十八 二次函数y=ax2的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2的图象与性质
1.(2024·洛阳期中)关于函数y=4x2的性质表述正确的一项是( )
A.无论x为何实数,y的值总为正数
B.它的图象关于y轴对称
C.当x的值增大时,y的值也增大
D.它的图象在第一、三象限内且经过原点
2.已知二次函数y=(a-2)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>2 C.a≠2 D.a<2
3.(2024·青岛质检)图中与抛物线y=x2,y=2x2,y=-x2,y=-2x2的图象对应的是( )
A.①②④③ B.②①④③
C.①②③④ D.②①③④
4.若点(0,0)是抛物线y=(m+1)x2的最低点,则m的取值范围是 .
5.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.
知识点2 求二次函数y=ax2的表达式
6.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则a的值为( )
A.±2 B.-2 C.2 D.3
7.如图,在平面直角坐标系中,函数图象的表达式是( )
A.y=x2 B.y=x2
C.y=x2 D.y=x2
8.抛物线y=ax2与直线y=-x交于点(1,m),抛物线的函数表达式为 .
9.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2,-1),求该函数的解析式及对称轴.
【B层 能力进阶】
10.下列关于函数y=ax2(a≠0)的说法错误的有( )
①它的图象是抛物线;②对称轴是y轴;
③顶点坐标是(0,0);④当a>0时有最大值;
⑤当a>0时y随x增大而增大;⑥当a<0时,图象开口向下
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( )
12.已知二次函数y=x2的图象如图所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则AB的长度为 .
13.(2024·泰州质检)已知二次函数y=2x2,当-2≤x≤3时,y的取值范围是 .
14.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点C为y轴正半轴上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A,B两点,且CB=3AC,P为CB的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),则y关于x的函数表达式为 .
15.根据下列条件分别求a的取值或取值范围.
(1)函数y=(3a-2)x2有最大值;
(2)抛物线y=(a+2)x2与y=-x2的形状相同;
(3)函数y=ax2的图象是开口向上的抛物线.
16.(2024·厦门质检)已知y=(k+2)是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值,并画出二次函数的图象;
(2)如果点P(m,n)是此二次函数的图象上一点,若-2≤m≤1,求n的取值范围.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(2024·徐州质检)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2).
(1)求出这个函数关系式;
(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积;
(3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍 如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.十八 二次函数y=ax2的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2的图象与性质
1.(2024·洛阳期中)关于函数y=4x2的性质表述正确的一项是(B)
A.无论x为何实数,y的值总为正数
B.它的图象关于y轴对称
C.当x的值增大时,y的值也增大
D.它的图象在第一、三象限内且经过原点
2.已知二次函数y=(a-2)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是(D)
A.a>0 B.a>2 C.a≠2 D.a<2
3.(2024·青岛质检)图中与抛物线y=x2,y=2x2,y=-x2,y=-2x2的图象对应的是(B)
A.①②④③ B.②①④③
C.①②③④ D.②①③④
4.若点(0,0)是抛物线y=(m+1)x2的最低点,则m的取值范围是 m>-1 .
5.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.
【解析】两个函数的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0),y=x2,a=>0,故函数图象开口向上,当x>0时,y随x的增大而增大,当x<0时,y随x的增大而减小;
y=-x2,a=-<0,故函数图象开口向下,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小;
二次函数的y与x的部分对应值如表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 … 3 0 3 …
y= -x2 … -3 - - 0 - - -3 …
根据表格描点绘图:
知识点2 求二次函数y=ax2的表达式
6.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则a的值为(C)
A.±2 B.-2 C.2 D.3
7.如图,在平面直角坐标系中,函数图象的表达式是(D)
A.y=x2 B.y=x2
C.y=x2 D.y=x2
8.抛物线y=ax2与直线y=-x交于点(1,m),抛物线的函数表达式为 y=-x2 .
9.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2,-1),求该函数的解析式及对称轴.
【解析】把(2,-1)代入y=ax2(a≠0)得4a=-1,
解得a=-,
所以抛物线解析式为y=-x2,对称轴为y轴.
【B层 能力进阶】
10.下列关于函数y=ax2(a≠0)的说法错误的有(B)
①它的图象是抛物线;②对称轴是y轴;
③顶点坐标是(0,0);④当a>0时有最大值;
⑤当a>0时y随x增大而增大;⑥当a<0时,图象开口向下
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是(C)
12.已知二次函数y=x2的图象如图所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则AB的长度为 4 .
13.(2024·泰州质检)已知二次函数y=2x2,当-2≤x≤3时,y的取值范围是 0≤y≤18 .
14.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点C为y轴正半轴上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A,B两点,且CB=3AC,P为CB的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),则y关于x的函数表达式为 y=x2 .
15.根据下列条件分别求a的取值或取值范围.
(1)函数y=(3a-2)x2有最大值;
(2)抛物线y=(a+2)x2与y=-x2的形状相同;
(3)函数y=ax2的图象是开口向上的抛物线.
【解析】(1)由题意得3a-2<0,
解得a<;
(2)由题意得a+2=或a+2=-,
解得a=-或-;
(3)∵函数图象开口向上,
∴a>0.
16.(2024·厦门质检)已知y=(k+2)是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值,并画出二次函数的图象;
(2)如果点P(m,n)是此二次函数的图象上一点,若-2≤m≤1,求n的取值范围.
【解析】(1)由y=(k+2)是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大,得
,解得k=-3;
二次函数的解析式为y=-x2,
如图所示:
(2)点P(m,n)是此二次函数的图象上一点,-2≤m≤1,
当m=-2时,n=-(-2)2=-4,
当m=1时,n=-12=-1,
当m=0时,n取得最大值,n=-02=0,
∴当-2≤m≤1时,-4≤n≤0.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(2024·徐州质检)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2).
(1)求出这个函数关系式;
(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积;
(3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍 如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2),
∴把点A(-1,2)直接代入y=ax2可得:a=2,
∴二次函数关系式为y=2x2;
(2)把y=2代入y=2x2,解得x=-1或1,
∴B(1,2),
∴AB=2,
∴S△AOB=×AB×h=×2×2=2;
(3)存在;∵△AOB的面积等于△ABC面积的2倍,且△ABC和△AOB都有共同的底边AB,
∴点O到AB的距离是点C到AB的距离的2倍,
∵O到AB的距离为2,
∴点C到AB的距离为1,
即点C的纵坐标为1或3,
把y=1代入y=2x2得:x=±,把y=3代入y=2x2得:x=±,
∴此时点C坐标为(-,1),(,1),(-,3),(,3).
