十三 三角函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用三角函数解决与坡度有关的问题
1.如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长度为(A)
A.10 m B.10 m
C.5 m D.5 m
2.(2023·淄博临淄区期末)为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度为i1=1∶,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1∶4,则斜坡AF的长度是 20.62 m.(结果精确到
0.01 m,参考数据:≈1.732,≈4.123)
3.如图是一座人行天桥的示意图,已知天桥的高度CD=6米,坡面BC的倾斜角∠CBD=45°,距B点8米处有一建筑物NM,为了方便行人推自行车过天桥,市政府决定降低坡面BC的坡度,把倾斜角由45°减至30°,即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD=30°.
(1)求新坡面AC的长度;
(2)试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离.
【解析】(1)在Rt△ACD中,∠CAD=30°,CD=6米,则AC=2CD=2×6=12(米).
答:新坡面AC的长度为12米;
(2)在Rt△BCD中,∠CBD=45°,CD=6米,∴BD=CD=6米,
∵NB=8米,∴ND=NB+BD=8+6=14(米),
在Rt△ACD中,∠CAD=30°,CD=6米,
则AD==6(米),∴NA=ND-AD=(14-6)米,
答:新坡面底部点A到建筑物MN的距离为(14-6)米.
4.如图,莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度,测得斜坡AB=105米,坡度i=1∶2,在B处测得电梯顶端C的仰角α=45°,求观光电梯AC的高度.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24.结果精确到0.1米)
【解析】如图所示,过B作BM⊥水平地面于M,BN⊥AC于N,则四边形AMBN是矩形,∴AN=MB,BN=MA,
∵斜坡AB=105米,坡度i=1∶2=,∴设BM=x米,则AM=2x米,
∴AB===x=105,
∴x=21,∴AN=MB=21(米),BN=MA=42(米),
在Rt△BCN中,∠CBN=α=45°,∴△BCN是等腰直角三角形,
∴BN=CN=42(米),∴AC=AN+CN=21+42=63≈141.1(米).
答:观光电梯AC的高度约为141.1米.
知识点2 应用三角函数解决生活情境问题
5.(2024·淄博高青期中)如图所示,CD是一个平面镜,光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点,设入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D.若AC=3,BD=6,CD=12,则tan α的值为(A)
A. B. C. D.
6.(2024·烟台期中)如图,某农林部门用钢管为树木加固,已知钢管AB的长为4米,钢管与地面所成夹角∠1=52°.则固定点A离地面的高度AC为(D)
A.米 B.米
C.4cos 52°米 D.4sin 52°米
【B层 能力进阶】
7.(2021·潍坊中考)如图,一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上,若入射光线与出射光线的夹角为60°,则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是(B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
8.如图是一把圆规的平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂.已知OA=OB=a,使用时,以点A为支撑点,笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB=2θ,则圆规能画出的圆的半径AB长度为(A)
A.2asin θ B.asin 2θ
C.2atan θ D.atan 2θ
9.如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面AB坡度为1∶,则斜坡AB的长是(C)
A.(10+20)米 B.(10+10)米
C.20米 D.40米
10.如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达C点,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,DC=BC.在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么建筑物AB的高度约为 71.8 米.(精确到0.1米)(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
【C层 创新挑战(选做)】
11.学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,已知坡长AC=12 m,坡角α为30°,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角β为27°,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角为60°,A,B,C,D在同一平面上.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51,≈1.73)
(1)求灯杆AB的高度;
(2)求CD的长度.
【解析】(1)延长BA交CG于点E,则BE⊥CG,
在Rt△ACE中,∠ACE=30°,AC=12 m,∴AE=AC=×12=6(m),
CE=AC·cos ∠ACE=12×=6(m),
在Rt△BCE中,∠BCE=60°,
∴BE=CE·tan ∠BCE=6×=18(m),
∴AB=BE-AE=18-6=12(m).
(2)在Rt△BDE中,∠BDE=27°,
∴CD=DE-CE=-6≈24.9(m).十三 三角函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用三角函数解决与坡度有关的问题
1.如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长度为( )
A.10 m B.10 m
C.5 m D.5 m
2.(2023·淄博临淄区期末)为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度为i1=1∶,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1∶4,则斜坡AF的长度是 m.(结果精确到
0.01 m,参考数据:≈1.732,≈4.123)
3.如图是一座人行天桥的示意图,已知天桥的高度CD=6米,坡面BC的倾斜角∠CBD=45°,距B点8米处有一建筑物NM,为了方便行人推自行车过天桥,市政府决定降低坡面BC的坡度,把倾斜角由45°减至30°,即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD=30°.
(1)求新坡面AC的长度;
(2)试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离.
4.如图,莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度,测得斜坡AB=105米,坡度i=1∶2,在B处测得电梯顶端C的仰角α=45°,求观光电梯AC的高度.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24.结果精确到0.1米)
知识点2 应用三角函数解决生活情境问题
5.(2024·淄博高青期中)如图所示,CD是一个平面镜,光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点,设入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D.若AC=3,BD=6,CD=12,则tan α的值为( )
A. B. C. D.
6.(2024·烟台期中)如图,某农林部门用钢管为树木加固,已知钢管AB的长为4米,钢管与地面所成夹角∠1=52°.则固定点A离地面的高度AC为( )
A.米 B.米
C.4cos 52°米 D.4sin 52°米
【B层 能力进阶】
7.(2021·潍坊中考)如图,一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上,若入射光线与出射光线的夹角为60°,则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
8.如图是一把圆规的平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂.已知OA=OB=a,使用时,以点A为支撑点,笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB=2θ,则圆规能画出的圆的半径AB长度为( )
A.2asin θ B.asin 2θ
C.2atan θ D.atan 2θ
9.如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面AB坡度为1∶,则斜坡AB的长是( )
A.(10+20)米 B.(10+10)米
C.20米 D.40米
10.如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达C点,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,DC=BC.在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么建筑物AB的高度约为 米.(精确到0.1米)(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
【C层 创新挑战(选做)】
11.学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,已知坡长AC=12 m,坡角α为30°,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角β为27°,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角为60°,A,B,C,D在同一平面上.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51,≈1.73)
(1)求灯杆AB的高度;
(2)求CD的长度.
