二十四 二次函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 最大利润问题
1.某商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是( )
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
2.下面的三个问题中都有两个变量:
①一根长为l的铁丝刚好围成一个矩形,矩形的面积y与矩形的一条边长x;
②赵老师爬香山所花的时间y和平均速度x;
③中秋节后,某超市月饼卖不出去,决定促销,月饼原价为30元/kg,成本价为10元/kg,单价每降价1元,可以多卖出10kg,月饼利润y与降价x;
其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A.① B.①③
C.②③ D.①②③
3.某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y=-(x-50)2+2 650,则当x= 元时,y有最 值,这个值为 元.
4.某体育商店试销一款成本为50元的足球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于50%.经试销发现,每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数y=-x+120,那么可求出该商店试销中一天可获得的最大利润为 .
5.(2024·泰安新泰期中)某商厦将进货单价为70元的某种商品,按销售单价100元出售时,每天能卖出20个,通过市场调查发现,这种商品的销售单价每降价1元,日销量就增加1个,为了获取最大利润,该种商品的销售单价应降 元.
6.(2022·聊城中考)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元(利润=总销售额-总成本).
7.(2023·锦州中考)端午节前夕,某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子,销售过程中发现:日销量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)每袋粽子的售价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大日销售利润是多少元
【B层 能力进阶】
8.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为( )
A.18元 B.20元 C.22元 D.24元
9.(2024·济宁金乡县质检)某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千克,经调查,售价每降0.1元,每天多卖40千克,另外,每天的其他固定成本为24元.当定价为 元时,每天能获得最大利润.
10.(2023·本溪中考)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如下表所示:
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
【C层 创新挑战（选做）】
11.(2023·泰州中考)某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定:一次性销售1 000千克以内时,以50元/千克的价格销售;一次性销售不低于1 000千克时,每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响,一次性销售不低于1 750千克时,均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关系如图所示.
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元
(2)求一次性销售量在1 000~1 750千克时的最大利润;
(3)当一次性销售多少千克时利润为22 100元 二十四 二次函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 最大利润问题
1.某商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是(A)
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
2.下面的三个问题中都有两个变量:
①一根长为l的铁丝刚好围成一个矩形,矩形的面积y与矩形的一条边长x;
②赵老师爬香山所花的时间y和平均速度x;
③中秋节后,某超市月饼卖不出去,决定促销,月饼原价为30元/kg,成本价为10元/kg,单价每降价1元,可以多卖出10kg,月饼利润y与降价x;
其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(A)
A.① B.①③
C.②③ D.①②③
3.某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y=-(x-50)2+2 650,则当x= 50 元时,y有最 大 值,这个值为 2 650 元.
4.某体育商店试销一款成本为50元的足球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于50%.经试销发现,每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数y=-x+120,那么可求出该商店试销中一天可获得的最大利润为 1 125元 .
5.(2024·泰安新泰期中)某商厦将进货单价为70元的某种商品,按销售单价100元出售时,每天能卖出20个,通过市场调查发现,这种商品的销售单价每降价1元,日销量就增加1个,为了获取最大利润,该种商品的销售单价应降 5 元.
6.(2022·聊城中考)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元(利润=总销售额-总成本).
7.(2023·锦州中考)端午节前夕,某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子,销售过程中发现:日销量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)每袋粽子的售价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大日销售利润是多少元
【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
把x=10,y=280和x=14,y=120分别代入关系式,
得,解得,
∴y与x的函数关系式为y=-40x+680;
(2)设这种粽子日销售利润为w元,
则w=(x-8)(-40x+680)
=-40x2+1 000x-5 440
=-40(x-)2+810,
∵-40<0,抛物线开口向下,
∴x=12.5时,w有最大值,最大值为810,
答:当粽子的售价定为12.5元/袋时,日销售利润最大,最大日销售利润是810元.
【B层 能力进阶】
8.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为(D)
A.18元 B.20元 C.22元 D.24元
9.(2024·济宁金乡县质检)某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千克,经调查,售价每降0.1元,每天多卖40千克,另外,每天的其他固定成本为24元.当定价为 2.75 元时,每天能获得最大利润.
10.(2023·本溪中考)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如下表所示:
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
【解析】(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系式y=kx+b,
把(50,90)和(60,80)代入得,
解得,
∴y=-x+140(40≤x≤80);
(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元,
根据题意得,w=(x-40)y=(x-40)(-x+140)=-x2+180x-5 600=-(x-90)2+2 500,
∵-1<0,抛物线开口向下,且对称轴是x=90,
∴当40≤x≤80时,w随x的增大而增大,
∴x=80时,w取得最大值,此时w=-(80-90)2+2 500=2 400(元),
即当护眼灯销售单价定为80元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大,最大月利润为2 400元.
【C层 创新挑战（选做）】
11.(2023·泰州中考)某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定:一次性销售1 000千克以内时,以50元/千克的价格销售;一次性销售不低于1 000千克时,每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响,一次性销售不低于1 750千克时,均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关系如图所示.
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元
(2)求一次性销售量在1 000~1 750千克时的最大利润;
(3)当一次性销售多少千克时利润为22 100元
【解析】(1)根据题意,当x=800时,y=800×(50-30)=800×20=16 000,
∴当一次性销售800千克时利润为16 000元;
(2)设一次性销售量在1 000~1 750千克时,每千克的销售利润为50-30-0.01(x-
1 000)=-0.01x+30,
∴y=x(-0.01x+30)=-0.01x2+30x
=-0.01(x2-3 000x)
=-0.01(x-1 500)2+22 500,
∵-0.01<0,1 000≤x≤1 750,
∴当x=1 500时,y有最大值,最大值为22 500,
∴一次性销售量在1 000~1 750千克时的最大利润为22 500元;
(3)①当一次性销售量在1 000~1 750千克时,利润为22 100元,
∴-0.01(x-1 500)2+22 500=22 100,
解得x1=1 700,x2=1 300;
②当一次性销售不低于1 750千克时,均以某一固定价格销售,
设此时函数解析式为y=kx,
由(2)知,当x=1 750时,y=-0.01(1 750-1 500)2+22 500=21 875,
∴B(1 750,21 875),
把B的坐标代入解析式得:21 875=1 750k,
解得k=12.5,
∴当一次性销售不低于1 750千克时函数解析式为y=12.5x,
当y=22 100时,则22 100=12.5x,
解得x=1 768,
综上所述,当一次性销售1 300或1 700或1 768千克时利润为22 100元.
