二十二 确定二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 设一般式求二次函数表达式
1.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,-4)和(4,n)两点,则n的值为(B)
A.-2 B.-4 C.2 D.4
2.已知二次函数y=x2+x+a(a-2)的图象经过原点,则a的值为(C)
A.2 B.0
C.0或2 D.无法确定
3.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(A)
A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5
C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5
4.如图,函数y=-(x-h)2+k的图象,则其解析式为 y=-(x+1)2+5 .
5.已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点A(-1,-3)和点B(2,3).
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)在这条抛物线上,当1【解析】(1)把A,B的坐标代入抛物线的表达式
y=-2x2+bx+c得:,
解得.
所以这条抛物线所对应的函数表达式是y=-2x2+4x+3;
(2)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,
即抛物线的图象的对称轴是直线x=1,抛物线的开口向下,当x>1时,y随x的增大而减小,
∵点M(x1,y1),N(x2,y2)在这条抛物线上,
16.(2024·滨州阳信县期中)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c均为常数)的图象经过两点A(2,0),B(0,-6).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点C(m,0)(m>2)在这个二次函数的图象上,连接AB,BC,求△ABC的面积.
【解析】(1)把(2,0),(0,-6)代入y=-x2+bx+c,得,解得,
∴二次函数的解析式为y=-x2+5x-6;
(2)由(1)得二次函数的解析式为y=-x2+5x-6,
令y=0,即0=-x2+5x-6,
解得x1=2,x2=3,
∵m>2,∴C(3,0),∴AC=1,
∴S△ABC=AC·OB=×1×6=3,
∴△ABC的面积为3.
知识点2 灵活选择设法求二次函数表达式
7.若二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),且过点(0,3),则该二次函数的关系式为(C)
A.y=(x-2)2-1 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1
8.抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同.则这条抛物线表达式为(B)
A.y=-(x+3)2+5 B.y=-(x-3)2-5
C.y=(x+3)2+5 D.y=(x-3)2-5
9.(2024·东营期中)已知二次函数的图象经过(1,-4)点,且顶点坐标为(-1,0),则二次函数的解析式为 y=-x2-2x-1 .
10.已知二次函数的图象经过原点及点(-1,-1),且图象与x轴的另一个交点在原点左侧,到原点的距离为2,那么该二次函数的表达式为 y=x2+2x .
11.(2023·烟台莱阳市期中)根据下列条件,分别求出对应的二次函数表达式:
(1)已知图象的顶点在坐标原点,且图象经过点(-2,8);
(2)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,2),B(0,3);
(3)点A(-1,m),B(3,m)在同一条抛物线上,与y轴交点的纵坐标为9,且经过点(1,8).
【解析】(1)∵抛物线顶点是原点,可设y=ax2,
把点(-2,8)代入y=ax2,得a=2,
∴这个二次函数的表达式为y=2x2;
(2)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,2),B(0,3),
∴,解得,
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x+3;
(3)设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意得,解得,
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x+9.
12.如图,直线AB过点A(2,1),B(1,2),且与抛物线y=ax2+k交于点B,C(-2,n).
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的表达式.
【解析】(1)设直线AB的表达式为y=mx+b,
把A(2,1),B(1,2)代入得,
,解得,
∴直线AB的表达式为y=-x+3,
∵直线AB与抛物线y=ax2+k交于点B,C(-2,n).
∴C(-2,n)在直线AB上,
∴n=2+3=5,∴C点坐标为(-2,5);
(2)直线AB与抛物线y=ax2+k交于点B(1,2),C(-2,5).
∴,解得,
∴抛物线表达式为y=x2+1.
【B层 能力进阶】
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的部分对应值如表:
x … -2 -1 0 1 …
y … -2 -3 -2 1 …
则代数式9a-3b的值为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
14.已知抛物线与二次函数y=-3x2的图象相同,开口方向相同,且顶点坐标为(-1,3),它对应的函数表达式为(D)
A.y=-3(x-1)2+3
B.y=3(x-1)2+3
C.y=3(x+1)2-3
D.y=-3(x+1)2+3
15.如图是一副眼镜的镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线,它们关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm.则右轮廓线DFE的函数表达式为(A)
A.y=(x-3)2
B.y=(x+3)2
C.y=-(x+3)2
D.y=(x-4)2
16.抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,4),B(6,4)两点,且顶点在x轴上,则该抛物线的表达式为 y=x2-x+1 .
17.二次函数的图象如图所示,则其表达式为 y=-x2+2x+3 .
18.(2024·淄博淄川区期末)当自变量x=4时,二次函数有最小值-3,且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1.求:
(1)这个二次函数的表达式;
(2)这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标.
【解析】(1)∵当自变量x=4时,二次函数有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),
∴可设顶点式为y=a(x-4)2-3,
将(1,0)代入,得9a-3=0,解得a=,
∴这个二次函数的表达式为y=(x-4)2-3;
(2)∵y=(x-4)2-3,∴对称轴为直线x=4,
又∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(1,0),
∴抛物线与x轴另一个交点的横坐标为2×4-1=7.
19.(2024·临沂临沭县期中)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当-1≤x≤3时,求y的取值范围;
(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.
【解析】(1)①∵b=4,c=3,
∴y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
∴顶点坐标为(2,7).
②∵-1≤x≤3时含有顶点(2,7),
∴当x=2时,y有最大值7,
∵2-(-1)>3-2,
∴当x=-1时,y有最小值,最小值为-2,
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)∵x≤0时,y的最大值为2;x>0时,y的最大值为3,∴抛物线的对称轴x=在y轴的右侧,
∴b>0,
∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2,
又∵=3,∴b=±2,
∵b>0,∴b=2.
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2.
20.(2022·陕西中考)现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
【解析】(1)由题意得抛物线的顶点P(5,9),
∴可以设抛物线的表达式为y=a(x-5)2+9,
把(0,0)代入,可得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-(x-5)2+9;
(2)令y=6,得-(x-5)2+9=6,
解得x1=+5,x2=-+5,
∴A(5-,6),B(5+,6).
【C层 创新挑战(选做)】
21.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx-4的图象经过A(-4,0),C(2,0)两点,与y轴交于点B.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数表达式,并求出S的最大值.
【解析】(1)把A(-4,0),C(2,0)代入y=ax2+bx-4得,
,解得,
∴抛物线的表达式为y=x2+x-4;
(2)如图,过点M作MN⊥AC,垂足为N,
当x=0时, y=-4,∴抛物线y=x2+x-4与y轴的交点B的坐标为(0,-4),即OB=4,
又∵M(m,m2+m-4),∴ON=-m,MN=-m2-m+4,AN=m-(-4)=4+m,
∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB=(4+m)(-m2-m+4)+(-m2-m+4+4) (-m)
-×4×4=-m2-4m=-(m+2)2+4,
∴当m=-2时,S最大,最大值为4,
答:S与m的函数表达式为S=-m2-4m,最大值为4.二十二 确定二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 设一般式求二次函数表达式
1.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,-4)和(4,n)两点,则n的值为( )
A.-2 B.-4 C.2 D.4
2.已知二次函数y=x2+x+a(a-2)的图象经过原点,则a的值为( )
A.2 B.0
C.0或2 D.无法确定
3.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( )
A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5
C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5
4.如图,函数y=-(x-h)2+k的图象,则其解析式为 .
5.已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点A(-1,-3)和点B(2,3).
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)在这条抛物线上,当16.(2024·滨州阳信县期中)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c均为常数)的图象经过两点A(2,0),B(0,-6).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点C(m,0)(m>2)在这个二次函数的图象上,连接AB,BC,求△ABC的面积.
知识点2 灵活选择设法求二次函数表达式
7.若二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),且过点(0,3),则该二次函数的关系式为( )
A.y=(x-2)2-1 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1
8.抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同.则这条抛物线表达式为( )
A.y=-(x+3)2+5 B.y=-(x-3)2-5
C.y=(x+3)2+5 D.y=(x-3)2-5
9.(2024·东营期中)已知二次函数的图象经过(1,-4)点,且顶点坐标为(-1,0),则二次函数的解析式为 .
10.已知二次函数的图象经过原点及点(-1,-1),且图象与x轴的另一个交点在原点左侧,到原点的距离为2,那么该二次函数的表达式为 .
11.(2023·烟台莱阳市期中)根据下列条件,分别求出对应的二次函数表达式:
(1)已知图象的顶点在坐标原点,且图象经过点(-2,8);
(2)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,2),B(0,3);
(3)点A(-1,m),B(3,m)在同一条抛物线上,与y轴交点的纵坐标为9,且经过点(1,8).
12.如图,直线AB过点A(2,1),B(1,2),且与抛物线y=ax2+k交于点B,C(-2,n).
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的表达式.
【B层 能力进阶】
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的部分对应值如表:
x … -2 -1 0 1 …
y … -2 -3 -2 1 …
则代数式9a-3b的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
14.已知抛物线与二次函数y=-3x2的图象相同,开口方向相同,且顶点坐标为(-1,3),它对应的函数表达式为( )
A.y=-3(x-1)2+3
B.y=3(x-1)2+3
C.y=3(x+1)2-3
D.y=-3(x+1)2+3
15.如图是一副眼镜的镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线,它们关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm.则右轮廓线DFE的函数表达式为( )
A.y=(x-3)2
B.y=(x+3)2
C.y=-(x+3)2
D.y=(x-4)2
16.抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,4),B(6,4)两点,且顶点在x轴上,则该抛物线的表达式为 .
17.二次函数的图象如图所示,则其表达式为 .
18.(2024·淄博淄川区期末)当自变量x=4时,二次函数有最小值-3,且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1.求:
(1)这个二次函数的表达式;
(2)这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标.
19.(2024·临沂临沭县期中)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当-1≤x≤3时,求y的取值范围;
(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.
20.(2022·陕西中考)现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
【C层 创新挑战(选做)】
21.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx-4的图象经过A(-4,0),C(2,0)两点,与y轴交于点B.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数表达式,并求出S的最大值.
