二十 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.(2024·临沂兰山区期中)二次函数y=-5(x+2)2-6的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为(B)
A.向下、直线x=2、(2,6)
B.向下、直线x=-2、(-2,-6)
C.向下、直线x=-2、(-2,6)
D.向上、直线x=2、(2,-6)
2.二次函数y=(x+1)2-2的图象大致是(C)
3.抛物线y=2(x-2)2-5的顶点坐标是(D)
A.(-2,5) B.(2,5)
C.(-2,-5) D.(2,-5)
4.已知二次函数y=a(x+1)2+c(a≠0)的图象上有两点A(2,4),B(m,4),那么m的值等于
-4 .
知识点2 抛物线的平移
5.(2024·淄博桓台期末)将抛物线y=-(x-1)2+2先向上平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度,则平移后所得抛物线表达式为(B)
A.y=-(x-2)2+4
B.y=-x2+4
C.y=-x2
D.y=-(x+1)2+4
6.(2024·济南钢城区期中)在平面直角坐标系中,把抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式是 y=-(x+3)2+3 .
7.将抛物线y=(x-1)2-5关于y轴对称,再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是
(2,-5) .
8.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)二次函数y=(x+1)2-1的图象的顶点坐标为(-1,-1),把点(-1,-1)先向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到点的坐标为(1,-5),所以原二次函数的表达式为y=(x-1)2-5,所以a=,h=1,k=-5.
(2)二次函数y=a(x-h)2+k,即y=(x-1)2-5的开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-5).
【B层 能力进阶】
9.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是(B)
10.(2023·南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(D)
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
11.抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-9,则下列结论中,正确的序号为(B)
①当x=2时,y取得最小值-9;②若点(3,y1),(4,y2)在其图象上,则y2>y1;③将其函数图象向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x-5)2-5;④函数图象与x轴有两个交点,且两交点的距离为6.
A.②③④ B.①②④
C.①③ D.①②③④
12.如图,二次函数y=(x-1)2-1的图象(0≤x≤3),y的取值范围是 -1≤y≤3 .
13.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的关系式是 y=4(x+2)2+1 .
14.已知开口向上的抛物线的表达式为y=a(x-1)2-2,回答下列问题:
(1)该抛物线的顶点坐标为________.
(2)若该抛物线过(2,0),求a的值.
(3)如图,点A,B的坐标分别为(3,1),(5,1),若该抛物线与线段AB有公共点,求a的取值范围.
【解析】(1)∵y=a(x-1)2-2,
∴二次函数的顶点坐标为(1,-2).
答案:(1,-2)
(2)∵抛物线过(2,0),∴将点(2,0)代入抛物线的方程中,得a(2-1)2-2=0,解得a=2.
(3)将(3,1)代入y=a(x-1)2-2中,得a(3-1)2-2=1,解得a=,
将(5,1)代入y=a(x-1)2-2中,得a(5-1)2-2=1,解得a=,
∵抛物线与线段AB有公共点,∴≤a≤.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(2022·东营河口区质检)已知抛物线C1:y=(x+2)2-1,抛物线C1的顶点为A,与y轴的交点为B.
(1)点A的坐标是______,点B的坐标是______;
(2)在平面直角坐标系中画出C1的图象(不必列表);
(3)将抛物线C1向下平移3个单位,向右平移2个单位后得到抛物线C2,画出平移后的抛物线C2的图象并写出抛物线C2的表达式.
【解析】(1)∵抛物线C1:y=(x+2)2-1,
∴顶点A的坐标为(-2,-1),
令x=0,则y=3,∴与y轴的交点B为(0,3).
答案:(-2,-1) (0,3)
(2)画出C1的图象如图:
(3)如上图,∵B(0,3),A(-2,-1),
∵抛物线C1向下平移3个单位,向右平移2个单位得到C2,∴平移后的顶点D的坐标为(0,-4),
∴抛物线C2的表达式为y=x2-4.二十 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.(2024·临沂兰山区期中)二次函数y=-5(x+2)2-6的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )
A.向下、直线x=2、(2,6)
B.向下、直线x=-2、(-2,-6)
C.向下、直线x=-2、(-2,6)
D.向上、直线x=2、(2,-6)
2.二次函数y=(x+1)2-2的图象大致是( )
3.抛物线y=2(x-2)2-5的顶点坐标是( )
A.(-2,5) B.(2,5)
C.(-2,-5) D.(2,-5)
4.已知二次函数y=a(x+1)2+c(a≠0)的图象上有两点A(2,4),B(m,4),那么m的值等于
.
知识点2 抛物线的平移
5.(2024·淄博桓台期末)将抛物线y=-(x-1)2+2先向上平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度,则平移后所得抛物线表达式为( )
A.y=-(x-2)2+4
B.y=-x2+4
C.y=-x2
D.y=-(x+1)2+4
6.(2024·济南钢城区期中)在平面直角坐标系中,把抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式是 .
7.将抛物线y=(x-1)2-5关于y轴对称,再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是
.
8.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【B层 能力进阶】
9.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是( )
10.(2023·南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( )
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
11.抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-9,则下列结论中,正确的序号为( )
①当x=2时,y取得最小值-9;②若点(3,y1),(4,y2)在其图象上,则y2>y1;③将其函数图象向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x-5)2-5;④函数图象与x轴有两个交点,且两交点的距离为6.
A.②③④ B.①②④
C.①③ D.①②③④
12.如图,二次函数y=(x-1)2-1的图象(0≤x≤3),y的取值范围是 .
13.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的关系式是 .
14.已知开口向上的抛物线的表达式为y=a(x-1)2-2,回答下列问题:
(1)该抛物线的顶点坐标为________.
(2)若该抛物线过(2,0),求a的值.
(3)如图,点A,B的坐标分别为(3,1),(5,1),若该抛物线与线段AB有公共点,求a的取值范围.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(2022·东营河口区质检)已知抛物线C1:y=(x+2)2-1,抛物线C1的顶点为A,与y轴的交点为B.
(1)点A的坐标是______,点B的坐标是______;
(2)在平面直角坐标系中画出C1的图象(不必列表);
(3)将抛物线C1向下平移3个单位,向右平移2个单位后得到抛物线C2,画出平移后的抛物线C2的图象并写出抛物线C2的表达式.
