北京市海淀区精华学校2024-2025学年高三上学期入学测试数学试题
1．（2024高三上·海淀开学考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，集合，又由，
所以.
故答案为： C.
【分析】
根据题意，求出集合A、B，进而由交集定义运算即可.
2．（2024高三上·海淀开学考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
故答案为： A.
【分析】直接利用共轭复数定义及复数代数形式的乘除运算化简即可.
3．（2024高三上·海淀开学考）在的展开式中，的系数为（ ）
A．2 B．8 C．16 D．24
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为
令时，则
则 的系数为.
故答案为：D.
【分析】根据题意写出展开式的通项公式即可求解.
4．（2024高三上·海淀开学考）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：圆，即圆，则圆心为（1，2），，解得．
过点有两条切线，则点P在圆外，所以，即，解得．
故， 则a的取值范围是 ．
故答案为： C.
【分析】
根据点在圆外，圆外的点作圆的切线有两条，由此列不等式即可求解.
5．（2024高三上·海淀开学考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由已知得；
当与共线时，可得，解得．
当与的夹角为钝角时，可得且与不共线，
则且，解得且．
因此，当时，若，则，，
此时，与的夹角为，不是钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，有且，可知成立，则必要性成立．
综上， “”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故答案为： B．
【分析】根据向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断．
6．（2024高三上·海淀开学考）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图象知，
所以，
则或，
又，所以，
，，，，
又，，已知，所以，所以，
故答案为： D．
【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得．
7．（2024高三上·海淀开学考）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．
由题意得，即，两边取常用对数，可得．
∵，∴．
又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．
故答案为： C.
【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得.
8．（2024高三上·海淀开学考）如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图：取的中点，连接，
因为是菱形，所以，又因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，所以，又因为平面，，
所以平面，因为平面，所以，
，当侧面底面时，三棱柱的体积最大，
此时三棱柱的高即为，.
故答案为： B
【分析】取的中点，连接，由线面垂直判定定理得到平面，所以，因为，，所以，进而由线面垂直判定定理得到平面，所以，，当侧面底面时，三棱柱的体积最大，高即为，即可求解.
9．（2024高三上·海淀开学考）已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．的图像有对称轴
B．当时，
C．有最小值
D．方程在上无解
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】 A、 易知的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数，关于轴对称，所以选项A结论正确，A不符合题意；
B、当时，，又，，
所以，即当时，成立，
当时，如图，
在单位圆中，设是角的终边，过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交轴于，
易知，由三角函数的定义知，，
由图易知，即，
得到，所以，即有，
所以时，成立，又由选项A知，为偶函数，
当时，，所以，即，
所以选项B中结论正确，B不符合题意；
C、因为周期函数，最小正周期为，
当时，如果存在最小值，则最小值只会在区间内取到，
当时，，令，
则在区间上恒成立，
又，，所以存在，使，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取到最小值，即当时，存在最小值，
由选项A知，为偶函数，所以选项C的结论正确，C不符合题意；
D、由，得到，
令，所以，，
由零点存在性原理知，在区间至少有一个零点，所以选项D的结论错误，D符合题意；
故答案为： D ．
【分析】选项A，根据条件可得为偶函数，即可判断选项A的正误；
选项B，利用偶函数的性质，先判断时，成立，分和两种情况，当时，利用三角函数的符号即可判断成立，当时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；
选项C，利用的周期性及的奇偶性，当，得到存在最小值，则最小值只会在区间内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C的正误；
选项D，利用零点存在性原理，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
10．（2024高三上·海淀开学考）设函数，则点集所构成图形的面积是（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：题中集合即，
也即，
该集合对应的区域为扇形，所求图形面积为，
故答案为： B.
【分析】利用配方法和因式分解可得不等式组对应的区域，故可求其面积.
11．（2024高三上·海淀开学考）一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的中位数是 ．
【答案】11
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：首先将数据从小到大排列：7，8，9，10，12，13，15，21，
则其中位数为：.
故答案为：11.
【分析】根据中位数的计算公式即可.
12．（2024高三上·海淀开学考）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ．
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
设抛物线上一点到焦点的距离为3，
则，
所以，
故答案为：2.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
13．（2024高三上·海淀开学考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
【答案】1
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，
依题意，解得.
故答案为：1.
【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可.
14．（2024高三上·海淀开学考）若函数的一个零点是，则函数的最大值为
【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意，所以，
所以，
又，所以，故的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值.
15．（2024高三上·海淀开学考）设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有 .
①公差可以为；
②公差可以不为；
③符合题意的公差有有限个；
④符合题意的公差有无限多个．
【答案】①②③
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：取，则存在正整数，使得，
则，，又，，解得：；
记，则，
，的各项均为整数，为整数，
又，，，
对任意正整数，总存在正整数，使得，则必有，
即，或或，或或，
公差可以为，可以不为，符合题意的公差有有限个.
故答案为：①②③.
【分析】取，可利用正整数表示出，利用等差数列求和公式可整理得到，根据各项为正数可确定，由此可讨论得到的值，从而判断出正确结果.
16．（2024高三上·海淀开学考）在中，角所对边分别为．已知．
（1）求；
（2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线长．
①； ②周长为； ③面积为．
【答案】（1）解： 在中，由及正弦定理，得，
显然，则，所以.
（2）解： 由（1）知，，由正弦定理，得，
选①，，的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①；
选②，周长为，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
选③，，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式计算即得.
（2）由（1）求得，条件①不可选；条件②③，求出边长，再利用余弦定理求解即得.
（1）在中，由及正弦定理，得，
显然，则，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理，得，
选①，，的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①；
选②，周长为，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
选③，，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
17．（2024高三上·海淀开学考）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．
（1）证明：；
（2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明 ： 连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，则，
所以.
（2）解： 由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
（3）解： 由（2）可得，
设平面的法向量，由，得，
令，则，，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可.
（2）求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证；
（3）求出相关向量和平面法向量，利用公式计算可得.
（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，则，
所以.
（2）由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
（3）由（2）可得，
设平面的法向量，由，得，
令，则，，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．（2024高三上·海淀开学考）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站 上车站 合计
5 6 4 2 7 24
12 20 13 7 8 60
5 7 3 8 1 24
13 9 9 1 6 38
4 10 16 2 3 35
2 5 5 4 3 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（1）在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率；
（2）以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
（3）为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．
【答案】（1）解： 设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，
由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，
所以．
（2）解： 从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为
由题意可知，可取0，1，2
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
所以随机变量的数学期望为
．
（3）解： 因为在站上车的有60人，下车的有36人，
所以，
所以，
因为在站上车的有24人，下车的有56人，
所以，
所以，
因为在站上车的有38人，下车的有26人，
所以，
所以，
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率来求概率即可；
（2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望；
（3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.
（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，
由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，
所以．
（2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为
由题意可知，可取0，1，2
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
所以随机变量的数学期望为
．
（3）因为在站上车的有60人，下车的有36人，
所以，
所以，
因为在站上车的有24人，下车的有56人，
所以，
所以，
因为在站上车的有38人，下车的有26人，
所以，
所以，
所以.
19．（2024高三上·海淀开学考）已知椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的方程和短轴长；
（2）设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．
【答案】（1）解： 由题意可得，解得，
所以椭圆E的方程为，短轴长为.
（2）解： 由，消y得①，
由，得，
此时方程①可化：，
解得：（由条件可知：异号），
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：（，），
由，消y得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为两点关于原点对称，所以，
所以，
所以，即.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求出，即可得解；
（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出的坐标，得到的斜率，再探索的值.
（1）由题意可得，解得，
所以椭圆E的方程为，短轴长为；
（2）由，消y得①，
由，得，
此时方程①可化：，
解得：（由条件可知：异号），
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：（，），
由，消y得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为两点关于原点对称，所以，
所以，
所以，即.
20．（2024高三上·海淀开学考）已知函数
（1）若，，若的单调区间；
（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求.
（参考数据：，）
【答案】（1）解：将，代入函数解析式可得，定义域为，
则
令，解得，（舍），
所以当时，；
当时，；
故的单调递减区间为；的单调递增区间为.
（2）解：将代入函数解析式可得，
则
因为，且对于来说，，
所以有两个不等式实数根，
且，
所以两根异号，不妨设则，
则由定义域为可得在内递减，在内递增，
因为，
要存在唯一的零点，且，则，
所以，化简可得.
令，
则
所以在时单调递减，
由题可知，，
而，
所以
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将，代入函数解析式，求得并令，即可由导函数的符号判断单调区间.
（2）将代入函数解析式，求得.结合定义域及二次函数性质可知的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数，并求得可证明的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得的值.
21．（2024高三上·海淀开学考）在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则．
（1）设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②；
（2）对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值；
（3）如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数．
【答案】（1）解： ①，则逆序对有，，，，，则；
②，则逆序对有，，，，则.
（2）解： 考察排列D：与排列，
因为数对与中必有一个为逆序对（其中），
且排列中数对共有个，
所以．
所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．
而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列，
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．
所以所有的算术平均值为．
（3）证明：①当，即相邻时，
不妨设，则排列为，
此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对，
所以，
所以为奇数．
②当，即不相邻时，
假设之间有个数字，记排列：，
先将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
再将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
以此类推，共向右移动次，得到排列，
再将向左移动一个位置，得到排列，，
以此类推，共向左移动次，得到排列，，
即为排列，
由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，
所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同，
所以为奇数．
综上，得为奇数
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）根据所给定义列举出符合题意的排列即可；
（2）考察排列D：与排列，因为数对与中必有一个为逆序对（其中），而排列中数对共有个，即可得到，从而得解；
（3）讨论当，即相邻时，当，即不相邻时，由新定义，运用调整法，可得为奇数．
（1）①，则逆序对有，，，，，则；
②，则逆序对有，，，，则；
（2）考察排列D：与排列，
因为数对与中必有一个为逆序对（其中），
且排列中数对共有个，
所以．
所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．
而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列，
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．
所以所有的算术平均值为．
（3）证明：①当，即相邻时，
不妨设，则排列为，
此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对，
所以，
所以为奇数．
②当，即不相邻时，
假设之间有个数字，记排列：，
先将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
再将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
以此类推，共向右移动次，得到排列，
再将向左移动一个位置，得到排列，，
以此类推，共向左移动次，得到排列，，
即为排列，
由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，
所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同，
所以为奇数．
综上，得为奇数．
1 / 1北京市海淀区精华学校2024-2025学年高三上学期入学测试数学试题
1．（2024高三上·海淀开学考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·海淀开学考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·海淀开学考）在的展开式中，的系数为（ ）
A．2 B．8 C．16 D．24
4．（2024高三上·海淀开学考）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·海淀开学考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高三上·海淀开学考）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·海淀开学考）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．（2024高三上·海淀开学考）如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
9．（2024高三上·海淀开学考）已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．的图像有对称轴
B．当时，
C．有最小值
D．方程在上无解
10．（2024高三上·海淀开学考）设函数，则点集所构成图形的面积是（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
11．（2024高三上·海淀开学考）一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的中位数是 ．
12．（2024高三上·海淀开学考）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ．
13．（2024高三上·海淀开学考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
14．（2024高三上·海淀开学考）若函数的一个零点是，则函数的最大值为
15．（2024高三上·海淀开学考）设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有 .
①公差可以为；
②公差可以不为；
③符合题意的公差有有限个；
④符合题意的公差有无限多个．
16．（2024高三上·海淀开学考）在中，角所对边分别为．已知．
（1）求；
（2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线长．
①； ②周长为； ③面积为．
17．（2024高三上·海淀开学考）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．
（1）证明：；
（2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2024高三上·海淀开学考）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站 上车站 合计
5 6 4 2 7 24
12 20 13 7 8 60
5 7 3 8 1 24
13 9 9 1 6 38
4 10 16 2 3 35
2 5 5 4 3 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（1）在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率；
（2）以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
（3）为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．
19．（2024高三上·海淀开学考）已知椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的方程和短轴长；
（2）设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．
20．（2024高三上·海淀开学考）已知函数
（1）若，，若的单调区间；
（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求.
（参考数据：，）
21．（2024高三上·海淀开学考）在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则．
（1）设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②；
（2）对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值；
（3）如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，集合，又由，
所以.
故答案为： C.
【分析】
根据题意，求出集合A、B，进而由交集定义运算即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
故答案为： A.
【分析】直接利用共轭复数定义及复数代数形式的乘除运算化简即可.
3．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为
令时，则
则 的系数为.
故答案为：D.
【分析】根据题意写出展开式的通项公式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：圆，即圆，则圆心为（1，2），，解得．
过点有两条切线，则点P在圆外，所以，即，解得．
故， 则a的取值范围是 ．
故答案为： C.
【分析】
根据点在圆外，圆外的点作圆的切线有两条，由此列不等式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由已知得；
当与共线时，可得，解得．
当与的夹角为钝角时，可得且与不共线，
则且，解得且．
因此，当时，若，则，，
此时，与的夹角为，不是钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，有且，可知成立，则必要性成立．
综上， “”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故答案为： B．
【分析】根据向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断．
6．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图象知，
所以，
则或，
又，所以，
，，，，
又，，已知，所以，所以，
故答案为： D．
【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得．
7．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．
由题意得，即，两边取常用对数，可得．
∵，∴．
又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．
故答案为： C.
【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得.
8．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图：取的中点，连接，
因为是菱形，所以，又因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，所以，又因为平面，，
所以平面，因为平面，所以，
，当侧面底面时，三棱柱的体积最大，
此时三棱柱的高即为，.
故答案为： B
【分析】取的中点，连接，由线面垂直判定定理得到平面，所以，因为，，所以，进而由线面垂直判定定理得到平面，所以，，当侧面底面时，三棱柱的体积最大，高即为，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】 A、 易知的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数，关于轴对称，所以选项A结论正确，A不符合题意；
B、当时，，又，，
所以，即当时，成立，
当时，如图，
在单位圆中，设是角的终边，过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交轴于，
易知，由三角函数的定义知，，
由图易知，即，
得到，所以，即有，
所以时，成立，又由选项A知，为偶函数，
当时，，所以，即，
所以选项B中结论正确，B不符合题意；
C、因为周期函数，最小正周期为，
当时，如果存在最小值，则最小值只会在区间内取到，
当时，，令，
则在区间上恒成立，
又，，所以存在，使，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取到最小值，即当时，存在最小值，
由选项A知，为偶函数，所以选项C的结论正确，C不符合题意；
D、由，得到，
令，所以，，
由零点存在性原理知，在区间至少有一个零点，所以选项D的结论错误，D符合题意；
故答案为： D ．
【分析】选项A，根据条件可得为偶函数，即可判断选项A的正误；
选项B，利用偶函数的性质，先判断时，成立，分和两种情况，当时，利用三角函数的符号即可判断成立，当时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；
选项C，利用的周期性及的奇偶性，当，得到存在最小值，则最小值只会在区间内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C的正误；
选项D，利用零点存在性原理，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
10．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：题中集合即，
也即，
该集合对应的区域为扇形，所求图形面积为，
故答案为： B.
【分析】利用配方法和因式分解可得不等式组对应的区域，故可求其面积.
11．【答案】11
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：首先将数据从小到大排列：7，8，9，10，12，13，15，21，
则其中位数为：.
故答案为：11.
【分析】根据中位数的计算公式即可.
12．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
设抛物线上一点到焦点的距离为3，
则，
所以，
故答案为：2.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
13．【答案】1
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，
依题意，解得.
故答案为：1.
【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可.
14．【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意，所以，
所以，
又，所以，故的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值.
15．【答案】①②③
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：取，则存在正整数，使得，
则，，又，，解得：；
记，则，
，的各项均为整数，为整数，
又，，，
对任意正整数，总存在正整数，使得，则必有，
即，或或，或或，
公差可以为，可以不为，符合题意的公差有有限个.
故答案为：①②③.
【分析】取，可利用正整数表示出，利用等差数列求和公式可整理得到，根据各项为正数可确定，由此可讨论得到的值，从而判断出正确结果.
16．【答案】（1）解： 在中，由及正弦定理，得，
显然，则，所以.
（2）解： 由（1）知，，由正弦定理，得，
选①，，的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①；
选②，周长为，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
选③，，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式计算即得.
（2）由（1）求得，条件①不可选；条件②③，求出边长，再利用余弦定理求解即得.
（1）在中，由及正弦定理，得，
显然，则，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理，得，
选①，，的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①；
选②，周长为，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
选③，，则，存在且唯一，设边上中线，
在中，，
所以.
17．【答案】（1）证明 ： 连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，则，
所以.
（2）解： 由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
（3）解： 由（2）可得，
设平面的法向量，由，得，
令，则，，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可.
（2）求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证；
（3）求出相关向量和平面法向量，利用公式计算可得.
（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，则，
所以.
（2）由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
（3）由（2）可得，
设平面的法向量，由，得，
令，则，，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）解： 设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，
由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，
所以．
（2）解： 从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为
由题意可知，可取0，1，2
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
所以随机变量的数学期望为
．
（3）解： 因为在站上车的有60人，下车的有36人，
所以，
所以，
因为在站上车的有24人，下车的有56人，
所以，
所以，
因为在站上车的有38人，下车的有26人，
所以，
所以，
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率来求概率即可；
（2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望；
（3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.
（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，
由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，
所以．
（2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为
由题意可知，可取0，1，2
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
所以随机变量的数学期望为
．
（3）因为在站上车的有60人，下车的有36人，
所以，
所以，
因为在站上车的有24人，下车的有56人，
所以，
所以，
因为在站上车的有38人，下车的有26人，
所以，
所以，
所以.
19．【答案】（1）解： 由题意可得，解得，
所以椭圆E的方程为，短轴长为.
（2）解： 由，消y得①，
由，得，
此时方程①可化：，
解得：（由条件可知：异号），
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：（，），
由，消y得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为两点关于原点对称，所以，
所以，
所以，即.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求出，即可得解；
（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出的坐标，得到的斜率，再探索的值.
（1）由题意可得，解得，
所以椭圆E的方程为，短轴长为；
（2）由，消y得①，
由，得，
此时方程①可化：，
解得：（由条件可知：异号），
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：（，），
由，消y得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为两点关于原点对称，所以，
所以，
所以，即.
20．【答案】（1）解：将，代入函数解析式可得，定义域为，
则
令，解得，（舍），
所以当时，；
当时，；
故的单调递减区间为；的单调递增区间为.
（2）解：将代入函数解析式可得，
则
因为，且对于来说，，
所以有两个不等式实数根，
且，
所以两根异号，不妨设则，
则由定义域为可得在内递减，在内递增，
因为，
要存在唯一的零点，且，则，
所以，化简可得.
令，
则
所以在时单调递减，
由题可知，，
而，
所以
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将，代入函数解析式，求得并令，即可由导函数的符号判断单调区间.
（2）将代入函数解析式，求得.结合定义域及二次函数性质可知的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数，并求得可证明的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得的值.
21．【答案】（1）解： ①，则逆序对有，，，，，则；
②，则逆序对有，，，，则.
（2）解： 考察排列D：与排列，
因为数对与中必有一个为逆序对（其中），
且排列中数对共有个，
所以．
所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．
而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列，
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．
所以所有的算术平均值为．
（3）证明：①当，即相邻时，
不妨设，则排列为，
此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对，
所以，
所以为奇数．
②当，即不相邻时，
假设之间有个数字，记排列：，
先将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
再将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
以此类推，共向右移动次，得到排列，
再将向左移动一个位置，得到排列，，
以此类推，共向左移动次，得到排列，，
即为排列，
由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，
所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同，
所以为奇数．
综上，得为奇数
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）根据所给定义列举出符合题意的排列即可；
（2）考察排列D：与排列，因为数对与中必有一个为逆序对（其中），而排列中数对共有个，即可得到，从而得解；
（3）讨论当，即相邻时，当，即不相邻时，由新定义，运用调整法，可得为奇数．
（1）①，则逆序对有，，，，，则；
②，则逆序对有，，，，则；
（2）考察排列D：与排列，
因为数对与中必有一个为逆序对（其中），
且排列中数对共有个，
所以．
所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．
而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列，
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．
所以所有的算术平均值为．
（3）证明：①当，即相邻时，
不妨设，则排列为，
此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对，
所以，
所以为奇数．
②当，即不相邻时，
假设之间有个数字，记排列：，
先将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
再将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
以此类推，共向右移动次，得到排列，
再将向左移动一个位置，得到排列，，
以此类推，共向左移动次，得到排列，，
即为排列，
由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，
所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同，
所以为奇数．
综上，得为奇数．
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