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函 数 的 零 点
丰县中学: 马德宇
问 题 情 境
求下列方程的根并作出相应函数的图象
①方程2x-3=0 与函数y=2x-3
②方程x2-2x+1=0 与函数y=x2-2x+1
③方程x2-2x-3=0 与函数y=x2-2x-3
④方程x2-2x+3=0 与函数y=x2-2x+3
无实数根
零点
无零点
△＞0
△=0
△＜0
学 生 活 动
图
数 学 建 构
概念
一般地,我们把使函数y=f(x) 的值为0的实数x称为函数 y=f(x)的零点.
例题1.
求证：二次函数 y=x2-3x-4有两个不同的零点.
数学运用
方程f(x) =0
的实数根
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
函数y=f(x)的零点
形
数
练习1：
变式1：函数f(x)=x2-2x-1在区间(2,3)上是否存在零点
图
变式2：函数f(x)=x3-2x-1在区间(1,2)上是否存在零点
给定区间[a,b],若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点吗
你知道判断一个函数在给定区间上是否存在零点的方法了吗
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
零点存在性的一种判定方法
观察下面函数图象思考:
函数f(x) 满足了f(-1)f(1)<0,它在区间(-1,1)上有零点吗
练习2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内 ( )
A.至少有一个零点
B.至多有一个零点
C.只有一个零点
D.有两个零点
x
y
o
a
b
若函数y=f(x)在（a,b）上有零点能得到f(a)f(b)<0吗
练习3:观察下表,分析函数f(x)=3x5 +6x-1是否存在零点
x -2 -1 0 1 2
f(x) -109 -10 -1 8 107
图
练习4.
求证:函数f(x)= x3+x2+1在区间(-2，-1)上存在零点 .
图
练一练
2、如果x0是二次函数y=f(x)的零点，且m1、判断函数f(x)=2x+x-4在区间(1,2)上是否有零点
图
◆函数的零点概念;
◆函数零点与方程的根以及对应函数图象和x轴交点的横坐标之间的关系;
回顾反思
◆函数零点存在性的一种判定方法;
◆本节课运用了化归与转化以及数形结合的数学思想方法.
布置作业
作业:
1.课本 76页第2题(1)、（2）.
2.(选做题)
若方程2ax2 -x-1=0在(0,1)内恰有一解，求a的取值范围？
