(共25张PPT)
2023
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第二课时 切线的性质
起航加油
知识梳理
切线的性质：圆的切线______于经过切点的半径.
垂直
课前自测
图1
1.如图1， 是 的半径， 切 于点 ，线
段 交 于点 ， ，则 的度数
是( ) .
D
A. B. C. D.
图2
2.（资阳中考）如图2， 内接于 ， 是直
径，过点 作 的切线 ．如果 ，
那么 的度数是_ ___．
图3
3.（怀化中考）如图3， 与 相切于点 ，
， 的半径为2，则 的长为_ ___．
随堂演练
典型题析
知识点 切线的性质
方法指导
已知圆的切线时，连接圆心和切点或过圆心作切线的垂线段，构造直角三角形，这是一种常用的作辅助线的方法；进而借助垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等与垂直紧密相关的知识解决问题.
思路点拨
图4
例 如图4,已知 是 的直径, 是 的弦,
切 于点 ,交 的延长线于点 ,
.求证: .
图4
证明 切 于点 , .
, .
, .
.
.
当堂检测
图5
1.（长沙中考）如图5， ， 是 的切线，
， 为切点，若 ，则 的度数为
( ) .
B
A. B. C. D.
图6
2.如图6， 是 的切线，切点为 ， ，
，则 的半径为( ) .
C
A.1 B. C.2 D.3
图7
3.（连云港中考）如图7， 是 的直径，
是 的切线， 为切点，连接 ，与 交于
点 ，连接 ．若 ，则 ____ ．
49
图8
4.（绍兴中考）如图8，半径为6的 与 的
边相切于点 ，交 边于点 ， ， ，
连接 ， .求证： 平分 ．
证明：连接
，
切 于点 ，
，
平分 ．
课后达标
基础巩固
图9
1.如图9， 与 相切于点 ，若 的半径为2，
，则 的长为( ) .
C
A. B. C. D.4
图10
2.如图10，在 中，以边 为直径的 与
边 相切于点 ，则 的度数为( ) .
C
A. B. C. D.
图11
3.如图11， 为 的切线，切点为 ，连接
， ， 交 于点 ，点 在 上，连
接 ， .若 ， ，则 的
长为( ) .
B
A.1 B. C.2 D.4
图12
4.（泰安中考）如图12，在 中， ，
过点 ， ，与 交于点 ，与 相切于点 .
若 ，则 ____ .
64
图13
5.如图13， 是 的直径， ， 是 上的
两点，过点 作 的切线交 的延长线于点 .
（1）若 ，求 的度数.
解：连接
， .
切 于点 ， .
.
（2）若 ， ，求 半径的长．
图13
解：设 ，则 .
在 中，由勾股定理，得 ，即 .
解得 .
故 半径的长是 ．
能力提升
图14
6.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有
“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”:“方田一段，一角
圆池占之．”大意是说：如图14，一块正方形田地的
一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边
均相切），且正方形的对角线 与 相交于点
， （点 在点 的右上方）.若 的长为10， 的半径为2，则
的长为_ ________．
图14
提示：设正方形的一边与 的切点为 ，连接 ，
则 .由正方形的性质，得 .所以
.所以
．
小锦囊 连接圆心与切点，构造直角三角形.
图15
7.如图15，已知 是 的直径， 切 于点
， 交 于点 ， ， .求 的直径长．
解：连接 是 的直径， .
在 中， .
是 的切线， .
又 ， .
，
，即 .
解得 .故 的直径长为 ．
拓展延伸
图16
8.如图16，在 中， ，以
为直径的 与 边交于点 ，过点 作
的切线，交 于点 ，连接 .
（1）求证： 是 边的中点.
证明：连接
为 的切线， .
， .
又 ，
图16
为 的直径， .
， .
.
故 是 边的中点.
（2）求证： .
图16
证明： ， ，
.
.
图16
（3）当以 ， ， ， 为顶点的四边形是正
方形时，求证： 是等腰直角三角形.
证明：当四边形 为正方形时， .
由（1）知 ， .
又 ， .
为等腰直角三角形.(共25张PPT)
2023
第24章 圆
24.3 圆周角
第一课时 圆周角定理及其推论
起航加油
知识梳理
1.圆周角：顶点在______，并且两边都与____还有另一个交点的角叫做
圆周角.
圆上
圆
2.圆周角与圆心角的区别：
（1）圆周角的顶点在______，圆心角的顶点是______.
圆上
圆心
（2）一条弧所对的圆心角只有____个，所对的圆周角有______个.
一
无数
3.圆周角定理及其推论：
（1）定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______.
一半
（2）推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，相等
的圆周角所对的弧也______.
相等
相等
（3）推论2 半圆或直径所对的圆周角是______；____的圆周角所对的
弦是直径.
直角
课前自测
1.下列各图中的角，为圆周角的是( ) .
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图1
2.（嘉兴中考）如图1，在 中， ，点
在 上，则 的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
图2
3.（柳州中考）如图2， 是 的直径， 是
上异于点 ， 的一点，则 的度数为( ) .
D
A. B. C. D.
图3
4.如图3， ， ， ， 是 上的点，则与 相等
的角是_ ___；与 相等的角是____.
随堂演练
典型题析
知识点一 圆周角定理
方法指导
在解决与圆周角有关的问题时，常利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，进行角之间的转化和计算．
图4
例1 （贵港中考）如图4， 是 的直径，
.若 ，则圆周角 的度数是
( ) .
A. B. C. D.
思路点拨 如果能求出圆心角 的度数，就可以求出圆周角 的度数.
图4
解： ，
.
是 的直径，
.
.
．
答案：B
知识点二 圆周角定理的推论
方法指导
根据同弧所对的圆周角相等，可以将不同的圆周角进行转化.由于直径所对的圆周角是直角，因此条件中出现直径时，常寻找或构造直径所对的圆周角，然后利用解直角三角形的知识解决问题.
思路点拨
图5
例2 如图5， 是 的直径，点 ， 在 上，
若 ，则 的度数为_ ____.
解： 是 的直径，
.
又 ， .
又 ， .
当堂检测
图6
1.如图6， 是 的直径，点 在 上，
，则 的度数是( ) .
D
A. B. C. D.
图7
2.（阜新中考）如图7， ， ， 是 上的三点，
若 ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
3.图8中共有___个圆周角， 所对的圆周角为_______， 所对的圆
周角为_ ______________.
8
，
图8
图9
4.（北京中考）如图9，点 ， ， ， 在 上，
， ， .求
的度数.
解： ， .
.
.
又 ， .
.
课后达标
基础巩固
图10
1.如图10，点 ， ， 都在 上，若
，则 的度数是( ) .
C
A. B. C. D.
图11
2.如图11，点 ， ， ， ， 在 上，
， ，则 的度数为
( ) .
C
A. B. C. D.
图12
3.（日照中考）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为制作同
样大小的镜面，工人用直角尺作图12所示的测量，测得
， ，则圆形镜面的半径为_ __ ．
图13
4.如图13，已知 的直径 长为2，弦 长为
，那么弦 所对的圆周角 的度数为____．
图14
5.（怀化中考）如图14，点 ， ， ， 在
上， ．
（1）求证： .
证明： ， ， .
（2）求证： ．
证明： ， ．
能力提升
图15
6.如图15，已知 内接于 ， ， , 于点 ， 的半径为2.求 的长.
解：如图79，连接 并延长,交 于点 ，连接
,则 是 的直径.
， .
的半径为2，
， ， .
图79
拓展延伸
7.如图16， 是 的直径， 为 的中点， 于点 ，交 于点 ，连接 .
图16
（1）求证： .
图80
证明:如图80,连接
是 的直径, ,即 .
, .
为 的中点, .
.
（2）若 ，求 的度数.
图16
图80
解：如图80，连接 ， .
由（1）得 .
又 ， .
， .
， .
.
.(共25张PPT)
2023
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第一课时 圆的有关概念及点与圆的位置关系
起航加油
知识梳理
1.圆：在平面内，线段 绕着它固定的一个端点 旋转______，则另
一个端点 所形成的__________叫做圆，固定的端点 叫做______，线
段 的长叫做______.以点 为圆心的圆，记作“_____”，读作“_____”.
圆可以看成平面内到定点 圆心 的距离等于定长 半径 的________
组成的图形.
一周
封闭曲线
圆心
半径
圆
所有点
2.点与圆的位置关系：平面上一点 与 半径为 的位置关系有如
下三种情况.
（1）点 在 上 _ _______；
（2）点 在 内 _ _______；
（3）点 在 外 _ _______.
3.弦、弧：
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“_ __”表示.
（2）连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫做直径.
线段
圆心
（3）圆的任意一条______的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都是半
圆.大于半圆的弧叫做______，小于半圆的弧叫做______.
直径
优弧
劣弧
（4）由弦及其所对的____组成的图形叫做弓形.
弧
4.等圆、等弧：
（1）能够______的两个圆叫做等圆，等圆的______相等.
重合
半径
（2）在同圆或等圆中，能够互相______的弧叫做等弧.
重合
课前自测
1.已知 的半径为3，点 到圆心 的距离为4，则点 与 的位置
关系是( ) .
C
A.点 在 内 B.点 在 上
C.点 在 外 D.点 无法确定
2.已知 中最长的弦为10，则 的半径是( ) .
C
A.10 B.20 C.5 D.15
3.图1中， 的弦是_ ________，直径是____， 是 的______.
，
半径
图1
随堂演练
典型题析
知识点一 点与圆的位置关系
方法指导
要判断点与圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离 ，然后比较 与圆的半径 的大小即可确定结果.若已知点与圆的位置关系，则这个点到圆心的距离 和圆的半径 之间的大小关系就随之确定了.
例1 圆的直径为 ,如果点 到圆心 的距离是 ,那么( ) .
A.当 时，点 在 上 B.当 时，点 在 上
C.当 时，点 在 上 D.当 时，点 在 内
思路点拨
解： 圆的直径为 ，
圆的半径为 .
当 时， ,点 在 外；
当 时， ,点 在 上；
当 时， ,点 在 内.
易错提示 要注意题目中给出的已知条件是“直径”还是“半径”．
答案：C
知识点二 圆的有关概念
方法指导
解决圆的问题，常根据半径相等构造等腰三角形.此外，求角的度数时，还常常用到三角形外角的性质.关于圆的相关概念，要注意以下几点：①直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径;②半圆是弧,但弧不一定是半圆;③长度相等的弧不一定是等弧.
图2
例2 如图2， 是半圆 的直径， 是半圆上的一
点， ,延长 交 的延长线于点 ，
交半圆于点 ，且 .求 的度数.
思路点拨 是的外角，只要用表示出，即可列方程求出根据圆的半径相等，连接，则，再利用等腰三角形底角相等、三角形外角的性质和角的等量转换，即可求出.
图3
解: 如图，连接.
.
.
.
.
.
当堂检测
1.下列说法正确的是( ) .
B
A.弦是直径 B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径 D.圆心相同的两个圆是等圆
2.已知 的半径为 ,若点 在 内，则点 到圆心的距离可能
是( ) .
D
A. B. C. D.
图4
3.如图4， 是 的直径，点 ， 在 上，且
点 ， 在 的异侧，连接 ， ， ．当
，且 时，求 的度数.
解： ， .
， .
．
课后达标
基础巩固
1.已知 的半径为3， ，则点 与 的位置关系是( ) .
C
A.点 在 内 B.点 在 外 C.点 在 上 D.无法确定
2.有下列命题：①直径是弦;②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部
分;③长度相等的弧是等弧;④半径相等的圆是等圆;⑤直径是圆中最长的
弦.其中，真命题有( ) .
A
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.如图5,在 中，_________是弦，____是直径；____________是优弧，
_________是劣弧.
，
，
，
图5
图6
4.如图6，在平面直角坐标系中，点 为 上
一点， 为 内一点，则点 的坐标可能是
_ ___________________．（写出一个即可）
（答案不唯一）
图7
5.如图7，在 中， ，以点 为圆
心、 的长为半径的圆交 于点 ，交 于点
．若 ，求 的度数．
解： ， ， ．
又 ， .
， ．
能力提升
图8
6.如图8，在 中， ， .以点 为圆
心作 ，半径为 .若点 ， 在 外，则 的取值
范围是__________；若点 在 内，点 在 外，
则 的取值范围是_ _________.
图9
7.如图9， 是 的弦，半径 ， 分别交 于
点 ， ， .请写出线段 与 的数量关系，
并给予证明．
解： .
证明：如图65,连接 ,
， 是 的半径，
.
又 ， .
.
图65
拓展延伸
图10
8.如图10，在 中， ， ， 为
的中点， ， 是半径为2的 上一动点，连接
， 是 的中点. 连接 ，则 的最大值为___.
6
提示：连接 .由题意，得 是 的中位线．所以 .则当 取最大值时， 取得最大值．因为 是 上的动点，所以当线段 过圆心 时取得最大值，此时点 ， ， 在一条直线上．由勾股定理，得 ．所以 的最大值为 .所以 的最大值为6．
小锦囊 连接 ，结合三角形中位线定理，将求 的最大值转化为求 的最大值．(共23张PPT)
2023
第24章 圆
24.3 圆周角
第二课时 圆内接四边形的性质
起航加油
知识梳理
1.圆内接多边形：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形
叫做圆的______多边形，这个圆叫做这个多边形的________.
内接
外接圆
图1
2.圆内接四边形的性质：
定理 圆的内接四边形的对角______，且任何一个
外角都等于它的________.
如图1，四边形 内接于 ，则
_ _____， _____.
互补
内对角
课前自测
图2
1.（湖州中考）如图2，已知四边形 内接于
， ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
图3
2.如图3，四边形 是圆内接四边形， 是 延
长线上一点.若 ，则 的度数是
( ) .
B
A. B. C. D.
图4
3.如图4， 四边形 内接于 ， 2.由
圆内接四边形的性质知， _____ ，故
_____ ．
180
120
随堂演练
典型题析
知识点 圆内接四边形的性质
方法指导
借助圆内接四边形的性质，可以实现圆中角之间的转化，也可以把圆外的角与圆内的角沟通起来，为求角度或证明角相等提供条件.
思路点拨
图5
例 如图5， 上有两定点 , ， 是 上一动点
（不与 ， 两点重合）.若 ，则 的度
数是_ ___________.
或
图6
解：如图6，连接 .
①当点 在优弧 上时， ， ， .
.
.
②当点 在劣弧 上时， 四边形 内接于 ，
.
.
图6
当堂检测
图7
1.（淮安中考）如图7，四边形 是 的内接四
边形，若 ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
图8
2.如图8，四边形 是圆内接四边形，
， 是 延长线上一点.若 平分
，则 ____ .
54
图9
3.如图9， 是菱形 的外接圆.求证：四边形
是正方形.
证明： 四边形 内接于 ， .
四边形 是菱形， ，
， .
.
又四边形 是菱形， 四边形 是正方形.
课后达标
基础巩固
图10
1.（株洲中考）如图10，等边三角形 的顶点 在
上，边 ， 与 分别交于点 ， ，点
是劣弧 上一点，且与点 ， 不重合.连接 ，
，则 的度数为( ) .
C
A. B. C. D.
2.圆内接四边形 的四个内角的度数之比 可以是
( ) .
D
A. B. C. D.
图11
3.（宜昌中考）如图11，四边形 内接于 ，
连接 ， ， .若 ，则 的度
数为( ) .
B
A. B. C. D.
图12
4.（锦州中考）如图12，四边形 内接于 ，
为 的直径， ，连接 ，则
____ ．
40
图13
5.如图13，点 ， ， ， 均在 上，
， .求 的度数.
解：连接
， .
， .
.
四边形 是 的内接四边形，
．
能力提升
图14
6.如图14，在 中，以 为直径的半圆 与
， 的交点分别为 ， .
（1）已知 ，求 的度数.
解： 四边形 是 的内接四边形，
.
又 ， .
证明： 为 的直径, .
， .
又 ， ，
， ，
为等腰三角形.
图14
（2）当 时，求证： 为等腰三角形.
拓展延伸
7.探究与证明
【知识背景】 希腊数学家克罗狄斯·托勒密提出的托勒密定理指出，圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.
【知识运用】
（1）如图15，若四边形 内接于 ，则 _ _______.
图15
【探究证明】
图16
（2）如图16，四边形 内接于 ， 平分
， .求证： .
证明：连接 是 所对的圆心角，而
， 是 所对的圆周角， ,
.
平分 ， .
， 是 所对的圆周角， .
图16
是等边三角形.
四边形 是 的内接四边形，
， .(共26张PPT)
2023
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
*第四课时 切线长定理
起航加油
知识梳理
1.切线长：
切线上一点到______之间的线段长.
切点
2.切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长______，圆心与这一点的连线
______两条切线的夹角.
相等
平分
课前自测
图1
1.如图1， 为 外一点， ， 分别切
于点 ， .若 ，则 的长为( ) .
B
A.2 B.3 C.4 D.5
图2
2.如图2， ， 分别与 相切于点 ， ，
， ，则 的长为( ) .
B
A. B.2 C. D.3
图3
3.如图3， ， 是 的两条切线， ， 是
切点.若 ， ，则 ___，
的半径为___．
30
1
随堂演练
典型题析
知识点 切线长定理
图4
方法指导
切线长定理中的“钻石”图形：
如图4， , 为 的切线，此图形是切线长定理的基本
图形.因为此图形的形状像“钻石”，所以我们常把它称为“钻
石”图形，它含有如下元素：
（1）两个等腰三角形： 和 ；
（2）一条特殊的角平分线： 平分 和 ；
（3）三对互相垂直的线段： , , .
图4
图5
例 如图5， ， 与 分别相切于点 ， ,
切 于点 , 的周长为12, .
思路点拨
（1）求 的长.
解： ， 是 的切线， .
同理，得 ， .
的周长
（2）求 的度数.
图5
解： ， .
.
， 是 的切线， .
同理，得 .
.
．
当堂检测
图6
1.如图6, , 是 的切线, , 是切点,且
,则下列结论错误的是( ) ．
C
A. B.
C. D.
图7
2.如图7， ， 是 的切线, ， 为切点,
是 的直径, ,则 ____ .
40
图8
3.如图8， ， 分别与 相切于点 ， ，
为 的弦， 为 的直径.已知 ，
．
（1）求证： 是等边三角形.
证明: , 分别与 相切于点 , ， .
又 ， 是等边三角形.
图8
（2）求 的长．
解: 是等边三角形， ， .
是 的直径， 是 的切线， ，
.
.
.
课后达标
基础巩固
图9
1.如图9，四边形 的边 ， ， ， 分
别与 相切， .连接 ， ，则
的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
图10
2.如图10， ， ， 是 的切线，切点分别
是 ， ， ．若 ， ，则 的长是
( ) .
D
A.2 B.4 C.6 D.8
图11
3.如图11， 为 外一点， ， 分别切
点于 ， ， 切 于点 ，分别交 ，
于点 ， .若 ，则 的周长为____.
10
图12
4.如图12， ， 是 的切线， ， 为切点，
点 ， 在 上．若 ，则
_____ ．
219
图13
5.如图13， ， 分别切 于点 ， ，连接
，与 相交于点 ，连接 ， .求证：
.
证明： , 是 的切线, , .
又 , .
.
能力提升
图14
6.如图14，已知 与 中 ， 边的延长
线及 边均相切，且 ， ，
， ，则 的半径长是___．
提示：如图85，设 ， ， 与 的切点分别为点 ， ， ，连接 ， ，则 ， .由切线长定理，得 ， ， .又 ， ，所以四边形 是正方形. 设 ,则 .
图85
图85
，所以 .因为 ， ，所以
, ，即
.解得 ．
答案：2
图15
7.（教材第38页例5变式）实践与探究
【提出问题】 如图15，四边形 的边 ， ，
， 与 分别相切于点 ， ， ， ，
， ， .求 的长.
【问题分析】 根据教材第38页例5可知，先证得
，即可求出 的长.
【问题拓展】 请同学们用不同于“问题分析”中的方法与思路，计算
的长.
图15
解： ， ， ， 分别与 相切于点， ， ， ， ， , ， , ， ， ， ；
，即 ；
，即 , 得
,
， .
拓展延伸
图16
8.（陕西中考）如图16， 的半径为3， 是 外一点，且 .过点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，连接 并延长交切线 于点 ．
（1）求 的长.
图86
解：如图86，连接 ， 为 的两条切线， ， ，
.
在 中，由勾股定理，得
.
.
， ，
，
.
， ， ，
．
图86
图16
（2）若 是 上一动点，则 的长的最大值是__．
9
提示： 点 在 外， 是 上的一个动点， 当点 ， ， 三点在同一直线上，并且点 ， 位于点 的两侧时， 取得最大值．如图86，延长 交 于点 ，此时 最大，最大值为 ．(共36张PPT)
2023
第24章 圆
24.1 旋转
第二课时 中心对称及中心对称图形
起航加油
知识梳理
图1
1.中心对称：在旋转变换中，当 _____ 时，
是一个特殊的变换.如图1，将 绕点 旋
转_____ ，得到 _______，这时，图形
与图形 _______关于点 的对称叫做
中心对称，点_ __就是对称中心.
180
180
2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过
___________，且被对称中心______.
对称中心
平分
3.中心对称图形：把一个图形绕某一个定点旋转_____ ，如果旋转后
的图形能和原来图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定
点就是__________.
180
重合
对称中心
课前自测
1.下列数学符号中，不属于中心对称图形的是( ) .
D
A. B.// C. D.
图2
2.如图2， 与 关于点 成中心对称，则
_ __ .（填“ ”“ ”或“ ”）
3.（教材第6页练习第2题变式）在图3中画出线段 关于点 成中心对
称的图形．
图3
解：线段 即为所求.
随堂演练
典型题析
知识点一 中心对称图形的判断
方法指导
判断一个图形是否成中心对称的方法：倒着看这个图形，如果看到的图形与正着看看到的图形相同，那么这个图形就是中心对称图形，否则不是.
中心对称和轴对称的对比：
变换 中心对称 轴对称
区别 只有一个对称中心 至少有一条对称轴
图形绕对称中心旋转 图形沿对称轴折叠
旋转 后与另一个图形重合 折叠后与另一半图形重合
联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形全等
例1 （德州中考）下列图形属于中心对称图形的是( ) .
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
思路点拨 看各图形绕某一点旋转 后能否与自身重合，据此判断它是不是中心对称图形.
解：
选项 分析 判断
A 绕圆心旋转 ，能与自身重合 ×
B 绕正方形对角线交点旋转 ，能与自身重合 √
C 绕圆心旋转 ，能与自身重合 ×
D 绕中心旋转 ，能与自身重合 ×
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
知识点二 中心对称的性质及作图
方法指导
（1）要注意中心对称性质的“三个对应”:
①对应边相等；
②对应边平行或在同一条直线上；
③对应角相等．
（2）中心对称作图的基本方法如下：
类型 基本作法
有对称中心，画对称图形 各点与对称中心相连，再延长相等长度即可
有对称图形，找对称中心 连接对应点，其交点就是对称中心
图4
例2 如图4，已知 与 关于某一点成
中心对称.某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看
到 和线段 的对应线段 .请你帮该同
学找到对称中心，并补全 ，再写出两个三
角形中的对应点、相等的线段和相等的角.
思路点拨 根据对应点的连线经过对称中心，可找到对称中心；根据对应点的连线被对称中心平分，可画出点 的对应点 .
图5
解：如图，连接′，找到′的中点,或连接′，′，交于点，则对称中心即为点
连接并延长到点′，使′，得到点的对应点′.?
顺次连接点′，′，′，得到′′′.?
在和′′′中，对应点为和′，和′，和′；?
相等的线段为′′，′′，′′；?
相等的角为′′′，′′′，′′′
当堂检测
图6
1.图6是某年央视春晚演播厅顶部的大花造型，来源于中
国传统纹样“宝相花”．下列对其对称性的表述正确的是
( ) .
B
A.只是轴对称图形
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.只是中心对称图形
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
图7
2.如图7， 与 是成中心对称的两个
图形，则下列说法不一定正确的是( ) .
D
A. B.
C. D.
3.（教材第3页练习第1题变式）如图8，标出下列旋转对称图形的旋转
中心 ，并指出这个图形至少需要旋转多大角度才能与原图形重合，再
判断它们是不是中心对称图形.
图8
解：如图57，旋转中心 即为所求.
图57
（1）图形①至少旋转____ 与原图形重合，它____（填“是”或“不是”）
中心对称图形.
60
是
（2）图形②至少旋转____ 与原图形重合，它______（填“是”或“不
是”）中心对称图形.
72
不是
（3）图形③至少旋转_____ 与原图形重合，它______（填“是”或“不
是”）中心对称图形.
120
不是
图8
（4）图形④至少旋转____ 与原图形重合，它____（填“是”或“不是”）
中心对称图形.
90
是
4.如图9，画出 关于点 成中心对称的图形．
图9
解：如图58， 即为所求．
图58
课后达标
基础巩固
1.（襄阳中考）下列图形分别是可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾及其
他垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) .
C
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
图10
2.如图10，四边形 与四边形 的
对称中心是点( ) .
A
A. B. C. D.
图11
3.如图11， 是旋转对称图形，点___是旋转
中心，至少旋转_____ 后能与自身重合，它____
（填“是”或“不是”）中心对称图形.
180
是
图12
4.如图12， 与 关于点 成中
心对称， , ,
_ ___.
图13
5.如图13，已知 的顶点 ， ，
在格点上，按下列要求在网格中画图．
（1） 绕点 顺时针旋转 得到 .
图13
解： 绕点 顺时针旋转 得到 如图59.
图59
（2）画 关于点 的中心对称图形 ．
图13
解：画 关于点 的中心
对称图形 如图59.
图59
能力提升
图14
6.如图14，网格中小正方形的边长均为1，已知
四边形 的顶点均在格点上.
（1）求作四边形 ，使四边形 与四边形 关于点 中心对称.
解：如图60，四边形 即为所求.
图60
（2）在（1）的基础上，连接 ，求 的长.
图14
解：由勾股定理知，
.
图60
图15
7.如图15，在 中， , ,
, 与 关于点 成中心对称.求
的长.
小锦囊 成中心对称的两个三角形全等，根据全等三角形的性质求解．
图15
解： 与 关于点 成中心对称，
, ,
.在 中, ,
,
.在 中, .
.
拓展延伸
图16
8.图16分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形.
（1）图16中，属于中心对称图形
的是______.（填序号）
②④
（2）依此类推，三十六角星____（填“是”或“不是”）中心对称图形.
是
图16
（3）你怎样判断一个 （ ，
且 为整数）角星是否为中心对称
图形呢？谈谈你的见解.
解：当 是偶数时， 角星绕中心点旋转 后能与原图形重合，
此时 角星是中心对称图形；当 是奇数时, 角星绕中心点旋转
后不能与原图形重合,此时 角星不是中心对称图形．(共23张PPT)
2023
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第一课时 直线与圆的位置关系
起航加油
知识梳理
1.直线与圆的位置关系：
（1）如果直线与圆有____个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相
交，这条直线叫做圆的割线.
两
（2）如果直线与圆只有____个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做
相切，这条直线叫做圆的____线，这个公共点叫做______.
一
切
切点
（3）如果直线与圆______公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离.
没有
2.用数量关系描述直线与圆的位置关系：设 的半径为 ，圆心 到
直线 的距离为 ，则直线与圆的位置关系可表示如下.
（1）直线 与 相交 _ __ ；
（2）直线 与 相切 _ __ ；
（3）直线 与 相离 _ __ .
课前自测
图1
1.图1中的太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的
位置关系是( ) .
B
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
2.已知 的直径为 ，设圆心到直线 的距离为 ．
（1）若 ，则直线 与 ______（填“相交”“相切”或“相
离”），直线 与 有___个公共点；
相交
2
（2）若 ，则直线 与 ______（填“相交”“相切”或“相
离”），直线 与 有___个公共点；
相切
1
（3）若 ，则直线 与 ______（填“相交”“相切”或“相
离”），直线 与 有___个公共点．
相离
0
随堂演练
典型题析
知识点 直线与圆的位置关系
方法指导
无论多么复杂的图形，要判断直线和圆的位置关系，只需求出半径和圆心到直线的距离，比较大小后即可得出结论．
图2
例 如图2,去年位于 , 两地的两个小厂合并成一个大厂,为了方便 , 两地职工联系,该厂准备在相距 的 , 两地之间修筑一条笔直的公路 即图中的线段 .经测量,有一半径为 的圆形公园,其圆心 位于 地北偏东 方向, 地北偏西 方向.修筑的这条公路会不会穿过该公园 为什么 参考数据:
思路点拨 过点 作 的垂线，求出垂线段的长并与圆的半径0.7
进行比较.
图3
解：如图，过点作于点.
由题意，得.
.
.
设则.
在中， .
由勾股定理，得.
， . 解得.
以点为圆心为半径的圆与相离.
修筑的这条公路不会穿过该公园
当堂检测
1. 的直径为10,圆心 到直线 的距离为3,下列位置关系正确的是
( ) .
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
2.已知 的半径是6，点 到直线 的距离为6，则直线 与 的交
点有( ) .
C
A.0个 B.2个 C.1个 D.无法判断
3.已知 的直径为10，直线 与 有公共点.记圆心 到直线 的距
离为 ，则 的取值范围是_ _________．
图4
4.如图4，在 中， ，
， .当 分别取下列数值时，
以 为圆心、 为半径的圆与直线 有何位置关系？
解：过点 作 于点 .
在 中，由勾股定理，得 .
，
.
图4
（1） ；
解：当 时， ， 与直线 相离.
（2） ；
解：当 时， ， 与直线 相切.
（3） .
解：当 时， ， 与直线 相交.
课后达标
基础巩固
1.已知直线 与 相交，点 到直线 的距离是8，则 的半径可能
是( ) .
D
A.4 B.6 C.8 D.12
2.已知 的半径为5，圆心 到直线 的距离为6，那么直线 与
的公共点的个数是( ) .
A
A.0 B.1 C.2 D.3
图5
3.如图5，在 中， ， ，
以 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确
的是( ) .
D
A.点 在 内 B.直线 与 相离
C.点 在 上 D.直线 与 相切
4. 的圆心到直线 的距离是 ，若直线 是 的切线，则
的半径是___ .
5
图6
5.如图6，已知 ， ，
，以点 为圆心， 为半径作 .当
与线段 有交点时，求 的取值范围．
解：过点 作 于点 ，则当 与线段 有交点时，
， ， .
又 , 的取值范围是 ．
能力提升
图7
6.如图7,两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3.若
大圆的弦 与小圆有公共点,则弦 的取值范围是
_ ____________.
提示：当弦 过圆心时，弦 最长；当弦 与小圆相切时，弦 最短.
拓展延伸
图8
7.如图8，在 中， ， ， ， 是 边上的动点，以 为圆心、 长为半径作圆，设 ．
（1）当 为多少时， 与直线 相切？
解：过点 作 于点 .
在 中， , , , .
，
.
当 时， 与直线 相切. 则 . .
故当 时， 与直线 相切.
（2）分别写出当 与直线 相离，相交时， 的取值范围.
图8
解：当 与直线 相离时， ;
当 与直线 相交时， .
图9
8.如图9，在平面直角坐标系中， 的半径为1.
（1）直线 与 有怎样的位置关系？
图81
解：如图81，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，则 ， .
故 ， .
过点 作 于点 .
由 ，得 .
又 的半径为1，所以直线 与 相切.
（2）若直线 与 相交，则 的取值范围是_ _____________.
图9(共32张PPT)
2023
第24章 圆
24.6 正多边形与圆
起航加油
知识梳理
1.正多边形：各边______，各角也______的多边形叫做正多边形.
相等
相等
2.正多边形的画法：可以用________或______把一个圆分成 条
相等的弧，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的______正 边形；
经过各等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆
的______正 边形.
量角器
尺规
内接
外切
3.正多边形的性质：
（1）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是______圆.
同心
（2）把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的
______，________的半径叫做正多边形的半径，________的半径叫做正
多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中
心角，正 边形每个中心角都等于_ ____.
中心
外接圆
内切圆
（3）正多边形都是轴对称图形.一个正 边形一共有___条对称轴，每一
条对称轴都通过正 边形的中心.
如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就
是对称中心.
课前自测
1.下列关于正多边形的说法不正确的是( ) .
D
A.有一个外接圆和一个内切圆 B.各边相等且各角也相等
C.内切圆和外接圆是同心圆 D.一定是中心对称图形
2.中心角为 的正多边形的边数为____.
12
3.如图1，已知 的内接正六边形的边长为6，则 的半径为___.
6
图1
随堂演练
典型题析
知识点一 正多边形与圆的有关计算
方法指导
1. 正多边形中有关角的计算公式：
（1）正多边形的每个内角为 ;
（2）正多边形的每个外角为 .
2. 正多边形中有关边的计算公式： 设正多边形的边心距为 ,半径
为 ,边长为 ，边数为 ，周长为 ，面积为
（1） ;（2） ;
（3） .
3. 有关正多边形的计算，一般可以过正多边形的中心作边的垂线，
连接中心与一个顶点，构造直角三角形，再利用勾股定理或锐角三角函
数知识求解.
图2
例1 如图2,正六边形 内接于 ,若 的内
接正三角形 的面积为 ,试求正六边形的周长.
思路点拨
图3
解： 如图3,连接 ,过点 作 于点 ,
则 .
在 中,设 ,则 .
由勾股定理,得 .
由题意可知 的面积是 面积的6倍,
所以 .
解得 （负值已舍去），即正六边形的边长是8.
所以正六边形的周长为48.
知识点二 正多边形的画法
方法指导
画正多边形的关键是等分圆周.用量角器等分圆周是一种简单且常用的方法，但当边数较多时，有较大误差；对于一些特殊的正多边形，可以用圆规和直尺来作图.
例2 如图4，用等分圆周的方法作出 的内接正十边形.
图4
思路点拨 将以圆心为顶点的周角分成10等份，再顺次连接各分点即可.
图5
解： 如图5，（1）作半径 ;
（2）以 为顶点, 为一边,作 ,交 于点 ;
（3）以点 为圆心, 的长为半径画弧,交 于点 ;
以点 为圆心, 的长为半径画弧,交 于点 ; 顺 次画弧,得到分点 , , , , , ;
（4）顺次连接各等分点,得到的十边形 就是所求作的正十
边形.
当堂检测
图6
1.如图6，边长为2的正方形内接于 ，则 的半径
是( ) .
C
A.1 B.2 C. D.
图7
2.如图7，一个正 边形纸片被撕掉了一部分，已知它
的中心角是 ，那么 ___，这个正多边形的一
个内角的度数为_ _____．
9
图8
3.（长春中考）跳棋是一项传统的智力游戏．图8是一副
跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形
和等边三角形 组合而成，重叠部分的图形为正
六边形．若 ，则这个正六边形的周长为___
．
54
4.如图9， 是 的直径.用直尺和圆规作 的内接正八边形
.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
图9
解：如图91，正八边形 即为所求.
图91
提示：先作 的垂直平分线 ，再作直角的平分线 ， ， 然后顺次连接圆的8等分点即可.
课后达标
基础巩固
1.（上海中考）一个正 边形旋转 后可以与自身重合，则 的值可
能为( ) .
C
A.6 B.9 C.12 D.15
图10
2.如图10，正方形 内接于 ，点 在 上，
则 的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
图11
3.（雅安中考）如图11，已知 的周长为 ，则
该圆内接正六边形 的边心距 的长为
( ) .
C
A. B. C. D.3
图12
4.（徐州中考）如图12， ， ， ， 是一个外角
为 的正多边形的顶点.若点 为正多边形的中心，
则 的度数为_ ___.
图13
5.如图13，正三角形 内接于 ， .
（1）求 的直径.
图92
解：如图92，连接 ， ，作 于点
点 是正三角形 的外心， .
又 ， ，
.
设 ，则 .
在 中，由 ，
得 .
解得
.
的直径为 ．
图92
（2）求正三角形 的面积．
图13
解： ．
能力提升
图14
6.（绵阳中考）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕
式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一
家”的主题，让世界各国观众感受到了中国浪
漫．如图14，将“雪花”图案 视作边长为4的正六边
形 放在平面直角坐标系中，若 与 轴
垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为
( ) .
A. B.
C. D.
提示：连接 ， ，相交于点 .由题意可知，
， ，则 .在 中，
， ，所以 ，
.故点 的横坐标为 ，
纵坐标为 .因此 .
答案：A
图14
M
图15
7.如图15，已知 和 上的一点 ．
（1）作 的内接正方形 和内接正六边形 .（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
图93
解：如图93.作法提示：①作直径 .
②作直径 .
③依次连接 ， ， ， 四点，则四边形 即为 的内接正方形.
④分别以 ， 为圆心，以 长为半径作弧，交 于 ， ， ， .
⑤顺次连接 ， ， ， ， ， 各点，所得六边形 即为 的内接正六边形．
图15
（2）在（1）的作图中，点 在 上，求证： 是 的内接正十二边形的一边．
证明：设 是 内接正 边形的一边.如图93，连接 ，
， ，
，
为 的内接正十二边形的一边．
图93
拓展延伸
8.（金华中考）如图16，已知正五边形 内接于 ，阅读以下
作图过程并回答问题.
图16
作图过程：如图17，①作直径 ；②以 为圆心， 为半径作圆弧，
与 交于点 ， ；③连接 ， ， ．
图17
（1）求 的度数．
解： 五边形 是正五边形， .
（2） 是正三角形吗？请说明理由．
图94
解： 是正三角形.
理由：如图94，连接 ， .
由题意可得 ， 是正三角形.
.
.
同理可得 . 是正三角形.
（3）从点 开始，以 长为半径，在 上依次截取分点，再依次
连接这些分点，得到正 边形，求 的值．
图94
解：如图94，连接
， .
， .
， ．(共31张PPT)
2023
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第二课时 垂径分弦
起航加油
知识梳理
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过______的任意一条直线都是它
的对称轴.
圆心
2.有关定理：
（1）垂径定理 垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的
两条____.
平分
弧
（2）定理 平分弦（不是______）的直径______于弦，并且______弦所
对的两条弧.
直径
垂直
平分
3.圆心到弦的距离叫做________.
弦心距
课前自测
图1
1.如图1，已知 为 的弦， 为 的中点，连接
，则 的度数为( ) .
D
A. B. C. D.
2.（教材第17页练习第3题变式）判断正误：
（1）圆有无数条对称轴. ( )
√
（2）若直径平分弧，则该直径也平分这条弧所对的弦. ( )
√
（3）若直径垂直于弦，则该直径一定平分这条弦. ( )
√
图2
3.一条排水管的截面如图2，已知排水管的半径
，水面宽 .过点 作 于
点 ，则 的长为___ .截面圆心 到水面的距离为
___ .
4
3
随堂演练
典型题析
知识点一 垂径分弦有关定理的应用
方法指导
解决有关弦的问题时，常过圆心作弦心距或作垂直于弦的直径，连半径等，构造由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形，为应用垂径分弦有关定理提供条件.
例1 如图3，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 .
图3
（1）求折痕 的长.
图4
解：如图4，过点 作 于点 .
的半径为 ， .
由折叠的性质知， ， .
在 中，由勾股定理，得
.
， 由垂径定理，得 .
思路点拨（1）已知半径求弦长，一般作出弦心距，利用垂径定理和勾股定理求解．
（2）连接 ， ，求 的度数.
图3
解：在 中， ， ，
.
，即 .
，
.
.
思路点拨 （2） 是等腰三角形，故只要求出 或 ，即可求出 ．在（1）中构造的直角三角形内，利用锐角三角函数值可求出相应的锐角．
知识点二 垂径定理的实际应用
方法指导
在圆中，有关弦长 、弦心距 、半径 及弓形的高 的计算题，
常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求
解.如图5，上述4个量的关系是 ， .
图5
图6
例2 如图6，一圆弧形桥拱的圆心为 ，拱
桥的水面跨度 ，桥拱到水面的
最大高度为 ．
（1）求桥拱的半径.
图7
解： 如图7，过圆心 作 于点 ，交 于点 ，则 .
由垂径定理知， .
在 中，由勾股定理，得 .
思路点拨（1）根据垂径定理构造直角三角形，然后利用勾股定理列方程求解.
图7
设圆的半径是 ，则 .
解得 .
答：桥拱的半径为 .
图6
（2）现水面上涨后水面跨度为 ，求水面上涨的高度为多少米．
图7
解：如图7，设水面上涨后水面跨度 为 ，
交 于点 ，连接 .
， ， .
由垂径定理知， .
在 中，由勾股定理，得 ，
思路点拨（2）已知半径长和弦长，利用垂径定理和勾股定理可求出弦心距，再根据线段的和差关系求解.
，
.
答：水面上涨的高度为 .
图7
又 ， ，
.
当堂检测
图8
1.如图8，在 中， 于点 ， 的长为3，
则弦 的长为( ) .
B
A.4 B.6 C.8 D.10
图9
2.如图9， 的弦 ， 是 的中点，
，则 的度数为( ) .
A
A. B. C. D.
图10
3.如图10, 是 的直径,弦 于点 ，
， ，则 的长为___.
2
图11
4.（青海中考）图11是一个隧道的横截面，它的形状是
以点 为圆心的圆的一部分， 是 中弦 的中
点， 经过圆心 交 于点 ，并且 ，
.求 的半径长．
图66
解：如图66，连接 .
设 的半径为 ， 是弦 的中点， 过圆心 ， ， .
在 中， ， ，根据勾股定理，得 .
解得 . 的半径长为 ．
课后达标
基础巩固
图12
1.如图12, 的弦 的长为16, 是 的中点,且
，则 的半径为( ) .
C
A.8 B.4 C.10 D.5
图13
2.如图13，已知 的半径为 ，弦 ，
则 等于( ) .
A
A. B. C. D.
图14
3.（安徽中考）如图14，已知 的半径为7， 是
的弦，点 在弦 上．若 ， ，则
的长为( ) .
D
A. B.4 C. D.5
提示：如图67，连接 ，过点 作 于点 ，则 ， .在 中，由勾股定理，得 .在 中，由勾股定理得 ．
图67
图15
4.（自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成
了几块，其中一块碎片如图15.测得该碎
片的弦 长 ，弓形高 为 ，
则该圆形镜面的半径为____ ．
26
图16
5.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，
其截面如图16.设截面圆的圆心为点 ，且
，求 的半径长.
图68
解：如图68，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，则
四边形 是矩形， .
四边形 是矩形.
.
设 的半径为 ,则 ， .
在 中，由勾股定理，得 ，即.
解得
的半径长是2.5.
图68
能力提升
图17
6.（贺州中考）如图17， 是 的直径，且经过弦
的中点 .已知 ， ，则 的长
为( ) .
A. B. C. D.
图69
提示：如图69，连接 .由 是 的直径，且经过
弦 的中点 ，得 .在 中，
， ，所以 .故
.设 ，则
.在 中，由勾股定理，得
.解得 ，即 .故
．
答案：B
7.已知 的半径为13， ， 是 的两条弦， ，
， ，则 和 之间的距离为_______．
7或17
小锦囊 需分类讨论 ， 的位置情况.
提示：作 于点 ，交 于点 ，连接 ， .由题意可知， ，则 ， .在 中， .在 中， .如图70，当圆心 在 与 的同侧时， .如图71，当圆心 在 与 之间时， .
图70
图71
拓展延伸
图18
8.（梧州中考）如图18，在半径为 的 中，弦
与 交于点 ， ， ， .求
的长.
小锦囊 观察图与交于点，则连接，作为已知弦长和未知弦长的中间量.作垂直于弦的半径，构造直角三角形，结合垂径定理、锐角三角函数求解.
解：如图，过点作于点于点，连接，则.
故.
在中，，所以.
故是等腰.
图72
又所以 .
因此.
在中，所以.?
图72(共26张PPT)
2023
第24章 圆
24.1 旋转
第一课时 旋转的概念和性质
起航加油
知识梳理
1.旋转：在平面内，一个图形绕着一个定点 如点 ，旋转______的角
度 如 ，得到另一个图形的变换，叫做旋转.定点 叫做_________，
叫做旋转角.原图形上一点 旋转后成为点 ，这样的两个点叫
做________.
一定
旋转中心
对应点
2.旋转的性质：在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋
转中心的距离______；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角
_______，都等于________；__________是唯一不动的点.
相等
相等
旋转角
旋转中心
3.旋转对称图形：在平面内，一个图形绕着一个______旋转一定的角度
后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图
形，这个______就是旋转中心.
定点
定点
课前自测
1.下列运动属于旋转的是( ) .
C
A.火箭从发射架上升空 B.货箱在传送带上滑动
C.风车转动 D.足球在草地上滚动
2.下列图形中，不是旋转对称图形的为( ) .
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图1
3.如图1， 绕点 逆时针方向旋转 得到
，则旋转中心是点___，点 的对应点是点
___， 的度数为_ ___.
随堂演练
典型题析
知识点 旋转的三要素与性质
图2
方法指导
（1）正确理解图形旋转的定义的关键是
找到旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向
和旋转角．如图2，将 绕着点 逆时针
旋转一定角度，得到 .
（2）旋转的性质：①旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形是全等的；②对应点到旋转中心的距离相等，即图形的旋转隐含了线段相等的条件；③对应点与旋转中心连线所成的夹角等于旋转角，即图形的旋转隐含了角相等的条件.
图3
例 如图3， 是等腰直角三角形 内一点，
是斜边.将 绕点 按逆时针方向旋转到
的位置，则 的度数是( ) .
A. B. C. D.
思路点拨
图3
解：将 绕点 按逆时针方向旋转到 的位置，即旋转中心是点 ，点 与点 ，点 与点 是对应点.
由旋转的性质，得 ， .
故 是等腰直角三角形.
因此 .
答案：D
当堂检测
1.下列图形，是旋转对称图形的为( ) .
C
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
图4
2.（南充中考）如图4，将直角三角板 绕顶点
按顺时针方向旋转到 ，点 恰好落在
的延长线上， ， ，则
的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
图5
3.如图5，将 绕点 旋转得到 ，
， ， ， .有下列说法：
①点 的对应点是 ； ； ；
；⑤旋转中心是点 ；⑥旋转角的度数
为 ．其中，一定正确的是__________.（填序号）
①③④⑤
图6
4.（1）给图6中的图形分类：只属于
轴对称图形的是____，只属于旋转
对称图形的是____，既属于轴对称
图形又属于旋转对称图形的是____.
（填序号）
②
①
③
图6
（2）用点 标出图6中旋转对称图
形的旋转中心，并指出图形至少需
要旋转多大角度才能与原图形重合.
图53
解：①③的旋转中心如图53，①至少需要旋转
才能与原图形重合，③至少需要旋转 才能与原
图形重合.
课后达标
基础巩固
1.下列图形中，既属于轴对称图形，又属于旋转对称图形的是( ) .
B
A.&9& B.&10& C.&11& D.&12&
图7
2.如图7，把等边三角形 绕其中心 旋转一定角度
后与自身重合，则这个旋转角度至少为( ) .
C
A. B. C. D.
图8
3.如图8，在 中， ，将 绕点 逆
时针旋转 得到 ， 与 交于点 ，则
等于( ) .
A
A. B. C. D.
提示：由旋转的性质，得 .又 ，所以 .
4.用点 标出图9中旋转对称图形的旋转中心.图①绕旋转中心需至少旋
转____ 能与原图形重合；图②绕旋转中心需至少旋转____ 能与原
图形重合.
90
60
图9
O
O
图10
5.如图10，将 绕点 按逆时针方向旋转
后，得到 .
（1）旋转中心是点_ __.
（2）若点 的对应点 恰好落在 边上， ， ， ，求旋转角 的度数和 的长．
解：由旋转的性质，得 ， .
又 ，所以 是等边三角形.
所以 , .
所以旋转角 的度数是 ， .
能力提升
图11
6.（教材第10页习题24.1第4题变式）方格纸上四
边形 的位置如图11，请在图中画出3个与四
边形 全等但位置不同的四边形.
提示：将四边形 进行平移、轴对称或旋转
变换后得到的四边形，均与四边形 全等.
解：图略.
图12
7.（苏州中考）如图12，在 中，点 在 边
上， .将线段 绕点 旋转到 的位置，
使得 ，连接 ， 与 交于点 ．
（1）求证： .
证明： ，
将线段 绕点 旋转到 的位置， ．
又 ， .
.
图12
（2）若 ， ，求 的度数．
解： ， ， .
．
， .
．
拓展延伸
图13
8.如图13，在 中， ，
.将 绕点 逆时针旋转 得到
，连接 交 于点 ，则 的长是_ _____
___.
小锦囊 由图可知 ，故需分别求出 ， 的长.结合旋转的性质，考虑连接 ，构造等边三角形.
图55
提示：如图55，连接 .由旋转的性质，得
， .故 为等边三角形.所以
.由勾股定理，得
.由 ，
，可知 垂直平分 ，即点 为
斜边 的中点.所以 .由勾股定理，得
.故 .
答案：(共30张PPT)
2023
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
起航加油
知识梳理
1.三角形的内切圆：
与三角形三边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫
做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形.
相切
内心
外切
2.三角形的内切圆的作法：
作三角形的两条__________，设交点为 ，以点 为圆心，点 到三
角形任一条边的______为半径作圆，则 就是该三角形的内切圆.
角平分线
距离
3.三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离______.
相等
课前自测
1.已知 是 的内切圆，则点 是 ( ) .
C
A.三边的垂直平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三条高的交点
图1
2.如图1， 是 的内切圆，与三边的切点
分别为 ， ， ，且 ， ，则
___, ___， ___．
3
2
5
图2
3.如图2， 是 的内切圆， ，
，则 ____ ， ____ ，
_____ .
30
40
110
随堂演练
典型题析
知识点 三角形的内切圆
方法指导
（1）如图3, 是 的内切圆， , , 是
切点, , ， .
①由切线长定理可得下列结论：
， , .
②设 的面积为 ， 的半径为 ，则有 .
图3
（2）如图4,若 是直角三角形， ，则有
.
图4
例 如图5，已知在 中， ， 是 的内切圆，
， ， 是切点.
图5
（1）求证：四边形 是正方形.
证明： 是 的内切圆, , .
.
又 , 四边形 是矩形.
又 , 四边形 是正方形.
思路点拨（1）由切线的性质易得直角，即考虑用“三个内角为 ” “相邻两边相等”来判定四边形 是正方形.
（2）若 ， ，求内切圆 的半径.
图5
解：
解法一：在 中， ， ， ，
.
设 的半径为 . 四边形 是正方形， .
由切线长定理，得 ， .
， ，即 .
解得 . 的半径为2.
思路点拨 （2）思路一：由（1）知 ,则可由切线长定理列出关于半径 的方程.
解法二：如图6，连接 , , , .
设 的半径为 .
是 的内切圆， .
在 中， , , ,
图6
.
由图6可知 .
思路点拨 思路二：连接 ， ， ，可根据 列方程求解.
,
.
, 即 .
. 的半径为2.
图6
当堂检测
1.下面关于三角形内心的说法，正确的是( ) .
D
A.三角形的内心到三个顶点距离相等
B.直角三角形的内心在斜边的高上
C.三角形的内心与外心不可能重合
D.三角形的内心一定在三角形内部
图7
2.如图7， 是 的外切三角形，
，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
图8
3.如图8， 的内切圆 与 ， ， 分别
相切于点 ， ， ， ， ，
.求 的长.
解：设
是 的内切圆， ， ，
， ， ，
， .
解得 ．
课后达标
基础巩固
图9
1.如图9， 的内切圆 与各边相切于点 ， ，
，且 ，则 是( ) .
B
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
图10
2.如图10，已知 的斜边 的长为8，内切圆
的半径为1，切点分别为 ， ， ，则 的周
长为( ) .
D
A.21 B.20 C.19 D.18
图11
3.如图11， 是 的外切三角形， 边与
相切于点 .若 ,则 ____ .
66
图12
4.（潍坊中考改编）如图12， 的内切圆
（圆心为点 ）与各边分别相切于点 ， ， ，
连接 ， ， ．以点 为圆心，以适当长
为半径作弧，交 ， 于点 ， ；分别以
点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两条弧交于点 ；作射线 ．
下列说法正确的是______．（填序号）
①射线 一定过点 ；
②点 是 三条中线的交点；
③若 是等边三角形，则 ；
④点 不是 三条边的垂直平分线的交点.
答案：①③
图12
5.如图13， 是等边三角形， 是 的内切圆，半径为2.
求 的外接圆的半径.
图13
图89
解：由等边三角形“三线合一”的性质可知， 的内心、外心均为点 ，即点 既是 的内切圆的圆心，也是 的外接圆的圆心.如图89，设 与 边相切于点 ，连接 ， .则 ,即 ， 是直角三角形.
是等边三角形， .
点 是 的内心， .
小锦囊 等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆.
在 中， ， ， ,即 外接圆的半径为4.
图89
能力提升
图14
6.如图14，在 中， ， ，
是 的内切圆，分别与边 ， ，
相切于点 ， ， ，则圆心 到顶点 的距离为
_ ____．
图90
提示：如图90，连接 ， ， ，易得四边形
是正方形.设 的半径为 ,则
，
.因为 ，
即 ，所以 ．则 ，
．所以 ．
图15
7.如图15， 为 的直径， 内接于 ，
，点 是 的内心，延长 交 于
点 ，连接 ， ．
（1）求证： .
证明： 为 的直径， .
点 是 的内心， ，
.
， ，
.
（2）已知 的半径是 ， ，求 的长．
图15
解：连接
为 的直径， .
由（1）可知， ， 是等腰直角三角形.
的半径是 ， .
， ，
，即 .
．
拓展延伸
图16
8.拓展与探究
【提出问题】 只知道三角形的边长，如何求三角形的面积？
【阅读材料】 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的《度量论》一书中给出了海伦公式 .（其中 , , 是三角形的三边长, ， 为三角形的面积）
【解决问题】 如图16，在 中， ， ， .
（1）用海伦公式求 的面积.
图16
解：在 中，因为 ， ， ，所以 .
所以 .
故 的面积为 .
图16
（2）求 的内切圆 的半径 .
解：连接 ， ， .
因为 是 的内切圆，所以点 到 ， ， 的距离均为 .
所以 ，
即 .
解得 .
故 的内切圆 的半径 ．(共23张PPT)
2023
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第三课时 切线的判定
起航加油
知识梳理
切线的判定：
经过半径外端点并且______于这条半径的直线是圆的切线.
垂直
课前自测
1.下列选项中，表述正确的是( ) .
C
A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端点且垂直于这条弦的直线是圆的切线
图1
2.如图1，以点 为圆心作圆，所得的圆与直线
相切的是( ) .
D
A.以 为半径的圆 B.以 为半径的圆
C.以 为半径的圆 D.以 为半径的圆
图2
3.如图2， 的一边 是 的直径.请你添加一
个条件，使 是 的切线.你所添加的条件是______
_________________________________.
（答案不唯一） 或
随堂演练
典型题析
知识点 切线的判定
方法指导
证明直线与圆相切的两种思路：（1）若直线与圆的一个公共点已知，则连接这个点和圆心作出半径，证直线与这条半径垂直，简称“有交点，连半径，证垂直”；（2）若直线和圆的公共点未知，则先过圆心作已知直线的垂线，再证这条垂线段的长度等于半径长，简称“无交点，作垂直，证半径”.
图3
例 如图3， ， 是 的半径，且 ，
是 上任意一点， 的延长线交 于点 .过点
的直线交 的延长线于点 .若 ，试判断
与 的位置关系，并说明理由.
思路点拨 猜想与相切，连接，只要证明即可.利用圆的半径相等和“等边对等角”的性质，通过角的等量转化，可证明从而得出.
图4
解与相切.
理由如下：
如图，连接.
， .
， .
， .
又， .
.
又是的半径， 与相切
当堂检测
图5
1.如图5，已知 的半径为5，直线 经过 上
一点 .添加下列条件后，能判定直线 与 相切
的是( ) .
D
A.
B.
C.点 到直线 的距离是4
D.
图6
2.如图6， ， 为 边上任意一点，
以 为圆心， 为半径作 ，当 的长为
___ 时， 与 相切．
4
提示：作 于点 ，则当 时， 与 相切，此时 ．
图7
3.（教材第37页练习第5题变式）如图7， 是 的
直径，且 ， ．
求证：直线 是 的切线．
证明： ， ， .
又 是 的直径， 直线 是 的切线.
图8
4.如图8，以点 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径
为 ，弦 ,小圆的半径为 .求证：
直线 与小圆相切.
图82
证明：如图82，作 于点
， .
.
又小圆的半径为 ， 为小圆的半径.
又 ， 直线 与小圆相切.
课后达标
基础巩固
图9
1.如图9， 是 外一点，直线 与 相交于点 ，
连接 ， .添加下列条件后，仍不能说明直线 是
的切线的为( ) .
D
A. B.
C. ， D.
图10
2.如图10，在 中， ， ，
以点 为圆心，以 为半径作 .当 的长
为___ 时，直线 与 相切.
6
图11
3.如图11，已知 内接于 ， 为直径，
，过点 作直线 .当 ____ 时，
是 的切线.
50
图12
4.如图12，在 中， ，
的平分线交 于点 ，以 为圆心， 长为半径
作 ．
求证： 与 相切．
证明：过点 作 于点
， .
又 平分 ，
是 的半径， 是 的半径.
又 ， 是 的切线．
图13
5.如图13，在 中， ，以 为直径的 与 边交于点 ，过点 作 ，垂足为 ．
求证： 为 的切线．
证明：连接 ，
，
.
又 ， .
又 是 的半径， 为 的切线.
能力提升
6.如图14， 是 的弦， 于点 ，交 于点 ，
， ．
图14
（1）求 的长.
图83
解：如图83，连接 ，则
， .
， ，
.
.
（2）若 是 的中点，求证： 是 的切线．
图14
证明：如图83，连接 ，则 .
又 ， 为等边三角形.
， .
是 的中点，
， .
，即 .
又 是 的半径， 是 的切线．
图83
拓展延伸
图15
7.如图15， 是 的直径， 是 上的一
点， 于点 ， 交 于点 ，连接
， 平分 ，过点 作 于点 ，
交 于点 ．
图84
证明：如图84，连接
，
平分 ，
.
又 ， .
又 是 的半径， 是 的切线.
（1）求证： 是 的切线.
（2） ， 的延长线相交于点 ， ，求 的值.
图15
图84
解：设
， ， ,
,
，
.(共28张PPT)
2023
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第四课时 圆的确定
起航加油
知识梳理
1.圆的确定：经过一个点或两个点可以作______个圆，不在同一直线上
的三个点确定______圆.
无数
一个
2.三角形的外接圆：
（1）经过三角形三个______的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心
叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形.
顶点
外心
内接
（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离______.
相等
3.反证法：
（1）证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论________，
然后经过推理，得出______的结果，最后断言结论一定______，这样的
证明方法叫做反证法.
（2）用反证法证明命题的三个步骤：
①反设；②推理；③结论.
不成立
矛盾
成立
课前自测
1.下列条件中能够确定一个圆的是( ) .
D
A.已知圆心 B.已知半径
C.已知三个点 D.已知过三角形的三个顶点
2.用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于 ”时，首先应假
设这个三角形中每一个内角都______ .
大于
图1
3.如图1，点 ， ， 都在 上，连接 ，
， .
（1） 是 的______圆； 是 的
______三角形.
外接
内接
（2）点 是 的____心；连接 ， ， ，
则 _ __ ___ （填“ ”“ ”或“ ”）.
外
随堂演练
典型题析
知识点一 圆的确定
方法指导
确定一个圆的圆心的方法：
（1）作出此圆任意两条弦（不平行）的垂直平分线，交点即为圆心．依据是弦的垂直平分线经过圆心，且两条不平行的弦的垂直平分线只有一个交点．
（2）作出该圆的内接三角形，这个三角形的外心即为该圆的圆心.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.注意：锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边中点处，钝角三角形的外心在三角形外.
图2
例1 有一圆形轮片因锈蚀无法使用，在去掉锈蚀部分后，
要根据剩下的轮片轮廓制作新轮片.剩下轮片的轮廓如图
2，已知弧上的三点 ， ， ．
（1）用尺规作图法找出 所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）.
解：如图3，点 即为所求圆心.
图3
思路点拨（1）作弦 ， 的垂直平分线，其交点即为圆心.
（2）设 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求轮
片的半径 ．
图4
解：如图4，连接 交 于点 ，连接 ， ．
， ，
垂直平分线段 .
， .
思路点拨（2）构建由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理求解．
.
在 中， ，由勾股定理，得 .
．
图4
知识点二 反证法
方法指导
用反证法证明命题的一般步骤：
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
思路点拨 根据反证法的一般步骤，假设三角形中有两个角是直角结合三角形内角和定理解答．
证明 对于任意 ，记 ， ， 是 的三个内角．
假设 ， ， 中有两个直角，不妨设 .
因为 ,
所以 .
这与三角形内角和等于 相矛盾.
所以 的假设不成立.
故一个三角形中不能有两个角是直角．
当堂检测
1.已知 的斜边长为4，则 的外接圆的半径为( ) .
B
A.1 B.2 C.3 D.4
2.用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，若同位角不相等，则这两
条直线不平行”．
已知：如图5，直线 ， 被直线 所截， ．
图5
求证：直线 与直线 不平行.
证明：假设______，
根据“两直线平行，____________”，
得 .
这与已知条件_________相矛盾，
______的假设不成立．
直线 与直线 不平行.
同位角相等
图6
3.如图6，在平面直角坐标系中， 的一
段圆弧经过 ， ， 三点.
（1）在图6中标出圆心 的位置，点 的坐
标为_ _____， 的半径为_____.
解：（图略）
（2）点 在 ____（填“上”“内”或“外”）.
外
课后达标
基础巩固
1.下列命题正确的是( ) .
B
①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
图7
2.小明不慎把圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图7.三块碎
片中，可以配到与原来一样的圆形镜子的是( ) .
A
A.① B.② C.③ D.均不可能
3.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 ”时，首先应
该假设：任意一个钝角三角形中，每个内角都_ ______________.
大于或等于
4.如图8，已知直线 和直线外的两点 ， ，经过 ， 作 ，使它
的圆心在直线 上．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
图8
解：如图76.
图76
5.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
证明
已知在三角形中，.求证：一定是锐角.
证明：假设不为锐角，则为直角或钝角，即.
因为
所以这与三角形内角和等于相矛盾.所以假设不成立.
故等腰三角形的底角一定是锐角.?
能力提升
图9
6.（玉林中考）如图9，在 网格中，各小正方
形的边长均为1，点 ， ， ， ， ， 均在
格点上，点 是 的外心.不添加其他字母，
除 之外，外心也是点 的三角形有：
_ _________________________．
， ，
提示：由题意可得， .因此以点 ， ，
， 中任意三点为顶点的三角形的外心都是点 .
图10
7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，为更换管道，维修人员需确定管道截面圆的圆心和半径，图10是水平放置的破裂管道截面．
（1）请用直尺和圆规作图，确定圆心 的位置.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
图77
解：如图77.
提示：作线段 的垂直平分线 ，垂足为点 ，交 于点 ；连接 ，作线段 的垂直平分线，与 交于圆心 .
（2）若这个管道有水部分的水面宽 ，水最深处的深度为
，求这个圆形截面的半径．
图10
图77
解：如图77，连接 ，设半径为 .
由（1）中作图知， ， .
在 中， ，即
，解得 .
答：这个圆形截面的半径是 ．
拓展延伸
图11
8.如图11，在等腰三角形 中， ， 是
的外接圆， ， ．
（1）求 的半径 ．
图78
解：如图78，连接
， ， 点 , 在 的垂直平分线上.
延长 交 于点 ，则 是 的中点，
， .
图78
在 中， ， ， ， ， .
解得
的半径为5.
（2）求 ．
图11
图78
解：由（1）得 ，
.
如图78，过点 作 于点
， .
.
．(共30张PPT)
2023
第24章 圆
24.7 弧长与扇形面积
24.8 综合与实践 进球线路与最佳射门角
起航加油
知识梳理
1.弧长计算公式：在半径为 的圆中， 圆心角所对的弧长 的计算公
式是 _____.
2.扇形及扇形面积计算公式：
（1）圆的两条半径与所夹____围成的图形叫做扇形.
弧
（2）在半径为 的圆中，圆心角为 的扇形面积 的计算公式是
_ _____.
（3）若扇形的弧长为 ，半径为 ，则扇形面积 _ ____.
3.圆柱的侧面展开图：底面半径为 、母线为 的圆柱，它的侧面展开
图是______，所以这个侧面展开图的面积 的计算公式是 _ _____.
矩形
4.圆锥的侧面展开图：底面半径为 、母线为 的圆锥，它的侧面展开
图是______，所以这个侧面展开图的面积 的计算公式是 _ ___.
扇形
课前自测
1.若一个扇形的半径为6，圆心角为 ，则它的弧长为( ) .
A
A. B. C. D.
2.若扇形的半径是 ，弧长是 ，则扇形的面积为______
.(结果保留 )
3.（淮安中考）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面
积是_ ____．(结果保留 )
随堂演练
典型题析
知识点一 弧长与扇形面积的有关计算
方法指导
（1）从弧长公式 ，可以看出，弧长 、圆心角 、圆的
半径 这三个量中，只要知道其中任意两个量，即可求出第三个量.
（2）计算扇形面积时，要根据条件，灵活选择计算公式：当已知
半径 和圆心角的度数 时，选用计算公式 ；当已知半径
和弧长 时，选用计算公式 .
例1 （北海中考）已知扇形的弧长为 ，面积为 ，则这个扇形
的圆心角度数为_ _____.
思路点拨 已知弧长，根据扇形面积计算公式可求出半径，再根据弧长计算公式可求出圆心角度数.
解：设这个扇形的圆心角度数为 ，半径为 ，弧长为 ，面积
为 .
， ， ，
.解得 .
又 ， .
解得 .
这个扇形的圆心角度数为 .
知识点二 圆锥的有关计算
方法指导
圆锥的侧面展开图及有关计算，要抓住三组关系：①底面圆的周长等于侧面展开的扇形的弧长；②圆锥的母线长等于侧面展开的扇形的半径；③底面圆的半径、圆锥的高、圆锥的母线恰好构成一个直角三角形.这三组关系是解决圆锥有关问题的依据与出发点.
例2 底面圆的半径为4,高为3的圆锥的侧面积是( ) .
C
A. B. C. D.
思路点拨
图1
解：如图1，由已知得，圆锥底面 的半径 ，圆锥的高 .
由勾股定理，得圆锥的母线长 .
所以圆锥的侧面积 .
当堂检测
图2
1.（柳州中考）如图2，圆锥底面圆的半径 ，母
线长 ，则这个圆锥的侧面积为( ) .
C
A. B. C. D.
图3
2.（兰州中考）图3是一块扇面宣传展板，它是
以 为圆心， ， 长分别为半径，圆心
角 形成的扇面.若 ，
，则阴影部分的面积为( ) .
D
A. B. C. D.
图4
3.（玉林中考改编）如图4，数学课上，
老师将边长为1的正方形铁丝框变形成
以 为圆心， 的长为半径的扇形
（铁丝的粗细忽略不计），那么
的长是___，扇形 的面积是___．
2
1
图5
4.（教材第54页例2变式）图5是一个圆形花坛的示意图，在花坛边缘选取了 ， ， 三点，测量得 ， .求这个圆形花坛的面积.（参考数据： .结果保留1位小数）
解：设花坛的半径为 ，则这个花坛的面积为
， 所对圆心角为 .
根据弧长公式，得 .
解得 .
.
答：这个圆形花坛的面积约为 .
课后达标
基础巩固
1.如果一个扇形的弧长和半径均为2，那么这个扇形的面积是( ) .
D
A. B. C.4 D.2
图6
2.如图6，已知圆锥形烟囱帽（阴影部分）的底面半径
为 ,母线长为 ,制作这样一个烟囱帽所需要
的铁皮面积至少为( ) .
B
A. B.
C. D.
图7
3.（贺州中考）如图7，在等腰直角三角形
中， ,点 在 上，以点 为圆心，
为半径作圆弧交 于点 ，连接 .已知阴
影部分面积为 ，则 的长为( ) .
C
A. B.2 C. D.
4.（徐州中考）如图8，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面
展开图的圆心角的度数为_ _____．
图8
图9
5.（吉林中考）如图9，在半径为1的 上顺次取点
， ， ， ， ，连接 ， ， ， ，
， ．若 ， ，则
与 的长度之和为__.(结果保留 )
图10
6.如图10，在 中， ，
，将 绕点 顺时针旋转 后得
到 ，点 经过的路径为 ，将线段
绕点 顺时针旋转 后，点 恰好落在 上的
点 处，点 经过的路径为 .求图中阴影部分的
面积.
图10
解：由题意，得.在中，
?
能力提升
图11
7.如图11，在 中， ，
， .将 绕点 顺时针旋转
后得到 ，点 的运动轨迹为 .将线
段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，点
的运动轨迹为 .连接 ，则图中阴影部分的面积
是( ) .
A. B. C. D.
图11
提示：过点 作 于点 .由勾股定理，得
.由旋转的性质，得
， .又
，所以
.所以 .
所以 .故
．
答案：D
图12
8.（南宁中考）如图12， 是 的内接三角
形， 为 直径， ， 平分 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 .
（1）求证： .
证明： 平分 ，
， .
图12
（2）若 ，求 的长.(结果保留 )
解：连接 ， .
为 直径， ， ，
.
.
.
的长 ．
拓展延伸
9.综合与实践
【提出问题】
图13
（1）如图13， 是 的弦， 是 外的一点，连
接 ， ， 交 于点 .求证： .
证明： , ,
.
【深度探究】
图14
（2）如图14， 是 的弦，直线 与 相切与点 ，与 延长线交于点 .分别判断 与 的大小关系， 与 的大小关系，并说明理由.
图95
解： , .
理由：如图95，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ,
, , , .
又 ， , .
【实践应用】
图15
（3）如图15，已知足球球门宽 约为 ，一球
员从与点 相距 的点 ( ， ， 三点均在球
场底线上)处，沿与 成 角的 方向带球．试
问，该球员能否在射线 上找到一点 ，使得点
为最佳射门点(即 最大)？若能找到，求出此时
点 与点 的距离（结果保留1位小数）；若找不到，请说明理由．(参
考数据： , , ,
)
图96
解：如图96，作 经过点 ， 且和直线 相切于点 ，由（2）的结论可知，此时 最大．
连接 ， ， ，过点 作 于点 .
设 的半径为 ，则 .
, ， .
又 , ， 是 的中点.
.
是 的切线， ,即 . .
, .
在 中， .
在 中， .(共32张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第24章 圆
24.1 旋转
第三课时 平面直角坐标系中点的旋转特征
起航加油
知识梳理
1.图形在平面直角坐标系中的旋转：
在平面直角坐标系中，把一个图形以原点 为旋转中心作几个特殊
角度的旋转，可得如下结果.
原图形 上任一 点坐标 以原点 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标
旋转 旋转 旋转 旋转
把 变换成 的变换叫做恒等变换.一个图形绕原点 作
旋转是一个恒等变换.
2.图形变换与图案设计：我们已经学过的图形变换有______、________、
______，利用这些图形变换中的一种或几种的组合，可以进行图案设计.
平移
轴对称
旋转
课前自测
1.下列图形可由图1经过旋转得到的是( ) .
C
图1
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
2.在平面直角坐标系中，点 关于原点 中心对称的点的坐标是
_ _______.
随堂演练
典型题析
知识点一 图形在平面直角坐标系中的旋转
方法指导
解决图形在平面直角坐标系中的旋转问题，关键是学会添加常用辅助线（如作坐标轴的垂线），构造直角三角形，然后利用点的坐标和旋转的性质求解．
图2
例1 如图2，已知在 中， ，
， ，点 在以 为原点的
平面直角坐标系中 轴的正半轴上.把 绕点
顺时针方向旋转 后得到 ，则点
的对应点 的坐标为_ __________.
思路点拨
图3
解：如图3，作 轴于点 ．
在 中， ， ， ， .
把 绕点 顺时针方向旋转 后得到 ， ， .
， .
， .
又点 在第三象限， .
易错提示 要注意旋转方向是顺时针，还是逆时针.
知识点二 利用旋转进行图案设计
方法指导
在网格中利用旋转的性质作图，实际上就是选几个关键点，作出这几个关键点与旋转中心的连线，再沿同一方向旋转相同的角度，然后由对应线段相等找出它们的对应点.
图4
例2 利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形网格中，有如图4的四边形（顶点都在格点上）．
（1）先作出该四边形关于直线 成轴对称的图形，再作出上面所作图形连同原四边形绕点 按顺时针方向旋转 后的图形.
解：作图如图5.
图5
思路点拨
（2）完成上述设计后，求出整个图案的面积．
图4
解：一个四边形的面积为 .
因此整个图案的面积为 ．
当堂检测
1.（来宾中考）图6的3个图形中，能通过旋转得到图7的是( ) .
图6
图7
B
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
图8
2.（青岛中考）如图8，将 先向右平
移3个单位，再绕原点 旋转 ，得到
，则点 的对应点 的坐标是
( ) .
C
A. B.
C. D.
3.如图9，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 .
图9
（1）将点 绕原点 按顺时针方向旋转 得
到点 ，则点 的坐标是_ _____．
（2）将点 绕原点 按逆时针方向旋转
得到点 ，则点 的坐标是_ _____．
4.如图10，在 的正方形网格中，已有两个阴影小正方形，请你选
择两个空白的小正方形涂上阴影，使它们（阴影部分）组成的图案是中
心对称图形，并用字母标出对称中心．（画出两种不同的图案）
图10
解：如图61.（答案不唯一）
图61
课后达标
基础巩固
1.下列生态环保标志的设计中，运用了旋转变换知识的是( ) .
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
图11
2.（绥化中考）如图11，线段 在平面直角坐
标系内，点 的坐标为 .线段 绕原点
按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，则
点 的坐标为( ) .
C
A. B.
C. D.
图12
3.（内江中考）如图12，在平面直角坐标系中，点 ，
， 在 轴上，点 的坐标为 ， .若
是 经过某些变换得到的，则正确的
变换是( ) .
D
A. 绕点 逆时针方向旋转 ，再向下平移1个单位
B. 绕点 顺时针方向旋转 ，再向下平移1个单位
C. 绕点 逆时针方向旋转 ，再向下平移3个单位
D. 绕点 顺时针方向旋转 ，再向下平移3个单位
图13
4.（贺州中考）如图13，在平面直角坐标系中，
为等腰三角形， ，点 到 轴的
距离为4.若将 绕点 逆时针方向旋转 ，得
到 ，则点 的坐标为_ ______．
图14
5.如图14，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标为 ， ， ．
（1）将 向左平移6个单位，画出平移后得到的 .
解：如图62， 即为所求.
图62
（2）将 绕点 顺时针方向旋转 ，画出旋转后得到的
，并直接写出点 ， 的坐标．
图14
解：如图62， 即为所
求，点 ， ．
图62
能力提升
图15
6.（聊城中考）如图15，在平面直角坐标
系中，线段 是将 绕点
逆时针方向旋转一定角度后得到的
的一部分，则点 的对应点 的
坐标是( ) .
A
A. B.
C. D.
图15
提示：连接 ， ，易得旋转角为
.因此连接 ，将其按逆时针方向旋
转 ，观察图象可得点 的坐标为
．
图16
7.如图16，在平面直角坐标系中， 各顶点
的坐标为 ， ， ．
（1）画出 关于原点 成中心对称的 .
解：如图63， 即为所求.
图63
图16
（2）写出 各顶点的坐标.
解： ， ， .
图16
（3）求出 的面积．
解： ．
拓展延伸
8.一块正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能
组成轴对称或中心对称图案.图17是三种不同设计方案中的一部分，请
把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形的图案，并画出
一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形的图案，并在对称中心标上
字母 （要求只能用图中已有的图形元素补全设计图案，所设计的图案
中可以用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉）.
图17
解：答案不唯一，示例如图64.
图64(共27张PPT)
2023
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第三课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
起航加油
知识梳理
1.圆心角及圆的中心对称性：
（1）顶点在______的角叫做圆心角.
圆心
（2）圆是旋转对称图形，也是中心对称图形，旋转（对称）中心为
______.
圆心
2.圆心角、弧、弦、弦心距间关系的定理及推论：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____相
等，所对弦的________相等.
弧
弦
弦心距
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对
的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别
_______.可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相
等 弦心距相等.
相等
3.圆心角的度数和它所对的弧的关系：圆心角的度数和它所对的弧的度
数______.
相等
课前自测
1.下列图形中的角，是圆心角的为( ) .
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图1
2.如图1， 是 的直径， ，
，则 的度数为( ) .
C
A. B. C. D.
图2
3.如图2， ， ， ， 是 的半径，若
，则 ____， ____．
随堂演练
典型题析
知识点 圆心角、弧、弦、弦心距间关系的定理及其推论
方法指导
在同圆或等圆中，等圆心角、等弧、等弦、等弦心距的条件可以互相转化，据此获得解题思路.
图3
例1 （贵港中考）如图3， 是 的直径，
， ，则 的度数为
( ) .
A
A. B. C. D.
思路点拨 是等腰三角形，只要求出 ，即可求出 .由等弧可推出对应的圆心角相等，从而可求 .
图3
解： ， .
.
， .
.
图4
例2 图4是 的一部分，点 ， ， ， 在
上， ， ， 是 的三等分点， 分别
交 ， 于点 ， .求证： .
思路点拨
图4
证明 如图4，连接
, , 是 的三等分点， .
又 , .
.
又 ,
.
又 ，
.
， .
.
图4
当堂检测
图5
1.如图5，在 中， 是直径， ，
，则 的度数为( ) .
A
A. B. C. D.
图6
2.如图6，在 中， 是直径， ，
下列结论不一定成立的是( ) .
B
A.
B.
C.
D.点 到 ， 的距离相等
3.在直径为 的圆中， 的圆心角所对的弦的长为___ ．
4
图7
4.如图7， 是 的直径，点 在 上，
， 是 的中点.求 的度数.
解： ， .连接
是 的中点， .
.
又 ， .
课后达标
基础巩固
图8
1.如图8，在 中， ， ，则
的度数为( ) .
A
A. B. C. D.
图9
2.如图9，在 中，圆心角 .将 绕圆
心 旋转 得到 ，则 所对的圆心角的度数是
( ) .
B
A. B. C. D.
图10
3.如图10， , ， ， 是 上四点，且
，过点 作 于点 ，作
于点 ，线段 ， 的延长线交于点
.若 ， ，则 的长为___.
5
图11
4.（黄石中考改编）折扇是中国传统的避暑用品.如图11，
以折扇的扇钉为圆心，扇骨的长为半径画圆.当扇面对应
的圆心角 与剩余部分圆心角 的比值为黄
金数（约等于 ）时，折扇会显得更加美观，此时
_____ ．（结果保留整数）
138
提示：由 ， ，得 .
图12
5.如图12， ， ， 是 的半径， ，
于点 ， 于点 ．求证： ．
证明： ，
平分 .
又 ， ， .
又 ， .
.
又 ， ，即 ．
能力提升
图13
6.如图13，在 中， , ， ， 是 上四点，
且 ，若 ，则 的长为___．
4
提示：由 ，得 .所以 ,即 .故 .
图14
7.如图14，已知 是 的直径， ， 分别是
， 的中点， ， ．求证：
．
图73
证明：如图73，连接 ，
是 的直径， ， 分别是 ， 的中点，
， ， .
又 ， .
，即
．
拓展延伸
8.如图15， ， 是 的两条弦，且 ．
图15
备用图
（1）求证： 平分 .
图74
证明：如图74，连接 ，
，
， ， ， .
平分 .
（2）若 ， ，求半径 的长．
图75
解：如图75，延长 交 于点 ，连接
， 平分 ， ，
.
设 .
在 中，由勾股定理，得 ，即
.
解得
半径 的长为5．
