五 锐角三角函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 锐角的正切
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=3,BC=2,则tan A的值是( )
A. B. C. D.
2.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.3 B.3 C.3 D.6
3.如果把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,那么锐角A的正切值( )
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的
C.保持不变 D.不能确定
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则tan A= 2 .
5.在Rt△ABC中,AB是斜边,AB=10,BC=6,tan A= .
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,BC=2,求AB的长.
知识点2 坡度
7.下列斜坡最陡的是( )
A.斜坡AB的坡度为
B.斜坡CD的倾斜角是45°
C.斜坡EF的坡比为1∶3
D.斜坡GH的坡角为α,tan α=
8.河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为2∶3,则tan A= .
9.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为 m.
【B层 能力进阶】
10.由小正方形组成的网格如图,A,B,C三点都在格点上,则∠ABC的正切值为( )
A. B. C. D.
11.(教材再开发·P27随堂练习第2题改编)纵观古今,中国的很多古建筑屋顶都是“人字形”,这样的设计不仅有实际作用,还有哲学和文化含义,是传统文化在建筑上的体现.如图所示,屋顶人字形(等腰三角形)钢架的中柱AD(D为底边中点)长10米,∠B=36°,则跨度BC的长是( )
A.米 B.米
C.20tan 36°米 D.10tan 36°米
12.(2024·聊城期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,=,则tan B=( )
A. B. C. D.
13.阅读理解:为计算tan 15°三角函数值,我们可以构建Rt△ACB(如图),使得∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,可得到∠D=15°,所以tan 15°====2-.类比这种方法,请你计算tan 22.5°的值为( )
A.+1 B.-1 C. D.
14. 如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,其坐标为(6,y),连接OA,OA与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则y的值是 .
15.在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB长为5,S△ABC=6,则tan A+tan B的值为 .
16.已知:如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E都在小正方形的顶点上,求tan∠ADC的值.
17.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
(2)若AD=BD,求tan ∠ABC的值.
【C层 创新挑战(选做)】
18.在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上,求tan ∠AFE.五 锐角三角函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 锐角的正切
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=3,BC=2,则tan A的值是(B)
A. B. C. D.
2.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为(D)
A.3 B.3 C.3 D.6
3.如果把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,那么锐角A的正切值(C)
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的
C.保持不变 D.不能确定
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则tan A= 2 .
5.在Rt△ABC中,AB是斜边,AB=10,BC=6,tan A= .
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,BC=2,求AB的长.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,
∵tan B=,BC=2,∴=,
解得AC=3,
由勾股定理得:AB=
==.
知识点2 坡度
7.下列斜坡最陡的是(B)
A.斜坡AB的坡度为
B.斜坡CD的倾斜角是45°
C.斜坡EF的坡比为1∶3
D.斜坡GH的坡角为α,tan α=
8.河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为2∶3,则tan A= .
9.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为 6 m.
【B层 能力进阶】
10.由小正方形组成的网格如图,A,B,C三点都在格点上,则∠ABC的正切值为(C)
A. B. C. D.
11.(教材再开发·P27随堂练习第2题改编)纵观古今,中国的很多古建筑屋顶都是“人字形”,这样的设计不仅有实际作用,还有哲学和文化含义,是传统文化在建筑上的体现.如图所示,屋顶人字形(等腰三角形)钢架的中柱AD(D为底边中点)长10米,∠B=36°,则跨度BC的长是(B)
A.米 B.米
C.20tan 36°米 D.10tan 36°米
12.(2024·聊城期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,=,则tan B=(C)
A. B. C. D.
13.阅读理解:为计算tan 15°三角函数值,我们可以构建Rt△ACB(如图),使得∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,可得到∠D=15°,所以tan 15°====2-.类比这种方法,请你计算tan 22.5°的值为(B)
A.+1 B.-1 C. D.
14. 如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,其坐标为(6,y),连接OA,OA与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则y的值是 8 .
15.在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB长为5,S△ABC=6,则tan A+tan B的值为 .
16.已知:如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E都在小正方形的顶点上,求tan∠ADC的值.
【解析】根据题意可得,AC=BC=,CD=CE=,AD=BE=5,
∴△ACD≌△BCE.
∴∠ADC=∠BEC.
∴tan∠ADC=tan∠BEC=.
17.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
(2)若AD=BD,求tan ∠ABC的值.
【解析】(1)如图,连接BD,设BC垂直平分线交BC于点F,
∴BD=CD,C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC,
∵AB=CE,∴C△ABD=AC+CE=AE=1,
故△ABD的周长为1.
(2)设AD=x,则BD=3x,∵BD=CD,
∴AC=AD+CD=4x,在Rt△ABD中,AB===2x.
∴tan ∠ABC===.
【C层 创新挑战(选做)】
18.在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上,求tan ∠AFE.
【解析】由题图知,∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,根据折叠的性质,∠EFC=∠EDC=90°,
即∠AFE+∠BFC=90°,
在Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,
得∠AFE=∠BCF,
在Rt△BFC中,根据折叠的性质,CF=CD,
在Rt△BFC中,BC=8,CF=CD=10,
由勾股定理得BF=6,则tan ∠BCF=;
故tan ∠AFE=tan ∠BCF=.
