十七 二次函数y=ax2的图象与性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是( )
A.y=x B.y=x+1
C.y=x2 D.y=-x2
2.(2024·北京质检)在平面直角坐标系xOy中,下列函数的图象经过点(0,0)的是( )
A.y=x2 B.y=
C.y=(x-1)2 D.y=x+1
3.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一直角坐标系的大致图象为( )
4.(2024·福州期中)对于抛物线y=x2,下列说法错误的是( )
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.顶点坐标是(0,0)
D.y随x的增大而增大
5.(2024·北京期中)点A(-3,y1),B(2,y2)在抛物线y=-x2上,则y1 y2(填“>”“<”或“=”).
6.已知函数y=(m-1)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)当m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点,当x为何值时,y随x的增大而增大
知识点2 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质的应用
7.如图所示,A,B分别为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为( )
A.y=3 B.y=6 C.y=9 D.y=36
8.当-3≤x≤-1时,二次函数y=-x2的最大值是 .
9.如图所示,一座抛物线形的拱桥,其形状可以用y=-x2来描述.
(1)当水面到桥拱顶部的距离为2米时,水面的宽为多少米
(2)当水面宽为4米时,水面到桥拱顶部的距离为多少米
【B层 能力进阶】
10.(2022·淄博桓台质检)关于抛物线y=-x2,给出下列说法:
①抛物线顶点是原点;
②当x>10时,y随x的增大而减小;
③当-1
④若(m,p),(n,p)是该抛物线上两点,则m+n=0.其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,☉O的半径为1,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是( )
A. B.π C.2π D.都不对
12.如图,点A在x轴正半轴上,抛物线y=x2与直线y=4在第一象限内的交点为B,则tan∠AOB的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象(如图所示).
①如果>a>a2,那么0②如果a2>a>,那么a>1.
③如果>a2>a,那么-1④如果a2>>a,那么a<-1.
其中正确的命题是 .(填序号)
14.已知二次函数y=-x2.
(1)填写下表,在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
(2)利用图象写出当-2【C层 创新挑战(选做)】
15.已知点A(2,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形 若存在,写出P点坐标;若不存在,说明理由.十七 二次函数y=ax2的图象与性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)
A.y=x B.y=x+1
C.y=x2 D.y=-x2
2.(2024·北京质检)在平面直角坐标系xOy中,下列函数的图象经过点(0,0)的是(A)
A.y=x2 B.y=
C.y=(x-1)2 D.y=x+1
3.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一直角坐标系的大致图象为(A)
4.(2024·福州期中)对于抛物线y=x2,下列说法错误的是(D)
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.顶点坐标是(0,0)
D.y随x的增大而增大
5.(2024·北京期中)点A(-3,y1),B(2,y2)在抛物线y=-x2上,则y1 < y2(填“>”“<”或“=”).
6.已知函数y=(m-1)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)当m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点,当x为何值时,y随x的增大而增大
【解析】(1)由题意得,
解得
∴当m=0或m=2时原函数为二次函数.
(2)当m=2时,y=x2,抛物线有最低点,这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),当x>0时,y随x的增大而增大.
知识点2 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质的应用
7.如图所示,A,B分别为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为(C)
A.y=3 B.y=6 C.y=9 D.y=36
8.当-3≤x≤-1时,二次函数y=-x2的最大值是 -1 .
9.如图所示,一座抛物线形的拱桥,其形状可以用y=-x2来描述.
(1)当水面到桥拱顶部的距离为2米时,水面的宽为多少米
(2)当水面宽为4米时,水面到桥拱顶部的距离为多少米
【解析】(1)由题意,得y=-2,即-x2=-2,
解得x=±,
∴水面的宽度为2米.
(2)当水面宽为4米时,x=±2,
此时y=-x2=-4,
∴此时水面到桥拱顶部的距离为4米.
【B层 能力进阶】
10.(2022·淄博桓台质检)关于抛物线y=-x2,给出下列说法:
①抛物线顶点是原点;
②当x>10时,y随x的增大而减小;
③当-1④若(m,p),(n,p)是该抛物线上两点,则m+n=0.其中正确的说法有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,☉O的半径为1,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是(A)
A. B.π C.2π D.都不对
12.如图,点A在x轴正半轴上,抛物线y=x2与直线y=4在第一象限内的交点为B,则tan∠AOB的值为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象(如图所示).
①如果>a>a2,那么0②如果a2>a>,那么a>1.
③如果>a2>a,那么-1④如果a2>>a,那么a<-1.
其中正确的命题是 ①④ .(填序号)
14.已知二次函数y=-x2.
(1)填写下表,在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
(2)利用图象写出当-2【解析】(1)根据画函数图象的步骤:
列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -1 0 -1 -4 …
描点,连线;如图:
(2)根据图象可知:当-2答案:-4【C层 创新挑战(选做)】
15.已知点A(2,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形 若存在,写出P点坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵点A(2,a)在抛物线y=x2上,
∴a=22=4,∴A点的坐标:(2,4).
(2)如图所示:
以O为顶角的顶点时,AO=P1O=2或AO=OP2=2,
∴点P坐标:(2,0),(-2,0),
以A为顶角的顶点时,AO=AP,
∴点P坐标:(4,0).以P为顶角的顶点时,OP'=AP',
∴AE2+P'E2=P'A2,
设AP'=x则42+(x-2)2=x2,解得:x=5,
∴点P坐标:(5,0),
综上所述,使△OAP是等腰三角形的P点坐标:(2,0),(-2,0),(4,0),(5,0).