二十一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.关于抛物线y=x2-2x-1,下列说法中错误的是(C)
A.开口方向向上
B.对称轴是直线x=1
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(1,-2)
2.(2023·烟台招远市期中)若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-2,y1),B(2,y2),C(6,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(A)
A.y1>y3>y2 B.y1>y2>y3
C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
3.(2024·临沂平邑县期中)二次函数y=-x2+4x-7的图象的顶点坐标是 (2,-3) .
4.将抛物线y=x2-2x+3向左平移2个单位长度,所得抛物线为 y=x2+2x+3 .
5.(2023·烟台期末)已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,0),(3,0).
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)自变量x在什么范围内时,y随x的增大而减小
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,0),(3,0).
∴抛物线的对称轴为直线x==1;
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,且a>0,开口向上,
∴x<1时,y随x的增大而减小.
6.如图,已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2)求直线AM的表达式.
【解析】(1)∵抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0),∴2×22+2m=0,∴m=-4,
∴y=2x2-4x=2(x-1)2-2,
∴顶点M的坐标为(1,-2);
(2)设直线AM的表达式为y=kx+b(k≠0),
∵图象过点A(2,0),点M(1,-2),
∴,解得,
∴直线AM的表达式为y=2x-4.
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系
7.(2022·株洲中考)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为(C)
8.(2023·株洲中考)如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是(C)
A.b恒大于0 B.a,b同号
C.a,b异号 D.以上说法都不对
9.(2023·河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知反比例函数y=(b≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)
11.(2023·乐山中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(m,0),且1
①b<0;②a+b>0;③0y2.
其中,正确的结论有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
12.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1(m为常数).
(1)当抛物线的顶点在第二象限时,求m的取值范围.
(2)当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且当x=1时y有最小值,求整数m的值.
【解析】(1)∵y=-x2+2mx-m2+3m+1=-(x-m)2+3m+1,
∴抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1的顶点为(m,3m+1),
∵抛物线的顶点在第二象限,
∴,解得-(2)∵当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且抛物线对称轴x=m,
∴-2当x=-2时,y=-m2-m-3,
当x=1时,y=-m2+5m,
∵当x=1时y有最小值,
∴-m2+5m≤-m2-m-3,解得m≤-,
∴-2∵m为整数,∴m=-1.
【B层 能力进阶】
13.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位长度,以下错误的是(D)
A.开口方向不变
B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变
D.与y轴的交点不变
14.(2022·宁波中考)点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1A.m>2 B.m>
C.m<1 D.15.(2023·凉山州中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是(C)
A.abc<0
B.4a-2b+c<0
C.3a+c=0
D.am2+bm+a≤0(m为实数)
16.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是 -417.已知二次函数y=4x2-mx+5,当x≤-2时,y随x的增大而减小;当x≥-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为 25 .
18.(2022·长春中考)已知二次函数y=-x2-2x+3,当a≤x≤时,函数值y的最小值为1,则a的值为 -1- .
19.(2024·烟台招远期中)用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 …
则根据表格上的信息,当x=5时,y= -6.5 .
20.(2023·烟台蓬莱区期中)已知二次函数y=-x2+x-.
(1)求顶点坐标和对称轴,并画出函数图象.
(2)当-1≤x<4时,方程-x2+x--t=0有解,请根据图象直接写出t的取值范围.
【解析】(1)∵y=-x2+x-=-(x2-2x)-=-(x2-2x+1-1)-=-(x-1)2-2,
∴二次函数图象的顶点坐标为(1,-2),对称轴为直线x=1,
图象为:
(2)当x=-1时,y=-(x-1)2-2=-4,
当x=4时,y=-(x-1)2-2=-6.5,
而x=1时,y有最大值-2,
∴当-1≤x<4时,-6.5∴方程-x2+x--t=0有解可以转化为抛物线y=-x2+x-与直线y=t有交点,
∴t的取值范围为-6.521.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其表达式;
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3,
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=或a=-1,
∴抛物线的表达式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1;
(3)∵抛物线的对称轴为x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2),
∴当a>0,-1当a<0,m<-1或m>3时,y1【C层 创新挑战(选做)】
22.已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2-2x+3,定义盟友函数y=y2-y1.
(1)若k=2,则盟友函数y=________ ;
(2)若盟友函数y的表达式为y=x2+bx-2,则k=________,b=________;
(3)若该盟友函数y的顶点在直线y=x上,求k.
【解析】(1)当k=2时,y1=2kx+k=4x+2,
∵函数y2=x2-2x+3,定义盟友函数y=y2-y1,
∴y=x2-2x+3-4x-2=x2-6x+1.
答案:x2-6x+1
(2)函数y1=2kx+k与函数y2=x2-2x+3,定义盟友函数y=y2-y1,
∴盟友函数y的表达式为y=x2-2x+3-2kx-k=x2-2(k+1)x+3-k,
∵盟友函数y的表达式为y=x2+bx-2,
∴b=-2(k+1),3-k=-2,
∴k=5,b=-12.
答案:5 -12
(3)由(2)知,盟友函数y=x2-2(k+1)x+3-k=(x-k-1)2-k2-3k+2,
∴盟友函数的顶点为(k+1,-k2-3k+2),
∵盟友函数y的顶点在直线y=x上,
∴k+1=-k2-3k+2,
整理得:k2+4k=1,解得k=-2±.二十一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.关于抛物线y=x2-2x-1,下列说法中错误的是( )
A.开口方向向上
B.对称轴是直线x=1
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(1,-2)
2.(2023·烟台招远市期中)若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-2,y1),B(2,y2),C(6,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y3>y2 B.y1>y2>y3
C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
3.(2024·临沂平邑县期中)二次函数y=-x2+4x-7的图象的顶点坐标是 .
4.将抛物线y=x2-2x+3向左平移2个单位长度,所得抛物线为 .
5.(2023·烟台期末)已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,0),(3,0).
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)自变量x在什么范围内时,y随x的增大而减小
6.如图,已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2)求直线AM的表达式.
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系
7.(2022·株洲中考)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
8.(2023·株洲中考)如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是( )
A.b恒大于0 B.a,b同号
C.a,b异号 D.以上说法都不对
9.(2023·河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知反比例函数y=(b≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
11.(2023·乐山中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(m,0),且1①b<0;②a+b>0;③0y2.
其中,正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
12.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1(m为常数).
(1)当抛物线的顶点在第二象限时,求m的取值范围.
(2)当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且当x=1时y有最小值,求整数m的值.
【B层 能力进阶】
13.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位长度,以下错误的是( )
A.开口方向不变
B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变
D.与y轴的交点不变
14.(2022·宁波中考)点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1A.m>2 B.m>
C.m<1 D.15.(2023·凉山州中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.abc<0
B.4a-2b+c<0
C.3a+c=0
D.am2+bm+a≤0(m为实数)
16.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是 .
17.已知二次函数y=4x2-mx+5,当x≤-2时,y随x的增大而减小;当x≥-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为 .
18.(2022·长春中考)已知二次函数y=-x2-2x+3,当a≤x≤时,函数值y的最小值为1,则a的值为 .
19.(2024·烟台招远期中)用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 …
则根据表格上的信息,当x=5时,y= -6.5 .
20.(2023·烟台蓬莱区期中)已知二次函数y=-x2+x-.
(1)求顶点坐标和对称轴,并画出函数图象.
(2)当-1≤x<4时,方程-x2+x--t=0有解,请根据图象直接写出t的取值范围.
21.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其表达式;
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1【C层 创新挑战(选做)】
22.已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2-2x+3,定义盟友函数y=y2-y1.
(1)若k=2,则盟友函数y=________ ;
(2)若盟友函数y的表达式为y=x2+bx-2,则k=________,b=________;
(3)若该盟友函数y的顶点在直线y=x上,求k.