九 解直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 已知斜边和直角边解直角三角形
1.在△ABC中,∠ABC=90°,AC=,tan C=2,则AB的长为( )
A.1 B.2 C. D.2
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=2,CD⊥AB于点D,设∠ACD=α,则cos α的值为( )
A. B. C.2 D.
3.在正方形网格(小正方形的边长均为1)中,格点A,B,C的位置如图所示,则
sin ∠ABC的值是 .
4.已知∠B为Rt△ABC的一个锐角,且AB=5,AC=3,则tan B的值为 .
5.(2024·淄博张店区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2.解这个直角三角形.
知识点2 已知两直角边解直角三角形
6.等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶,则它的顶角为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足.若AC=8,BC=6,则sin ∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
8.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBC=,则AD的长为( )
A.2 B.4 C. D.
【B层 能力进阶】
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AB=c,∠A=α,则CD的长为( )
A.c·sin2α B.c·cos2α
C.c·sin α·tan α D.c·sin α·cos α
10.如图,在△ABC中,∠B=90°,tan C=,AB=6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,经过 s时,PQ∥AC.
11.(2024·东营质检)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,BD=AC=10,tan B=,求AD的长和cos C的值.
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3,S△ABC=,解这个直角三角形.
【C层 创新挑战(选做)】
13.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=13,cos C=,中线BE和AD交于点F.求△ABC的面积以及sin∠EBC的值.九 解直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 已知斜边和直角边解直角三角形
1.在△ABC中,∠ABC=90°,AC=,tan C=2,则AB的长为(B)
A.1 B.2 C. D.2
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=2,CD⊥AB于点D,设∠ACD=α,则cos α的值为(A)
A. B. C.2 D.
3.在正方形网格(小正方形的边长均为1)中,格点A,B,C的位置如图所示,则
sin ∠ABC的值是 .
4.已知∠B为Rt△ABC的一个锐角,且AB=5,AC=3,则tan B的值为 或 .
5.(2024·淄博张店区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2.解这个直角三角形.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2,
∴BC===,∵tan A===1,
∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°.
知识点2 已知两直角边解直角三角形
6.等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶,则它的顶角为(C)
A.30° B.45° C.60° D.120°
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足.若AC=8,BC=6,则sin ∠ACD的值为(C)
A. B. C. D.
8.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBC=,则AD的长为(A)
A.2 B.4 C. D.
【B层 能力进阶】
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AB=c,∠A=α,则CD的长为(D)
A.c·sin2α B.c·cos2α
C.c·sin α·tan α D.c·sin α·cos α
10.如图,在△ABC中,∠B=90°,tan C=,AB=6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,经过 2.4 s时,PQ∥AC.
11.(2024·东营质检)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,BD=AC=10,tan B=,求AD的长和cos C的值.
【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴tan B==,
∵BD=AC=10,∴AD=8;
∵∠ADC=90°,AC=10,AD=8,∴CD===6,
∴cos C===.
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3,S△ABC=,解这个直角三角形.
【解析】如图:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3,S△ABC=,∴ab=,∴a=3,
∴tan A===,∴∠A=60°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-90°=30°,
∴c=2b=6.
【C层 创新挑战(选做)】
13.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=13,cos C=,中线BE和AD交于点F.求△ABC的面积以及sin∠EBC的值.
【解析】∵△ABC中,AB=AC,且AD是中线,
∴AD⊥BC,∠ABC=∠C.
∵Rt△ABD与Rt△ACD中,AB=AC=13,cos C=cos∠ABC=,
∴BD=DC=ABcos∠ABC=5,∴AD===12,
∴S△ABC=60.∵中线BE和AD交于点F,∴DF=AD=4,
则在Rt△BDF中,BF===,
∴sin∠EBC==.
