六 锐角三角函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 求锐角的正弦、余弦
1.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sin A的值(C)
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
2.如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=90°,则sin A的值为(D)
A. B. C. D.
3.(2024·聊城期中)如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么sin A的值为(D)
A. B. C. D.
4.(2024·济南莱芜区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos B=,则sin A的值为 .
5.(2024·烟台栖霞期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α,那么sin α的值等于 .
6.已知直角三角形中两条直角边的差是7 cm,斜边的长是13 cm,求较小锐角α的正弦值.
【解析】设在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c=13 cm,BC=a,AC=b,设a知识点2 锐角三角函数的应用
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,若BC=m,则AB的长为(A)
A. B.m·cos α
C.m·sin α D.m·tan α
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,cos A=,那么AB的长为 8 .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.已知c=12,sin A=,求b.
【解析】∵c=12,sin A==,∴a=4,∴b==8.
【B层 能力进阶】
10.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A(2,4),顶点为(-1,0),则sin α的值是(D)
A. B. C. D.
11.已知α为锐角,则sin α-cos(90°-α)= 0 .
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,△ABC的面积为,则sin B= .
13.如图,在矩形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE⊥AC,若BC=6,sin∠CDE=,则矩形的周长为 17 .
14.如图,AD是△ABC的高,若AD=6,tan C=,BC=12.
(1)求边CD的长;
(2)求cos B的值.
【解析】(1)在Rt△ADC中,∵tan C==,AD=6,∴CD=4.
(2)∵BC=12,CD=4,∴BD=8.
在Rt△ADB中,AB==10,∴cos B==.
15.(2023·烟台招远市期中)如图,在平面直角坐标系中,OB=4,sin∠AOB=,点A的坐标为(3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)求sin∠OAB的值.
【解析】(1)过点B作BC⊥OA于点C,
在Rt△BOC中,OB=4,sin∠AOB=,∴BC=OB·sin∠AOB=4×=3,
∴OC===,∴点B的坐标为(,3);
(2)∵点A的坐标为(3,0),∴OA=3,∴AC=OA-OC=3-=2,
∵∠ACB=90°,∴AB===,
∴sin∠OAB===,∴sin∠OAB的值为.
【C层 创新挑战(选做)】
16.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.
(1)求证:△ACB∽△BCD.
(2)求x的值.
(3)求cos 36°-cos 72°的值.
【解析】(1)因为AB=AC,∠BAC=36°,所以∠ABC=72°,又因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠CBD=36°,所以∠BAC=∠CBD,又∠C=∠C,所以△ACB∽△BCD.
(2)由(1)知△ACB∽△BCD,∴=,即=,解得x=.
(3)过点D作DE⊥BC,垂足为点E,如图,由勾股定理得DE2=BD2-BE2
=DC2-(1-BE)2,
所以1-BE2=-(1-BE)2,解得BE=,所以CE=,
所以cos 36°-cos 72°=-=-=-=.六 锐角三角函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 求锐角的正弦、余弦
1.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sin A的值( )
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
2.如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=90°,则sin A的值为( )
A. B. C. D.
3.(2024·聊城期中)如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么sin A的值为( )
A. B. C. D.
4.(2024·济南莱芜区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos B=,则sin A的值为 .
5.(2024·烟台栖霞期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α,那么sin α的值等于 .
6.已知直角三角形中两条直角边的差是7 cm,斜边的长是13 cm,求较小锐角α的正弦值.
知识点2 锐角三角函数的应用
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,若BC=m,则AB的长为( )
A. B.m·cos α
C.m·sin α D.m·tan α
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,cos A=,那么AB的长为 .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.已知c=12,sin A=,求b.
【B层 能力进阶】
10.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A(2,4),顶点为(-1,0),则sin α的值是( )
A. B. C. D.
11.已知α为锐角,则sin α-cos(90°-α)= .
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,△ABC的面积为,则sin B= .
13.如图,在矩形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE⊥AC,若BC=6,sin∠CDE=,则矩形的周长为 .
14.如图,AD是△ABC的高,若AD=6,tan C=,BC=12.
(1)求边CD的长;
(2)求cos B的值.
15.(2023·烟台招远市期中)如图,在平面直角坐标系中,OB=4,sin∠AOB=,点A的坐标为(3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)求sin∠OAB的值.
【C层 创新挑战(选做)】
16.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.
(1)求证:△ACB∽△BCD.
(2)求x的值.
(3)求cos 36°-cos 72°的值.
