位相邻的结果有2种，
分别为（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，
丁，丙）.同理可知，当甲分别坐在②，
③，④号座位时，也分别有6种等可能的
结果，即共有24种等可能的结果.当甲坐在①号或④号时，均有2种结果
是甲、乙座位相邻的；当甲坐在②号或③号时，均有4种结果是甲、乙
座位相邻的.因此甲、乙座位相邻的结果数为12.故 （甲、乙相邻）
．
答案：C(共27张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第26章 概率初步
26.3 用频率估计概率
26.4 综合与实践 概率在遗传学中的应用
起航加油
知识梳理
1. 频率的稳定性：在大量重复试验中，随机事件发生的频率总是稳定到一个常数.我们就用频率所稳定到的这个常数来衡量该随机事件发生的可能性的大小.
2.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件 发生的频
率____（这里 是总试验次数，它必须相当大， 是在 次试验中随机
事件 发生的次数）会稳定到某个常数 .于是，我们用 这个常数表示
随机事件 发生的概率，即 ___.
这样，求一个随机事件概率的基本方法是：通过大量的重复试验，
用这个随机事件发生的______作为它的概率的估计值.
频率
课前自测
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确
的是( ) .
D
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2.2023年3月12日是我国第45个植树节.某林业部门为了考察某种幼树在
一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，
并统计成活情况.下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据.估计该种
幼树在此条件下移植成活的概率是____．（结果精确到0.1）
移植棵数 5 000 10 000 15 000 20 000
成活棵数 4 485 8 983 13 443 18 044
成活频率 0.897 0.898 0.896 0.902
0.9
随堂演练
典型题析
知识点 用频率估计概率
方法指导
在试验中，当所有可能出现的不同结果不是有限个，或各种不同结果出现的可能性不相等时，我们就要通过大量重复的试验去探究不同结果出现可能性的大小，并用随机事件发生的频率去估计它的概率.
例 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个.小颖做摸球试验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.下表是试验中的一组统计数据.
摸球的次数 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1 803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
思路点拨（1）观察表中统计数据，即可得结果.
（1）请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近____.（精确到0.1）
0.6
解：由上表统计数据可知，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率逐
渐稳定在0.6附近.由此估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近0.6.
（2）假如你摸1次，你摸到白球的概率约为_ ___.
解：由（1）知，当 很大时，摸到白球的频率将会接近 ，所以摸到白球的概率约为0.6.
思路点拨（2）在大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为它的概率的估计值.
摸球的次数 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1 803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
（3）请估计盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.
解：设盒子里的白球有 个.
由（2）知，摸到白球的概率约为 ，则 .
解得 .
（个）.
所以估计盒子里的黑球有16个，白球有24 个.
思路点拨 （3）根据摸到白球的概率估计值可求出白球的个数，进而可求黑球的个数.
易错提示 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生．
当堂检测
1.已知某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9.下列说法正确的是
( ) .
D
A.种植10棵幼树，一定有9棵幼树成活
B.种植100棵幼树，一定有90棵幼树成活，10棵幼树不成活
C.种植 棵幼树，恰好有 棵幼树不成活
D.种植 棵幼树，当 越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定
于0.9
2.（辽宁中考）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表：
抽检产品数 150 200 300 500 1 000
合格产品数 134 179 271 451 904
合格率 _____ 0.895 0.903 _____ ________
（1）将表格补充完整.（结果精确到0.001）
（2）在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是____．（结
果精确到0.1）
0.9
0.893
0.902
0.904
3.小颖和小红两名同学做掷骰子（质地均匀的正方体）试验.她们在一次试验中共掷骰子60次，试验的结果如下表：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
（1）此次试验中，“5点朝上”的频率为_ _.
（2）小红说：“根据试验，可以确定出现5点朝上的概率最大.”她的说法正确吗？为什么？
解：小红的说法不正确. 理由：只有在大量重复试验中，随机事件发生的频率才会逐渐稳定在概率附近，而小颖和小红所做的试验次数太少，所得频率不能用来估计概率．
课后达标
基础巩固
1.在抛掷正六面体骰子的试验中，正六面体的六个面分别标有数字1，2，
3，4，5，6.随着试验次数的增多，出现数字1的频率会逐渐稳定在
( ) .
C
A.0.03 B.0.08 C.0.17 D.0.3
2.小明做抛掷质地均匀的硬币试验，获得的数据如下表：
抛掷次数 100 300 500
正面向上的次数 58 148 251
若抛掷硬币的次数为 ,则“正面向上”的次数最接近( ) .
B
A.300 B.500 C.700 D.900
3.某射手在同一条件下若干次射击的结果如下表：
（1）请将表格补充完整.
射击次数 10 50 100 500
击中靶心次数 ___ 44 92 455
击中靶心频率 0.80 _____ _____ _____
8
0.88
0.92
0.91
（2）由上表推断这名射手射击1次，击中靶心的概率是____.（精确到0.1）
0.9
4.（鞍山中考）一个不透明的口袋中装有5个红球和 个黄球，这些球
除颜色不同其他都相同.某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球
记下它的颜色后，放回摇匀，为1次摸球试验．根据记录在下表中的摸
球试验数据，可以估计出 的值为____．
摸球试验次数 100 500 1 000 2 000
摸出红球次数 19 101 199 400
摸出红球频率 0.190 0.202 0.199 0.200
20
5.下表记录了小强在罚球线上投篮的情况，根据表中数据解答下列问题.
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 28 6 78 104 124 153 252
（1）由上表可以估计小强投篮一次投中的概率是____.（精确到0.1）
0.5
（2）根据此概率预测，小强投篮622次，投中的次数约是_____.
311
能力提升
6.某学习小组做“用频率估计概率”
的试验时，统计了某一结果出现的
频率，绘制了右图所示的折线统计
图，符合这一结果的试验最有可能
是( ) .
A.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是1
B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
提示：由频率折线图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.33附近，由此估计该试验结果的概率约为0.33.
答案：D
D.掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是5
7.一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色不同其他都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀.不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 400 1 000 2 000
摸到白球 72 130 334 667
摸到白球的频数 0.360 0.325 0.334 0.334
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个
常数附近摆动，这个常数为_____（结果精确到0.01），由此估计红球
有___个.
0.33
2
提示：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定
在0.33附近.设红球有 个，则 .解得 ．经检验，
是分式方程的解.
摸球的次数 200 400 1 000 2 000
摸到白球 72 130 334 667
摸到白球的频数 0.360 0.325 0.334 0.334
（2）在这次摸球试验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再随机摸出1个球并记下颜色.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求2次摸到的球恰好1个是白球和1个是红球的概率．
图118
解：画树状图如图118.
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球恰好1个是白球和1个是红球的结果有4种．故 （恰好1个是白球和1个是红球） ．
拓展延伸
8.综合与实践
【知识背景】 在正常情况下，人体的每个细胞内有23对染色体，
包括22对常染色体和1对性染色体，男性的性染色体为 ，女性的性染
色体为 .
红绿色盲是一种伴 染色体隐性遗传病，即控制红绿色盲的基因位
于 染色体上，且为隐性基因.通常用 表示正常基因, 表示红绿色
盲基因.红绿色盲男性患者的基因型为 ，女性患者的基因型为 .
【深入探究】
（1）设母亲的基因型为 ,父亲的基因型为 ，求孩子患有红绿
色盲的概率.
解：基因型为 的母亲与基因型为 的父亲，他们的孩子的基因型可能为 ， ， ， ，其中患有红绿色盲的基因型只有1种，为 .故孩子患有红绿色盲的的概率为 .
（2）在（1）的情况下，求若孩子是女生，则她患有红绿色盲的概率，以及若孩子是男生，则他患有红绿色盲的概率.
解：若孩子是女生，则她的基因型是 ， ，故她患有红绿色盲的概率为0.若孩子是男生，则他的基因型是 ， ，故他患有红绿色盲的概率为 .(共28张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第26章 概率初步
26.2 等可能情形下的概率计算
第二课时 利用“树状图”或“列表法”求概率
起航加油
知识梳理
列举法求概率：在一次试验中，如果所有可能出现的结果只有有限
个，且各种结果出现的可能性都______，我们就可以通过列举所有可能
的结果，分析出随机事件的概率.
_________和_________能帮助我们有序地思考，不重复、不遗漏地
列举出所有可能的结果.
相等
“树状图”
“列表法”
课前自测
1.甲、乙两个袋子中均有红、黄球各1个，分别从两个袋子中任意取出1个球.用列表法列举出所有等可能的结果，如下表：
乙 甲 红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （________ ，红） （黄，________）
（2）所取出的两球颜色相同的概率为_ _.
乙 甲 红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （________ ，红） （黄，________）
黄
黄
（1）将表格补充完整.
2.抛掷1枚质地均匀的硬币3次，记录下每一次的结果.用画树状图法列举出所有等可能的结果，如图1.
图1
（1）共有___种等可能的结果.
8
（2） 次正面向上 _ _.
随堂演练
典型题析
知识点一 利用“树状图”求概率
方法指导
“树状图”可以不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，适合于分两步或两步以上完成的事件．
例1 小明、小燕、小华进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中装有红、
黄、白三种球各1个，这些球除颜色不同无其他差别.从箱子中随机摸出
1个球，然后放回箱子中摇匀，再轮到下个人摸球.他们三人摸到球的颜
色都不相同的概率是_ _.
思路点拨 利用树状图列举出所有可能的结果，再根据概率公式计算.
解：记红球为 ,黄球为 ,白球为 ，根据题意，
画树状图如图2. 由树状图可知，
共有27种等可能的结果，三人
摸到球的颜色都不相同的结果
有6种，所以 （三人摸到球的颜色都不相同） .
图2
知识点二 利用“列表法”求概率
方法指导
当一次试验涉及两个因素（或步骤），且出现的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的情况，通常采用“列表法”：一个因素（或步骤）作为行标，一个因素（或步骤）作为列标，列表格分析.
思路点拨
例2 一个不透明的袋子中有大小相同、标号不同的白球2个、黑球2个.
（1）不放回地从袋中连续取2个球，取出的2个球为1个白球和1个黑球的概率是多少？
（2）从袋子中有放回地连续取出2个球，取出的2个球为1个白球和1个黑球的概率是多少？
（1）不放回地从袋中连续取2个球，取出的2个球为1个白球和1个黑球的概率是多少？
解：根据题意列表如下：
第二次 第一次 白 白 黑 黑
白 白 ，白 白 ，黑 白 ，黑
白 白 ,白 白 ,黑 白 ,黑
黑 黑 ,白 黑 ,白 黑 ,黑
黑 黑 ,白 黑 ,白 黑 ,黑
共有12种等可能的结果，符合题意的有8种，故 个白球和个黑球
.
（2）从袋子中有放回地连续取出2个球，取出的2个球为1个白球和1个黑球的概率是多少？
解：根据题意列表如下：
第二次 第一次 白 白 黑 黑
白 白 ,白 白 ,白 白 ,黑 白 ,黑
白 白 ,白 白 ,白 白 ,黑 白 ,黑
黑 黑 ,白 黑 ,白 黑 ,黑 黑 ,黑
黑 黑 ,白 黑 ,白 黑 ,黑 黑 ,黑
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中“1个白球和1个黑球”的结果
有8种，故 个白球和1个黑球 .
【特别提醒】 “放回”两次操作相同，“不放回”两次操作不相同，反映在列表中为是否保留表中一条对角线上的结果．
当堂检测
1.为避免排队时间过长，某超市出口设置了A，B两条结账通道.小亮和
小华均从A通道结账的概率是( ) .
A
A. B. C. D.
图3
2.（烟台中考、跨学科）在图3所示的电路图中，
同时闭合开关 ， ， 中的两个开关，能形
成闭合电路（即有灯泡亮）的概率是( ) .
B
A. B. C. D.1
3.从 ，0，1三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，用列表法或
树状图法求该点在坐标轴上的概率.
解：列表如下.
纵坐标 横坐标 1 0
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中“点刚好在坐标轴上”的结果
有4种.所以 （点在坐标轴上） .
课后达标
基础巩固
1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向
上的概率是( ) .
C
A. B. C. D.
2.（济南中考）某班级计划举办手抄报展览，确定了“ 时代” “北斗卫
星”“高铁速度”三个主题.若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则
他们恰好选到同一个主题的概率是( ) .
C
A. B. C. D.
3.从红、黄、蓝三顶不同颜色的帽子和黑、白两条不同颜色的围巾中，
任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和黑围巾的概率是_ _.
4.（教材第99页练习第2题变式）一间宿舍有4张分上下铺的床，可安排
8名同学住宿.小明和小兵都被安排住这间宿舍，小兵住下铺，小明住上
铺，具体床位要通过抽签确定，则小明和小兵住同一张床的上下铺的概
率是_ _.
5.（镇江中考）一个不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色不同其余都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为_ _.
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀后，再从中任意摸出1个球．用“列表法”或“树状图”求2次都摸到红球的概率．
图113
解：画树状图如图113.
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，故 次都摸到红球 ．
能力提升
6.（梧州中考）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，小球上分
别标有数字 ，1，2．第1次从袋中任意摸出1个小球（不放回），得
到的数字作为点 的横坐标 ；再从袋中余下的2个小球中任意摸出1个
小球，得到的数字作为点 的纵坐标 ．
（1）请用“树状图”或“列表法”，列出点 的所有可能结果.
结果 1 2
1
2
解：列表如下.由表可知，共有6种等可能的结果.
（2）求点 在双曲线 上的概率．
解：在（1）中的6种结果里，点 在双曲线 上的结果有2种，即 ， ，所以点 在双曲线 上的概率为 ．
结果 1 2
1
2
图4
7.如图4是两个相同的可以自由转动的转盘
A和B.转盘A被三等分，分别标有数字2，
0， ；转盘B被四等分，分别标有数字2，
3， ， ．
（1）同时转动转盘A，B，转盘停止时，
两个指针都指向正数的概率是_ _.
（2）同时转动转盘A，B，求转盘停止时，两个指针指向的数的和是偶数的概率.
图4
解：列表如下.
B 和 A 2 3
2 4 5 0
0 2 3
1 2
由表可知，共有12种等可能结果，其中和为偶数的结果有6种，所以
（和为偶数） ．
拓展延伸
8.甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一人手中随机传给另外一人，共传球3次.
（1）若开始时球在甲手中，则经过3次传球后，球传回甲手中的概率是_ _.
图114
提示：画树状图如图114.
由树状图可知，3次传球共有8种等
可能的结果，其中传回甲手中的有
2种，即甲 乙 丙 甲，甲 丙
乙 甲，所以 （球传回甲手中） ．
（2）若丙想使经过3次传球后球落在自己手中的概率最大，则丙会设法让球开始时在谁的手中？请说明理由.
解：丙会让球开始时在甲或乙手中.
理由：由树状图可知，从甲开始传
球，传球3次后有8种等可能的结果，
其中传到丙手中的结果有3种，所以
从甲开始传球，传球3次后球传到丙手中的概率 .
同理可得，从乙开始传球，传球3次后球传到丙手中的概率 ；从丙开始传球，传球3次后球传到丙手中的概率 .
因为 ，所以丙想使经过3次传球后球落在自己手中的概率最大，应设法让球开始时在甲或乙手中．
图114
