七 30°,45°,60°角的三角函数值
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角三角函数值的计算
1.下列三角函数中,值为的是( )
A.cos 30° B.tan 30°
C.sin 5° D.cos 60°
2.若锐角x满足sin(x+10°)=,则x为( )
A.20° B.50° C.60° D.70°
3.计算sin230°+cos260°的结果为( )
A. B. C.1 D.
4.sin 45°的倒数是( )
A.2 B. C. D.1
5.若cos(α-10°)=,则锐角α的度数为 .
6.(2024·烟台期末)计算:(-1)2 023+2sin 45°-cos 30°+sin 60°+tan260°.
7.(2024·威海荣成期中)计算:
(1)2cos 30°-tan 45°-;
(2)4sin 60°·tan 30°-cos245°.
知识点2 特殊角三角函数值的应用
8.(教材再开发·P32随堂练习第2题)如图,某商场有一自动扶梯示意图.
∠ABC=150°,BC的长是10 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. m B.4 m
C.5 m D.8 m
【B层 能力进阶】
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,则sin A+cos B的值为( )
A. B. C. D.
10.(2023·威海环翠区期末)点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴的对称点的坐标是( )
A. (,) B. (-,-)
C. (-,) D. (-,-)
11.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.形状不能确定
12.在△ABC中,∠A=30°,AC=4,BC=2,那么∠ABC为( )
A.45° B.60°或120°
C.45°或135° D.30°
13.如图是小张同学的尺规作图步骤,其具体做法如下:①在射线AD上顺次截取AB=BC=a,②分别以B,C为圆心,以a为半径作圆弧,两弧交于点E,③连接AE,BE,CE,则下列说法错误的是( )
A.△BCE为等边三角形
B.△ACE的面积为a2
C.sin A=
D.∠AEC=3∠A
14.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则最小角的正弦值是 .
15.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=sin B=,则△ABC是 三角形(按角分类).
16.如图所示,这是一种手机平板支架的侧面结构简易示意图.已知托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动,若∠DCB=90°,∠CDE=60°,求点A到底座DE的距离.
【C层 创新挑战(选做)】
17.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tan B=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan 15°的值.(精确到0.1,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2)七 30°,45°,60°角的三角函数值
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角三角函数值的计算
1.下列三角函数中,值为的是(D)
A.cos 30° B.tan 30°
C.sin 5° D.cos 60°
2.若锐角x满足sin(x+10°)=,则x为(B)
A.20° B.50° C.60° D.70°
3.计算sin230°+cos260°的结果为(A)
A. B. C.1 D.
4.sin 45°的倒数是(B)
A.2 B. C. D.1
5.若cos(α-10°)=,则锐角α的度数为 70° .
6.(2024·烟台期末)计算:(-1)2 023+2sin 45°-cos 30°+sin 60°+tan260°.
【解析】(-1)2 023+2sin 45°-cos 30°+sin 60°+tan260°=-1+2×-++()2
=-1++3=2+.
7.(2024·威海荣成期中)计算:
(1)2cos 30°-tan 45°-;
(2)4sin 60°·tan 30°-cos245°.
【解析】(1)2cos 30°-tan 45°-=2×-1-|1-|=-1-(-1)
=-1-+1=0;
(2)4sin 60°·tan 30°-cos245°=4××-()2=2-=.
知识点2 特殊角三角函数值的应用
8.(教材再开发·P32随堂练习第2题)如图,某商场有一自动扶梯示意图.
∠ABC=150°,BC的长是10 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(C)
A. m B.4 m
C.5 m D.8 m
【B层 能力进阶】
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,则sin A+cos B的值为(B)
A. B. C. D.
10.(2023·威海环翠区期末)点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴的对称点的坐标是(B)
A. (,) B. (-,-)
C. (-,) D. (-,-)
11.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则此三角形是(C)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.形状不能确定
12.在△ABC中,∠A=30°,AC=4,BC=2,那么∠ABC为(C)
A.45° B.60°或120°
C.45°或135° D.30°
13.如图是小张同学的尺规作图步骤,其具体做法如下:①在射线AD上顺次截取AB=BC=a,②分别以B,C为圆心,以a为半径作圆弧,两弧交于点E,③连接AE,BE,CE,则下列说法错误的是(B)
A.△BCE为等边三角形
B.△ACE的面积为a2
C.sin A=
D.∠AEC=3∠A
14.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则最小角的正弦值是 .
15.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=sin B=,则△ABC是 钝角 三角形(按角分类).
16.如图所示,这是一种手机平板支架的侧面结构简易示意图.已知托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动,若∠DCB=90°,∠CDE=60°,求点A到底座DE的距离.
【解析】过点A作AM⊥DE,交ED的延长线于点M,过点C作CF⊥AM于点F,过点C作CN⊥DE于点N,
由题意知,AC=80 mm,CD=80 mm,∠DCB=90°,∠CDE=60°,
在Rt△CDN中,CN=CD·sin ∠CDE=80×=40(mm),∠DCN=90°-60°=30°,
∵∠DCB=90°,∴∠BCN=90°-30°=60°,
∵AM⊥DE,CN⊥DE,∴AM∥CN,∴∠A=∠BCN=60°,∴∠ACF=90°-60°=30°,
在Rt△AFC中,AF=AC·sin ∠ACF=80×=40(mm),
由图知四边形MNCF为矩形,∴FM=CN=40(mm),
∴AM=AF+FM=(40+40)(mm),
∴点A到底座DE的距离为(40+40)mm.
【C层 创新挑战(选做)】
17.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tan B=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan 15°的值.(精确到0.1,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2)
【解析】(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示:
在Rt△ADC中,AC=4,∵∠BCA=150°,∴∠ACD=30°,
∴AD=AC=2,CD=AC·cos 30°=4×=2,
在Rt△ABD中,tan B===,∴BD=16,∴BC=BD-CD=16-2.
(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示:
∵∠ACB=150°,∴∠AMC=∠MAC=15°,
tan 15°=tan∠AMD====2-≈0.3.
