云南省普洱市2023-2024学年高一下学期期末统测数学试题
1．（2024高一下·普洱期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，A、B错误；
，C正确；
不正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】
先求出交集及并集，再根据子集定义分别判断各个选项即可.
2．（2024高一下·普洱期末） 若实数，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，再求即可.
3．（2024高一下·普洱期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由.
故答案为：B.
【分析】
利用诱导公式，将化简，再代入求值即得.
4．（2024高一下·普洱期末）随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ）
A．110 B．115 C．120 D．125
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则，
解得．
所以在老年人中发放的调查问卷份数是.
故答案为：C．
【分析】
设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质，列方程求解即可求解.
5．（2024高一下·普洱期末）若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】
先求根据向量加法坐标运算求出，根据平面向量夹角的坐标公式，计算即可求解.
6．（2024高一下·普洱期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】由余弦定理可得：，
即，
整理得：，
得或，所以为等腰或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】
利用余弦定理角化边，然后因式分解即可判断三角形形状.
7．（2024高一下·普洱期末）如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】设底面圆半径为，
由母线长，可知侧面展开图扇形的圆心角为，
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM；
如图，
在中，，
所以，
所以，
故，解得，
所以圆锥的表面积为，
故答案为：B.
【分析】
设底面圆半径为，先求得圆锥的侧面展开图为扇形的圆心角，然后根据从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，绳子的最短距离即为展开图中线段的长，解三角即可求得底面圆半径，利用圆锥表面积公式即可求解.
8．（2024高一下·普洱期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由得，的图象关于直线对称，
令，则是偶函数，又当时，恒有，
故在上单调递减，所以在上单调递减，
则，
即得
解得或.
故答案为：C.
【分析】
先根据得出对称轴，再根据单调性结合单调性列出不等式，解出即可求解.
9．（2024高一下·普洱期末）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，根据定义可知，对立事件一定是互斥事件，A正确；
对于B，
只有A，B为两个事件为互斥事件，才有，B错误 ；
对于C，
若事件A，B，C 彼此互斥，则，C错误；
对于D，
若事件A，B满足，则A，B可能是对立事件，也可能不是互斥事件，D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可.
10．（2024高一下·普洱期末）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】平面，平面
，又，平面且
平面，故A正确
由平面，平面
得
又，是的中点，
又平面，
平面，平面
，故B，C正确
由平面，平面
得
因为与不平行
因此与不垂直
从而不与平面垂直，故D错误
故答案为：A、B、C.
【分析】
根据线面垂直性质由平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理
判断A正确；
根据等腰三角形三线合一由，为的中点，得到，再根据线面垂直性质由平面得，利用线面垂直的判定定理判断C正确；
根据线面垂直性质由平面即可判断B正确；
由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D错误.
11．（2024高一下·普洱期末）已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于原点对称
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为为偶函数，得，故的图象关于对称，
故，故A正确；
由得，，代入中，
得①，令，得，故B正确；
因为为偶函数，故，
故由得，，
则，故②，
联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确；
而，故的图象关于y轴对称，故D错误，
故答案为 ：A、B、C．
【分析】
由为偶函数，故的图象关于对称，即可判断A正确；
由条件可得①，令可判断B正确；
由题意可得②，联立①②可得，可判断C正确；由为图象的一条对称轴，可得的对称轴，可判断D错误.
12．（2024高一下·普洱期末）计算 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
.
故答案为：.
【分析】
利用指数、对数的运算性质，计算即可求解.
13．（2024高一下·普洱期末）已知球的表面积为，球心到球内一点的距离为1，则过点的截面的面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设球的半径为，则，解得，当点为截面圆的圆心时，
即⊥截面时，过点的截面的面积最小，
设此时截面的半径为，则，
所以过点的截面的面积最小值为.
故答案为：.
【分析】
先求出球的半径，数形结合得到当点为截面圆的圆心时，过点的截面的面积最小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，代入圆面积公式即可求解.
14．（2024高一下·普洱期末）对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 .
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】，
因为，所以，
则，
故函数与的“偏差”为.
故答案为：.
【分析】
.将，代入，再由二次函数的最值
即可求解.
15．（2024高一下·普洱期末）（1）求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）依题意.
（2）依题意，.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系系和诱导公式即可求解；
（2）利用同角三角函数关系，转化为正切，即可求解.
16．（2024高一下·普洱期末）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，，．
（1）求的外接圆半径；
（2）求周长的最大值．
【答案】（1）（1）解：依题意，
解得，
故的外接圆半径.
（2）（2）由余弦定理得，
因为，则，
则，故，
当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由，利用同角三角函数关系的商数关系和平方关系联立方程，求得，再利用正弦定理求解；
（2）先利用余弦定理得到，再利用基本不等式即可求解.
（1）解：依题意，
解得，
故的外接圆半径.
（2）由余弦定理得，
因为，则，
则，故，
当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为.
17．（2024高一下·普洱期末）智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是：，.
（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟 (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟 (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？
【答案】【解答】（1）设中位数为，则
解得：（分钟）
这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟
（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）
即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟
（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，
则从五人中选出两人共有以下种情况：
两名组长分别选自和的共有以下种情况：
所求概率.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据中位数将频率二等分，即可求得结果；
（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；
（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式即可求解.
18．（2024高一下·普洱期末）已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）（1）证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）（2）取的中点，连接，，
因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以⊥，又，所以⊥，
又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线段比例关系得到四边形为平行四边形，证得，进而根据线面平行判定定理即可证明；
（2）取的中点，连接，，证明出平面线面垂直，得到、线线垂直，找到就是二面角的平面角，再解三角形即可求得二面角的正切值.
（1）证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，，
因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以⊥，又，所以⊥，
又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为.
19．（2024高一下·普洱期末）对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
（1）若，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若，且与具有关系，求的像.
【答案】（1）（1）的值域为，
当时，由得，
因为的值域为，
故不存在，使，
即与不具有关系.
（2）（2），由，
得，
即，所以或，
得或，
又，得，所以的像为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可.
（1）的值域为，
当时，由得，
因为的值域为，
故不存在，使，
即与不具有关系.
（2），由，
得，
即，所以或，
得或，
又，得，所以的像为.
1 / 1云南省普洱市2023-2024学年高一下学期期末统测数学试题
1．（2024高一下·普洱期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·普洱期末） 若实数，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
3．（2024高一下·普洱期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·普洱期末）随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ）
A．110 B．115 C．120 D．125
5．（2024高一下·普洱期末）若，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2024高一下·普洱期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．（2024高一下·普洱期末）如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·普洱期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·普洱期末）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
10．（2024高一下·普洱期末）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
11．（2024高一下·普洱期末）已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于原点对称
12．（2024高一下·普洱期末）计算 ．
13．（2024高一下·普洱期末）已知球的表面积为，球心到球内一点的距离为1，则过点的截面的面积的最小值为 ．
14．（2024高一下·普洱期末）对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 .
15．（2024高一下·普洱期末）（1）求的值；
（2）已知，求的值．
16．（2024高一下·普洱期末）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，，．
（1）求的外接圆半径；
（2）求周长的最大值．
17．（2024高一下·普洱期末）智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是：，.
（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟 (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟 (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？
18．（2024高一下·普洱期末）已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值.
19．（2024高一下·普洱期末）对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
（1）若，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若，且与具有关系，求的像.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，A、B错误；
，C正确；
不正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】
先求出交集及并集，再根据子集定义分别判断各个选项即可.
2．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，再求即可.
3．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由.
故答案为：B.
【分析】
利用诱导公式，将化简，再代入求值即得.
4．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则，
解得．
所以在老年人中发放的调查问卷份数是.
故答案为：C．
【分析】
设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质，列方程求解即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】
先求根据向量加法坐标运算求出，根据平面向量夹角的坐标公式，计算即可求解.
6．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】由余弦定理可得：，
即，
整理得：，
得或，所以为等腰或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】
利用余弦定理角化边，然后因式分解即可判断三角形形状.
7．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】设底面圆半径为，
由母线长，可知侧面展开图扇形的圆心角为，
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM；
如图，
在中，，
所以，
所以，
故，解得，
所以圆锥的表面积为，
故答案为：B.
【分析】
设底面圆半径为，先求得圆锥的侧面展开图为扇形的圆心角，然后根据从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，绳子的最短距离即为展开图中线段的长，解三角即可求得底面圆半径，利用圆锥表面积公式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由得，的图象关于直线对称，
令，则是偶函数，又当时，恒有，
故在上单调递减，所以在上单调递减，
则，
即得
解得或.
故答案为：C.
【分析】
先根据得出对称轴，再根据单调性结合单调性列出不等式，解出即可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，根据定义可知，对立事件一定是互斥事件，A正确；
对于B，
只有A，B为两个事件为互斥事件，才有，B错误 ；
对于C，
若事件A，B，C 彼此互斥，则，C错误；
对于D，
若事件A，B满足，则A，B可能是对立事件，也可能不是互斥事件，D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】平面，平面
，又，平面且
平面，故A正确
由平面，平面
得
又，是的中点，
又平面，
平面，平面
，故B，C正确
由平面，平面
得
因为与不平行
因此与不垂直
从而不与平面垂直，故D错误
故答案为：A、B、C.
【分析】
根据线面垂直性质由平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理
判断A正确；
根据等腰三角形三线合一由，为的中点，得到，再根据线面垂直性质由平面得，利用线面垂直的判定定理判断C正确；
根据线面垂直性质由平面即可判断B正确；
由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D错误.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为为偶函数，得，故的图象关于对称，
故，故A正确；
由得，，代入中，
得①，令，得，故B正确；
因为为偶函数，故，
故由得，，
则，故②，
联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确；
而，故的图象关于y轴对称，故D错误，
故答案为 ：A、B、C．
【分析】
由为偶函数，故的图象关于对称，即可判断A正确；
由条件可得①，令可判断B正确；
由题意可得②，联立①②可得，可判断C正确；由为图象的一条对称轴，可得的对称轴，可判断D错误.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
.
故答案为：.
【分析】
利用指数、对数的运算性质，计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设球的半径为，则，解得，当点为截面圆的圆心时，
即⊥截面时，过点的截面的面积最小，
设此时截面的半径为，则，
所以过点的截面的面积最小值为.
故答案为：.
【分析】
先求出球的半径，数形结合得到当点为截面圆的圆心时，过点的截面的面积最小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，代入圆面积公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】，
因为，所以，
则，
故函数与的“偏差”为.
故答案为：.
【分析】
.将，代入，再由二次函数的最值
即可求解.
15．【答案】解：（1）依题意.
（2）依题意，.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系系和诱导公式即可求解；
（2）利用同角三角函数关系，转化为正切，即可求解.
16．【答案】（1）（1）解：依题意，
解得，
故的外接圆半径.
（2）（2）由余弦定理得，
因为，则，
则，故，
当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由，利用同角三角函数关系的商数关系和平方关系联立方程，求得，再利用正弦定理求解；
（2）先利用余弦定理得到，再利用基本不等式即可求解.
（1）解：依题意，
解得，
故的外接圆半径.
（2）由余弦定理得，
因为，则，
则，故，
当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为.
17．【答案】【解答】（1）设中位数为，则
解得：（分钟）
这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟
（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）
即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟
（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，
则从五人中选出两人共有以下种情况：
两名组长分别选自和的共有以下种情况：
所求概率.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据中位数将频率二等分，即可求得结果；
（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；
（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式即可求解.
18．【答案】（1）（1）证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）（2）取的中点，连接，，
因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以⊥，又，所以⊥，
又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线段比例关系得到四边形为平行四边形，证得，进而根据线面平行判定定理即可证明；
（2）取的中点，连接，，证明出平面线面垂直，得到、线线垂直，找到就是二面角的平面角，再解三角形即可求得二面角的正切值.
（1）证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，，
因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以⊥，又，所以⊥，
又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为.
19．【答案】（1）（1）的值域为，
当时，由得，
因为的值域为，
故不存在，使，
即与不具有关系.
（2）（2），由，
得，
即，所以或，
得或，
又，得，所以的像为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可.
（1）的值域为，
当时，由得，
因为的值域为，
故不存在，使，
即与不具有关系.
（2），由，
得，
即，所以或，
得或，
又，得，所以的像为.
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