十六 二次函数
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数的概念
1.(2024·周口期末)下列函数是二次函数的是(C)
A.y=2x+1 B.y=
C.y=x2+x D.y=+x-1
2.下列函数不属于二次函数的是(D)
A.y=(x-1)(x+2) B.y=(x-1)2
C.y=1-x2 D.y=2(x+3)2-2x2
3.二次函数y=3x-x2的二次项系数是 - .
4.(2024·长春期中)当函数y=(a-2)x2+bx+c是二次函数时,a的取值范围为 a≠2 .
5.已知y=(m2-m)+(m-3)x+m2是关于x的二次函数,求出它的关系式,并写出其二次项系数、一次项系数及常数项.
【解析】根据题意可得,
解得m=-1或m=3,
当m=-1时,二次函数为y=2x2-4x+1,其二次项系数为2,一次项系数为-4,常数项为1;
当m=3时,二次函数为y=6x2+9,其二次项系数为6,一次项系数为0,常数项为9.
知识点2 根据实际问题列二次函数的表达式
6.一台机器原价100万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元,则y与x的函数关系式为(D)
A.y=100(1-x) B.y=100-x2
C.y=100(1+x)2 D.y=100(1-x)2
7.小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年定期存入银行,已知年利率为x,一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存,设两年到期后,本利和为y元,则y与x之间的函数关系式为(A)
A.y=500(x+1)2 B.y=x2+500
C.y=x2+500x D.y=x2+5x
8.已知有n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数为m,则m关于n的函数关系式为 m=n2-n .
9.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x元.求:
(1)房间每天的入住量y(间)与x(元)之间的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)与x(元)之间的函数关系式.
【解析】(1)∵增加10元,就有一个房间空闲,增加20元就有两个房间空闲,以此类推,空闲的房间为,
∴y=60-,即y=-+60.
(2)由题意得:z=(200+x),
即z=-+40x+12 000.
【B层 能力进阶】
10.对于关于x的函数y=(m+1)+3x,下列说法错误的是(C)
A.当m=-1时,该函数为正比例函数
B.当m2-m=1时,该函数为一次函数
C.当该函数为二次函数时,m=2或m=-1
D.当该函数为二次函数时,m=2
11.(2022·东营河口区质检)关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是(C)
A.y是x的二次函数
B.二次项系数是-10
C.一次项是100
D.常数项是20 000
12.设y=y1-y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,则y与x的函数关系是(C)
A.正比例函数 B.一次函数
C.二次函数 D.以上均不正确
13.把二次函数y=3x(x-2)-4化为一般形式是 y=3x2-6x-4 ;其中二次项系数是 3 ,一次项是 -6x .
14.某工厂1月份的产值是200万元,平均每月产值的增长率为x(x>0),则该工厂第一季度的产值y关于x的函数关系式为 y=200x2+600x+600(x>0) .
15.如图所示,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为 S=t2(016.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设利润为W元,写出W与x的函数关系式.
【解析】(1)每件涨价x元,由题意得,每星期的销量为y=150-10x=-10x+150(0≤x≤5且x为整数);
(2)W=(x+40-30)×(150-10x)=-10x2+50x+1 500.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(2024·北京质检)如图,∠ABC=90°,AB=2,BC=8,射线CD⊥BC于点C,E是线段BC上一点,F是射线CD上一点,且满足∠AEF=90°.
(1)若BE=3,求CF的长;
(2)设BE=x,CF=y,写出y关于x的函数关系式.
【解析】(1)如图,
∵∠ABC=∠AEF=90°,
∴∠2+∠A=∠2+∠1=90°,∴∠A=∠1,
∵CD⊥BC,∴∠ECF=90°,
∴∠ABE=∠ECF,∴△ABE∽△ECF,
∴=,
∵AB=2,BC=8,BE=3,
∴EC=BC-BE=5,∴=,
解得CF=,经检验符合题意;
(2)∵△ABE∽△ECF,
∴=,
∵AB=2,BC=8,BE=x,CF=y,
∴EC=8-x,∴=,
∴2y=-x2+8x,
∴y=-x2+4x.十六 二次函数
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数的概念
1.(2024·周口期末)下列函数是二次函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=
C.y=x2+x D.y=+x-1
2.下列函数不属于二次函数的是( )
A.y=(x-1)(x+2) B.y=(x-1)2
C.y=1-x2 D.y=2(x+3)2-2x2
3.二次函数y=3x-x2的二次项系数是 - .
4.(2024·长春期中)当函数y=(a-2)x2+bx+c是二次函数时,a的取值范围为 .
5.已知y=(m2-m)+(m-3)x+m2是关于x的二次函数,求出它的关系式,并写出其二次项系数、一次项系数及常数项.
知识点2 根据实际问题列二次函数的表达式
6.一台机器原价100万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元,则y与x的函数关系式为( )
A.y=100(1-x) B.y=100-x2
C.y=100(1+x)2 D.y=100(1-x)2
7.小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年定期存入银行,已知年利率为x,一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存,设两年到期后,本利和为y元,则y与x之间的函数关系式为( )
A.y=500(x+1)2 B.y=x2+500
C.y=x2+500x D.y=x2+5x
8.已知有n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数为m,则m关于n的函数关系式为 .
9.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x元.求:
(1)房间每天的入住量y(间)与x(元)之间的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)与x(元)之间的函数关系式.
【B层 能力进阶】
10.对于关于x的函数y=(m+1)+3x,下列说法错误的是( )
A.当m=-1时,该函数为正比例函数
B.当m2-m=1时,该函数为一次函数
C.当该函数为二次函数时,m=2或m=-1
D.当该函数为二次函数时,m=2
11.(2022·东营河口区质检)关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是( )
A.y是x的二次函数
B.二次项系数是-10
C.一次项是100
D.常数项是20 000
12.设y=y1-y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,则y与x的函数关系是( )
A.正比例函数 B.一次函数
C.二次函数 D.以上均不正确
13.把二次函数y=3x(x-2)-4化为一般形式是 ;其中二次项系数是 ,一次项是 .
14.某工厂1月份的产值是200万元,平均每月产值的增长率为x(x>0),则该工厂第一季度的产值y关于x的函数关系式为 .
15.如图所示,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为 .
16.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设利润为W元,写出W与x的函数关系式.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(2024·北京质检)如图,∠ABC=90°,AB=2,BC=8,射线CD⊥BC于点C,E是线段BC上一点,F是射线CD上一点,且满足∠AEF=90°.
(1)若BE=3,求CF的长;
(2)设BE=x,CF=y,写出y关于x的函数关系式.
