十九 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 y=ax2+k的图象和性质
1.函数y=-x2+1的图象大致为( )
2.对于二次函数y=2x2-5,下列说法正确的是( )
A.有最大值5 B.有最大值-5
C.有最小值-5 D.有最小值5
3.(2024·汕尾质检)下列关于抛物线y=-x2+3的说法错误的是( )
A.函数有最大值为3
B.函数的对称轴为y轴
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.函数的顶点为(0,3)
4.(2024·龙岩期中)若二次函数y=x2+k的图象经过点(-1,y1),(3,y2),则y1 y2(选填:“>”“<”或“=”).
5.已知抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴.
(1)求m的值;
(2)求出抛物线的表达式并说明抛物线的增减性.
知识点2 y=a(x-h)2的图象和性质
6.将抛物线y=-3x2平移得到抛物线y=-3(x+2)2,则这个平移过程正确的是( )
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
7.对于二次函数y=-(x-1)2的图象的特征,下列描述正确的是( )
A.开口向上 B.经过原点
C.对称轴是y轴 D.顶点在x轴上
8.若点A(-2,y1),B(1,y2),C(-4,y3)在抛物线y=2(x+1)2上,请将y1,y2,y3按从小到大的顺序用“<”连接: .
9.已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x-1)2.
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图象;
(4)分别说出各个函数y值随x变化的规律.
【B层 能力进阶】
10.(2024·广州期中)若点(x1,y1),(x2,y2)在二次函数y=-x2+5的图象上,且0A.5C.y211.(2023·广东中考)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
12.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
13.已知抛物线y=a(x-h)2的形状与抛物线y=-2x2的形状相同,且顶点坐标为(-2,0),则a+h= .
14.如图,两条抛物线y1=-x2+1与y2=-x2-1分别经过点(-2,-1),(2,-3),且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .
15.已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的表达式.
【C层 创新挑战(选做)】
16.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)经过点P(3,0),Q(1,4).
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点A在直线PQ上,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC.
①当Q与A重合时,求C到抛物线对称轴的距离;
②若C在抛物线上,求C的坐标.十九 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 y=ax2+k的图象和性质
1.函数y=-x2+1的图象大致为(B)
2.对于二次函数y=2x2-5,下列说法正确的是(C)
A.有最大值5 B.有最大值-5
C.有最小值-5 D.有最小值5
3.(2024·汕尾质检)下列关于抛物线y=-x2+3的说法错误的是(C)
A.函数有最大值为3
B.函数的对称轴为y轴
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.函数的顶点为(0,3)
4.(2024·龙岩期中)若二次函数y=x2+k的图象经过点(-1,y1),(3,y2),则y1 < y2(选填:“>”“<”或“=”).
5.已知抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴.
(1)求m的值;
(2)求出抛物线的表达式并说明抛物线的增减性.
【解析】(1)∵抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴,
∴m-1=0,∴m=1;
(2)∵m=1,∴抛物线的表达式为y=-2x2+4,当x>0时,y随x的增大而减小;
当x<0时,y随x的增大而增大.
知识点2 y=a(x-h)2的图象和性质
6.将抛物线y=-3x2平移得到抛物线y=-3(x+2)2,则这个平移过程正确的是(C)
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
7.对于二次函数y=-(x-1)2的图象的特征,下列描述正确的是(D)
A.开口向上 B.经过原点
C.对称轴是y轴 D.顶点在x轴上
8.若点A(-2,y1),B(1,y2),C(-4,y3)在抛物线y=2(x+1)2上,请将y1,y2,y3按从小到大的顺序用“<”连接: y19.已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x-1)2.
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图象;
(4)分别说出各个函数y值随x变化的规律.
【解析】(1)如图所示:
(2)y=4x2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),y=4(x+1)2开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0),y=4(x-1)2开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0);
(3)y=4(x+1)2由抛物线y=4x2向左平移1个单位得到,y=4(x-1)2由抛物线y=4x2向右平移1个单位得到;
(4)y=4x2:当x<0时y随着x的增大而减小,当x>0时y随着x的增大而增大;
y=4(x+1)2:当x<-1时y随着x的增大而减小,当x>-1时y随着x的增大而增大;
y=4(x-1)2:当x<1时y随着x的增大而减小,当x>1时y随着x的增大而增大.
【B层 能力进阶】
10.(2024·广州期中)若点(x1,y1),(x2,y2)在二次函数y=-x2+5的图象上,且0A.5C.y211.(2023·广东中考)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
12.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(B)
13.已知抛物线y=a(x-h)2的形状与抛物线y=-2x2的形状相同,且顶点坐标为(-2,0),则a+h= 0或-4 .
14.如图,两条抛物线y1=-x2+1与y2=-x2-1分别经过点(-2,-1),(2,-3),且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 8 .
15.已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的表达式.
【解析】(1)设一次函数表达式为y=kx+b,
把A(4,0),B(0,4)分别代入表达式得
,解得,所以y=-x+4;
(2)设M点的坐标为(m,n),
∵S△AMP=3,∴×(4-1)n=3,解得n=2,
把M(m,2)代入y=-x+4,即2=-m+4,得m=2,∴M(2,2),∵抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),可得y=a(x-1)2,把M(2,2)代入y=a(x-1)2,得2=a(2-1)2,解得a=2.
∴函数表达式为y=2(x-1)2.
【C层 创新挑战(选做)】
16.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)经过点P(3,0),Q(1,4).
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点A在直线PQ上,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC.
①当Q与A重合时,求C到抛物线对称轴的距离;
②若C在抛物线上,求C的坐标.
【解析】(1)将P(3,0),Q(1,4)代入y=ax2+c得:,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+;
(2)①过C作CH⊥AB于H,交y轴于G,如图:
当A与Q(1,4)重合时,AB=4,GH=1,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形,
∴CH=AH=BH=AB=2,
∴CG=CH-GH=1,而抛物线y=-x2+的对称轴是y轴(x=0),∴C到抛物线对称轴的距离是1;
②过C作CH⊥AB于H,如图:
设直线PQ的表达式为y=kx+b,将P(3,0),Q(1,4)代入得:,解得,
∴直线PQ的表达式为y=-2x+6,
设A(m,-2m+6),则AB=-2m+6,
∴CH=AH=BH=AB=-m+3,
∴yC=-m+3,xC=-(-m+3-m)=2m-3,
将C(2m-3,-m+3)代入y=-x2+得:
-m+3=-(2m-3)2+,
解得m=或m=3(与P重合,舍去),
∴m=,2m-3=-2,-m+3=,∴C.
