十一 解直角三角形(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 构造直角三角形解决问题
1.如图,在△ABC中,BC=+,∠C=45°,AB=AC,则AC的长为(B)
A.+1 B.2
C. D.+
2.如图,延长Rt△ABC的斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD,若tan∠BCD=,则tan A的值是(D)
A.1 B. C.9 D.
3.已知直角梯形的一腰长为18 cm,另一腰长为9 cm,则较长的腰与底所成的角为(C)
A.120°和60° B.45°和135°
C.30°和150° D.90°
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=(D)
A. B. C.2 D.3
5.如图,CD是△ABC的高,若AB=10,CD=6,tan ∠CAD=,则BD= 2 .
6.等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则sin B= .
7.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,连接BC,则∠C的正弦值为 .
8.如图,△ABC中,tan B=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,求△ABC的面积.
【解析】∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4,CD=2,
∵tan B==,∴AD=BD=,∴△ABC的面积是×BC×AD=×6×=8.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=8,AB=4,则BC的长是(B)
A.4 B.4 C.6 D.8
10.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半,那么腰与底边的比是(A)
A.1∶ B.∶1
C.1∶ D.∶1
11.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为 .
12.如图,直线AB经过点P(1,2),且与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.若
sin∠BAO=,则点B的坐标为 .
13.在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC= 3+3或3-3 .
14.(2024·潍坊期中)如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC=75°,AB=2.点D在BC的延长线上,且CD=CA,连接AD.
(1)求BC的长;
(2)求tan D的值.
【解析】(1)如图,作AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AED=90°,∵∠B=60°,∴∠BAE=30°,∵AB=2,
∴BE=AB=1,AE==,∵∠BAC=75°,∴∠EAC=45°,
∴∠ACE=45°,∴EC=AE=,∴BC=BE+EC=1+;
(2)∵EC=AE=,∴AC=AE=,∴CD=CA=,
∴DE=+,∴tan D===-1.
【C层 创新挑战(选做)】
15.已知锐角△ABC,点D在BC的延长线上,连接AD,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D,AD=2,AC=,根据题意画出示意图,并求tan D的值.
【解析】如图,∵∠ACB=∠D+∠CAD,∠ACB=2∠D,
∴∠CAD=∠D,∴CA=CD.∵∠DAB=90°,∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90°,
∴∠B=∠BAC,∴AC=CB,∴BD=2AC=2×=3.
在Rt△ABD中,∵∠DAB=90°,AD=2,∴AB==,∴tan D==.十一 解直角三角形(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 构造直角三角形解决问题
1.如图,在△ABC中,BC=+,∠C=45°,AB=AC,则AC的长为( )
A.+1 B.2
C. D.+
2.如图,延长Rt△ABC的斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD,若tan∠BCD=,则tan A的值是( )
A.1 B. C.9 D.
3.已知直角梯形的一腰长为18 cm,另一腰长为9 cm,则较长的腰与底所成的角为( )
A.120°和60° B.45°和135°
C.30°和150° D.90°
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( )
A. B. C.2 D.3
5.如图,CD是△ABC的高,若AB=10,CD=6,tan ∠CAD=,则BD= .
6.等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则sin B= .
7.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,连接BC,则∠C的正弦值为 .
8.如图,△ABC中,tan B=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,求△ABC的面积.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=8,AB=4,则BC的长是( )
A.4 B.4 C.6 D.8
10.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半,那么腰与底边的比是( )
A.1∶ B.∶1
C.1∶ D.∶1
11.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为 .
12.如图,直线AB经过点P(1,2),且与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.若
sin∠BAO=,则点B的坐标为 .
13.在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC= .
14.(2024·潍坊期中)如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC=75°,AB=2.点D在BC的延长线上,且CD=CA,连接AD.
(1)求BC的长;
(2)求tan D的值.
【C层 创新挑战(选做)】
15.已知锐角△ABC,点D在BC的延长线上,连接AD,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D,AD=2,AC=,根据题意画出示意图,并求tan D的值.
