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3.4.1 函数与方程(第一课时)
陈鸿飞
一、问题情境
问题1:解方程x2–2x–3=0．
问题2:作函数y=x2–2x–3的图象．
有两个不相等的实根 x1 = –1, x2=3．
二、概念导入
–1
3
x
y
0
方程x2–2x–3=0的两个实数根–1, 3 就是函数
y=x2–2x–3 的图象和x轴交点的横坐标.
(2) 方程x2–2x–3=0的两个实数根–1, 3就是函数
y=x2–2x–3函数值为0时自变量x的值.
问题3:观察方程x2–2x–3=0的实数根以及函数
y=x2–2x–3的图象,你有什么发现吗
三、提炼概念
1.函数的零点的定义
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点．
（1）函数的零点是点吗？
（2）如何求函数的零点？
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
数
数
形
2.求函数的零点
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程ax2+bx+c=0
(a ＞ 0)的根
函数
y=ax2+bx+c
(a＞0)的图象
函数
y=ax2+bx+c
(a＞0)的零点
y
x
O
x2
x1
y
x
O
x1=x2
y
x
O
无零点
方程
无实数根
四、合作探究
探究1 ：
观察二次函数f(x)= x2 2x 1的图象
①f( 1) f(0) ___0（＜或＞），二次
函数f(x)= x2 2x 1在区间( 1, 0)
上___(有/无)零点；
②f(2) f(3) ___ 0（＜或＞），
二次函数f(x)= x2 2x 1在区间
(2, 3)上____(有/无)零点；
＜
有
＜
有
3
2
4
O
1
1
2
y=x2 2x 1
探究2：观察函数y = f(x)的图象，并填空：
①f(a) f(b) ___0（＜或＞），在区间(a,b)上____(有/无)零点；
②f(b) f(c) ___0（＜或＞），在区间(b,c)上____(有/无)零点；
③f(c) f(d) ___0（＜或＞）， 在区间(c,d)上____(有/无)零点；
④f(d) f(e) ___0（＜或＞）， 在区间(d,e)上____(有/无)零点；
⑤f(m) f(n) ___0（＜或＞），在区间(m,n)上____(有/无)零点.
有
＞
＜
＜
无
有
y
x
O
b
a
c
y = f(x)
d
e
m
n
有
＜
＞
有
五、归纳理解
已知函数 f(x) 的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 2 9 7 1 5 1
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有_____个
3
1.函数的零点存在性定理
一般地，若函数y = f(x)在区间[a, b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y = f(x)在区间(a, b)上有零点．
2. 定理的内涵
一般地，若函数y = f(x)在区间[a, b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y = f(x)在区间(a, b)上有零点．
（1）若去掉定理中的“不间断的曲线”，结论是
否正确？
（2）若将定理中的“f(a) f(b)<0”改为
“f(a) f(b)>0”，则函数y = f(x)在区间(a, b)上
一定没有零点吗？
2. 定理的内涵
一般地，若函数y = f(x)在区间[a, b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y = f(x)在区间(a, b)上有零点．
（3）若将定理中的区间(a, b)改为[a, b]，结论正
确吗？
（4）若将定理中的区间[a, b]改为(a, b)，结论正
确吗？
2. 定理的内涵
一般地，若函数y = f(x)在区间[a, b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y = f(x)在区间(a, b)上有零点．
（5）若x0是二次函数y = f(x)的零点，且m那么 f(m) f(n)<0一定成立吗？
（6）若函数y = f(x)在区间[a, b]上有f(a) f(b)<0，还
需满足 ，则函数y = f(x)在间(a, b)上恰
有一个零点．
六、成果展示
若函数f(x)=ax+2在区间（2,5）上存在零点，则实数a的取值范围为________.
变式：
一个概念
两种视角
三条途径
通过这节课的学习，你有哪些收获？
七、归纳总结
（函数零点）
（函数、方程）
（用定理、解方程、看图象）
1．必做题 课本93页：练习1，2
2．探究题
八、分层作业
课本97页：习题1，2
谢谢各位专家的指导！
