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问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方 程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函 数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1 , 0)
无 交 点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
问题探究
函数图象与X轴的交点
方程
ax2 +bx+c=0(a>0)的根
函数
y= ax2 +bx+c(a>0)
的图象
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
两个不相等
的实数根x1 、x2
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
问题探究
没有交点
(x1,0)
函数的图象
与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
函数
y= ax2 +bx+c(a>0)
的零点
x1 ，x2
x1
没有零点
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
1.函数零点的定义：
一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的零点
等价关系
基本概念
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.
例1.求证:函数f(x)=2x2+3x-7有两个不同的零点．
例题讲解
证明：考察方程2x2+3x-7=0
因此，函数f（x）=2x2+3x-7有两个不同的零点．
函数零点的个数就是对应方程的不等实根的个数.
例题讲解
例2.判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否有零点.
解:根据求根公式可得方程x2-2x-1=0的两根分别为
函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上有零点。
变题:证明函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1）上有零点.
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点.
x
y
0
A
B
(a,f(a))
(b,f(b))
Ⅰ
Ⅱ
基本概念
2. 零点的存在性定理
（1）如果函数具备上述两个条
件时， 函数零点个数唯一吗？
（3）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，
一定能得出f(a) · f(b)<0的结论吗？
（2）在什么样的条件下，零点的
个数是惟一的呢？
0
y
x
0
y
x
x
y
0
分组讨论
例题讲解
例2.判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否有零点.
变题:证明函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1）上有零点.
x
y
0
2
3
1
解：由于f(2)=-1<0,f(3)=2>0,且函数f(x)在区间[2,3]上的图像是不间断的，所以函数f(x)在区间（2，3）上有零点。
x
y
0
例3.若函数f(x)=ax2-x-1在R上恰有一个零点， 求实数a的值.
例题讲解
解：当a=0时，由f(x)=-x-1=0得，
x=-1.适合。
当a≠0时，由Δ=1+4a=0得，
a=
综上，得 a=0或 .
x
y
0
-1
-2
变题1.
若函数f(x)=ax2-x-1在(1 ,2)上恰有一个零点，
求实数a的取值范围.
例题讲解
1.如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则 m的取值范围是__________________
2.函数f(x)=x3-16x的零点为______________
3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，
则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_______
课内练习
0，4，-4
m<-2
1．函数零点的定义
2．零点的存在性定理
3. 数形结合，分类讨论，函数与方程的思想
收获与体会
课后练习
书本第76页练习1，2.
谢谢大家！
望各位专家不吝赐教！
