二十五 二次函数的应用(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 抛物线形建筑问题
1.(2024·威海期中)如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01(x-20)2+4,桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面,且AC⊥x轴,若OA=5米,则桥面离水面的高度AC为(C)
A.5米 B.4米
C.2.25米 D.1.25米
2.如图1是一只葡萄酒杯,酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成的,且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线,若AB=4,CD=3,以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系,则抛物线的解析式为(A)
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-x2 D.y=-x2
3.(2024·德州禹城期中)如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线形拱桥,按如图所示建立坐标系,得到函数y=-x2,在正常水位时水面宽AB=30米,当水位上升5米时,则水面宽CD=(A)
A.20米 B.15米 C.10米 D.8米
4.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为 0.2 米.
知识点2 抛物线形运动轨迹问题
5.(2023·青岛市北区期中)在足球比赛中,某守门员表现突出,他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系,用图象描述大致是(A)
6.(教材再开发·P102例3改编)自动喷灌系统有很多优点,可根据系统建设面积的具体情况选择不同的灌溉方式,最大限度地利用灌溉水;还可以利用无线网络技术,真正实现了农田灌溉的远程监控,降低了劳动强度.如图,一个自动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时,达到最大高度1.8米,水流喷射的最远水平距离OC是(A)
A.20米 B.19米
C.21米 D.8米
7.如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为(C)
A.h=-t2 B.h=-t2+t
C.h=-t2+t+1 D.h=-t2+2t+1
【B层 能力进阶】
8.中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点M到口径面AB的距离是100米,若按如图建立平面直角坐标系,则抛物线的函数关系式是(A)
A.y=x2-100 B.y=-x2-100
C.y=x2 D.y=-x2
9.(2023·烟台牟平区期末)物理课上我们学习了竖直上抛运动,若从地面竖直向上抛一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球抛出3 s后,速度越来越快;
③小球抛出3 s时速度为0;
④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.
其中正确的是(D)
A.①②③ B.①② C.②③④ D.②③
10.一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m,该运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手时,他跳离地面的高度是(A)
A.0.1 m B.0.2 m C.0.3 m D.0.4 m
11.(2024·德州德城区期中)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高8 m时,水柱落点距O点为 4 m.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(2023·威海文登区期中)某公园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷出的水柱为抛物线,且各方向喷出的水柱恰好落在水池内,过喷水管口所在铅垂线OA每一个截面均可得到两条关于OA对称的抛物线,如图,以喷水池中心O为原点,喷水管口所在铅垂线为纵轴,建立平面直角坐标系.
(1)若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高,且此时高度为5米,求水柱所在抛物线的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
【解析】(1)设水柱所在抛物线的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0),
将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0,
解得a=-,∴水柱所在抛物线的函数表达式为y=-(x-3)2+5(0≤x≤8);
(2)当y=1.8时,有-(x-3)2+5=1.8,
解得x1=-1,x2=7,
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.二十五 二次函数的应用(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 抛物线形建筑问题
1.(2024·威海期中)如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01(x-20)2+4,桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面,且AC⊥x轴,若OA=5米,则桥面离水面的高度AC为( )
A.5米 B.4米
C.2.25米 D.1.25米
2.如图1是一只葡萄酒杯,酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成的,且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线,若AB=4,CD=3,以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系,则抛物线的解析式为( )
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-x2 D.y=-x2
3.(2024·德州禹城期中)如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线形拱桥,按如图所示建立坐标系,得到函数y=-x2,在正常水位时水面宽AB=30米,当水位上升5米时,则水面宽CD=( )
A.20米 B.15米 C.10米 D.8米
4.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为 米.
知识点2 抛物线形运动轨迹问题
5.(2023·青岛市北区期中)在足球比赛中,某守门员表现突出,他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系,用图象描述大致是( )
6.(教材再开发·P102例3改编)自动喷灌系统有很多优点,可根据系统建设面积的具体情况选择不同的灌溉方式,最大限度地利用灌溉水;还可以利用无线网络技术,真正实现了农田灌溉的远程监控,降低了劳动强度.如图,一个自动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时,达到最大高度1.8米,水流喷射的最远水平距离OC是( )
A.20米 B.19米
C.21米 D.8米
7.如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为( )
A.h=-t2 B.h=-t2+t
C.h=-t2+t+1 D.h=-t2+2t+1
【B层 能力进阶】
8.中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点M到口径面AB的距离是100米,若按如图建立平面直角坐标系,则抛物线的函数关系式是( )
A.y=x2-100 B.y=-x2-100
C.y=x2 D.y=-x2
9.(2023·烟台牟平区期末)物理课上我们学习了竖直上抛运动,若从地面竖直向上抛一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球抛出3 s后,速度越来越快;
③小球抛出3 s时速度为0;
④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.
其中正确的是( )
A.①②③ B.①② C.②③④ D.②③
10.一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m,该运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手时,他跳离地面的高度是( )
A.0.1 m B.0.2 m C.0.3 m D.0.4 m
11.(2024·德州德城区期中)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高8 m时,水柱落点距O点为 m.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(2023·威海文登区期中)某公园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷出的水柱为抛物线,且各方向喷出的水柱恰好落在水池内,过喷水管口所在铅垂线OA每一个截面均可得到两条关于OA对称的抛物线,如图,以喷水池中心O为原点,喷水管口所在铅垂线为纵轴,建立平面直角坐标系.
(1)若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高,且此时高度为5米,求水柱所在抛物线的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
