十二 三角函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 仰角、俯角
1.(2024·淄博期中)为测楼房BC的高,在距楼房30米的A处,测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为(A)
A.30tan α米 B.米
C.30sin α米 D.米
2.(2024·烟台期中)如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB=12 m,则这棵树CD的高度是(A)
A.6(3-)m B.6(3+)m
C.4(3-)m D.4(3+)m
3.如图,数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为 14 米.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
4.如图,楼顶上有一个广告牌AB,从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°,观测广告牌底部B的仰角为30°,求广告牌AB的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
【解析】在Rt△BCD中,BC=DC·tan 30°=15×=5≈5×1.73=8.65(m),
在Rt△ACD中,AC=DC·tan 37°≈15×0.75=11.25(m),
∴AB=AC-BC=11.25-8.65=2.6(m).
答:广告牌AB的高度为2.6 m.
知识点2 方位角问题
5.(2022·烟台中考)如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向,C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是(A)
A.北偏东70° B.北偏东75°
C.南偏西70° D.南偏西20°
6.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 87 米(结果保留整数,参考数据:≈1.732).
【B层 能力进阶】
7.(2024·威海期中)如图,小明在M处用高1.5 m(即CM=1.5 m)的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°,将测角仪沿旗杆方向前进20 m到N处,测得旗杆顶端B的仰角为60°,则旗杆AB的高度为(D)
A.11.5 m B.20 m
C.10 m D.(10+1.5)m
8.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD长10 m,DE长5 m,则树AB的高度是______m.(B)
A.10 B.15 C.15 D.(15-5)
9.(2023·泰安模拟)如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,2小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是 20 海里.(结果保留根号)
10.如图,某无人机兴趣小组在操场上开展活动,此时无人机在离地面20米的D处,无人机测得操控者A的俯角为30°,测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米,教学楼BC的高度为 14 米.(注:点A,B,C,D都在同一平面上,参考数据:≈1.7,结果保留整数)
【C层 创新挑战(选做)】
11.请根据对话和聪聪的做法,解决问题.
聪聪,教学楼与图书馆之间有池塘,你能测出它们之间的距离吗
呵呵,这可难不倒我.看我用学过的数学知识解答.
聪聪的做法是:
第一步:在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75°;
第二步:在图书馆D处测得教学楼顶端的仰角为30°(B,M,D三点共线,A,B,M,D,C在同一竖直的平面内,测倾仪的高度忽略不计);
第三步:计算出教学楼与图书馆之间的距离BD.
请你根据聪聪的做法,计算出教学楼与图书馆之间的距离BD.(结果精确到1米)
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,≈1.41,≈1.73)
【解析】根据题意可得∠ABM=90°,
在Rt△ABM中,BM=5,∠AMB=75°,∴tan∠AMB=≈3.73,
∴AB≈3.73×5=18.65(米),在Rt△ABD中,∠ADB=30°,
∴tan∠ADB==,∴BD=AB≈1.73×18.65≈32(米),
∴教学楼与图书馆之间的距离BD约为32米.十二 三角函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 仰角、俯角
1.(2024·淄博期中)为测楼房BC的高,在距楼房30米的A处,测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为( )
A.30tan α米 B.米
C.30sin α米 D.米
2.(2024·烟台期中)如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB=12 m,则这棵树CD的高度是( )
A.6(3-)m B.6(3+)m
C.4(3-)m D.4(3+)m
3.如图,数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为 米.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
4.如图,楼顶上有一个广告牌AB,从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°,观测广告牌底部B的仰角为30°,求广告牌AB的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
知识点2 方位角问题
5.(2022·烟台中考)如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向,C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是( )
A.北偏东70° B.北偏东75°
C.南偏西70° D.南偏西20°
6.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 米(结果保留整数,参考数据:≈1.732).
【B层 能力进阶】
7.(2024·威海期中)如图,小明在M处用高1.5 m(即CM=1.5 m)的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°,将测角仪沿旗杆方向前进20 m到N处,测得旗杆顶端B的仰角为60°,则旗杆AB的高度为( )
A.11.5 m B.20 m
C.10 m D.(10+1.5)m
8.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD长10 m,DE长5 m,则树AB的高度是______m.( )
A.10 B.15 C.15 D.(15-5)
9.(2023·泰安模拟)如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,2小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是 20 海里.(结果保留根号)
10.如图,某无人机兴趣小组在操场上开展活动,此时无人机在离地面20米的D处,无人机测得操控者A的俯角为30°,测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米,教学楼BC的高度为 米.(注:点A,B,C,D都在同一平面上,参考数据:≈1.7,结果保留整数)
【C层 创新挑战(选做)】
11.请根据对话和聪聪的做法,解决问题.
聪聪,教学楼与图书馆之间有池塘,你能测出它们之间的距离吗
呵呵,这可难不倒我.看我用学过的数学知识解答.
聪聪的做法是:
第一步:在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75°;
第二步:在图书馆D处测得教学楼顶端的仰角为30°(B,M,D三点共线,A,B,M,D,C在同一竖直的平面内,测倾仪的高度忽略不计);
第三步:计算出教学楼与图书馆之间的距离BD.
请你根据聪聪的做法,计算出教学楼与图书馆之间的距离BD.(结果精确到1米)
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,≈1.41,≈1.73)
