二十三 二次函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点 几何图形中面积的最值问题
1.已知一个直角三角形的两条直角边之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是( )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.75 cm2 D.不确定
2.用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,那么这个窗框的最大透光面积为( )
A. m2 B. m2 C.2 m2 D.4 m2
3.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动.则三角形APQ的最大面积是( )
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2
4.(2023·烟台招远市期中)用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框,设窗框的宽为x米,窗框的面积为y平方米,y关于x的函数图象如图2,则a的值是( )
A.16 B.12 C.8 D.4
5.在周长为13 cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形(这个等边三角形的一边是矩形的宽),则矩形宽为 时,剩下的面积最大.
6.如图,为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(矩形ABCD,AB=10 m,BC=20 m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)铺设草坪,并要求AE=AH=CF=CG,当四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大时,AE= .
7.(2023·东营垦利区期中)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长18 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图).若设绿化带的AB边长为x m,绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大
【B层 能力进阶】
8.如图,已知:正方形ABCD的边长为1,E,F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设AE的长为x(x>0),四边形EFGH的面积为y,则y关于x的函数图象大致是( )
9.(2023·东营利津县一模)如图,在等边△ABC中,AB=2,点D从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B运动,过点D作AB的垂线,垂足为点E.设点D的运动时间为x秒,△ADE的面积为y(当A,D,E三点共线时,不妨设y=0),则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是( )
10.如图,要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛,分别在边OA和OB上取点P和点Q,并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为8米,则当OP= 米时,该花坛△POQ的面积最大.
11.(2022·临沂期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 mm,BC=16 mm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过 s,四边形APQC的面积最小.
12.如图,院子里有块直角三角形空地ABC,∠C=90°,直角边AC=3 m,BC=4 m,现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池,当矩形DEFG面积最大时,EF的长为
.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(2023·潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是多少 二十三 二次函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点 几何图形中面积的最值问题
1.已知一个直角三角形的两条直角边之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是(B)
A.25 cm2 B.50 cm2 C.75 cm2 D.不确定
2.用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,那么这个窗框的最大透光面积为(B)
A. m2 B. m2 C.2 m2 D.4 m2
3.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动.则三角形APQ的最大面积是(B)
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2
4.(2023·烟台招远市期中)用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框,设窗框的宽为x米,窗框的面积为y平方米,y关于x的函数图象如图2,则a的值是(B)
A.16 B.12 C.8 D.4
5.在周长为13 cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形(这个等边三角形的一边是矩形的宽),则矩形宽为 (4-) cm 时,剩下的面积最大.
6.如图,为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(矩形ABCD,AB=10 m,BC=20 m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)铺设草坪,并要求AE=AH=CF=CG,当四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大时,AE= 7.5 m .
7.(2023·东营垦利区期中)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长18 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图).若设绿化带的AB边长为x m,绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大
【解析】(1)由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x,∵0<40-2x≤18,
∴11≤x<20,
∴y与x之间的函数关系式是y=-2x2+40x,自变量x的取值范围是11≤x<20;
(2)y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,
∵-2<0,11≤x<20,
∴当x=11时,y有最大值,最大值为198,
即当x=11时,满足条件的绿化带面积最大.
【B层 能力进阶】
8.如图,已知:正方形ABCD的边长为1,E,F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设AE的长为x(x>0),四边形EFGH的面积为y,则y关于x的函数图象大致是(B)
9.(2023·东营利津县一模)如图,在等边△ABC中,AB=2,点D从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B运动,过点D作AB的垂线,垂足为点E.设点D的运动时间为x秒,△ADE的面积为y(当A,D,E三点共线时,不妨设y=0),则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是(C)
10.如图,要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛,分别在边OA和OB上取点P和点Q,并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为8米,则当OP= 4 米时,该花坛△POQ的面积最大.
11.(2022·临沂期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 mm,BC=16 mm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过 4 s,四边形APQC的面积最小.
12.如图,院子里有块直角三角形空地ABC,∠C=90°,直角边AC=3 m,BC=4 m,现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池,当矩形DEFG面积最大时,EF的长为
m .
【C层 创新挑战（选做）】
13.(2023·潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是多少
【解析】连接CF与MH,GN分别交于点Q,P,如图,
∵AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,
∴CF∥AB,
∴∠AFC=∠BCF=90°,
∴四边形ABCF是矩形,
∵四边形MNGH是矩形,
∴∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG,
∴∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1米,
∵∠BCG=∠AFH=135°,
∴∠HFQ=∠GCP=45°,
∴FQ=HQ,CP=GP,
∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1,
同理得:CP=MH-1,
∴AM=NB=MH-1,
∴MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH,
∴S矩形MNGH=MN·MH
=(5-2MH)·MH
=5MH-2MH2
=-2(MH2-MH)
=-2(MH-)2+,
∴当MH=米时,铁皮的面积最大,最大值为平方米.
