二十六 二次函数与一元二次方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.(2024·济宁梁山县期中)下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是(D)
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
2.(2024·泰安岱岳区期中)抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与x轴的一个交点为(-5,0),抛物线与x轴的另一个交点为 (7,0) .
3.若抛物线y=x2+6x-m与x轴有公共点,则m的取值范围为 m≥-9 .
4.二次函数y=-x2+bx+2(b为常数)的图象与x轴相交吗 如果相交,有几个交点
【解析】∵二次函数y=-x2+bx+2,
∴Δ=b2-4×(-1)×2=b2+8>0,
∴二次函数y=-x2+bx+2(b为常数)的图象与x轴相交,有两个交点.
知识点2 二次函数与一元二次方程关系的综合应用
5.已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x<-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是(D)
A.a<2 B.a>-1
C.-1
6.(2022·无锡中考)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: m>3 .
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两交点的坐标是A(-3,0),B(1,0),与y轴的交点C的坐标是(0,-3).
(1)求此二次函数的表达式.
(2)在平面直角坐标系内画出y=ax2+bx+c的大致图象,根据图象指出:当-3【解析】(1)∵二次函数过A(-3,0),B(1,0)两点,∴设二次函数表达式为y=a(x+3)(x-1),
∵二次函数过点C(0,-3),
∴-3=a(0+3)(0-1),
解得a=1,
∴y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3,
即二次函数表达式为y=x2+2x-3;
(2)画出y=ax2+bx+c的大致图象如图:
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴函数有最小值-4,由图象可知,当-3【B层 能力进阶】
8.已知抛物线y=x2-2 022x+1与x轴交于点A(a,0)和B(b,0),则a2-的值为(B)
A.1 B.-1
C.2 022 D.-2 022
9.(2022·天津中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0①2a+b<0;
②当x>1时,y随x的增大而增大;
③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限,则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为(C)
A.0 B.1 C.2 D.1或2
11.(2022·呼和浩特中考)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是
m=3或-112.关于抛物线y=ax2-2x+1(a≠0),给出下列结论:
①当a<0时,抛物线与直线y=2x+2一定没有交点;
②若抛物线与x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间;
③若抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)围成的三角形区域内(包括边界),则a≥1.
其中正确结论的序号是 ②③ .
13.已知抛物线y=x2+2x-m.
(1)若抛物线与x轴只有一个交点,求此时m的值;
(2)若该抛物线的顶点到x轴的距离为2,求m的值.
【解析】(1)令y=0,则x2+2x-m=0,
∵抛物线与x轴只有一个交点,
∴Δ=0,即:22-4×1×(-m)=0.
解得:m=-1.
(2)∵y=x2+2x-m=(x+1)2-1-m,
∴抛物线y=x2+2x-m的顶点为(-1,-1-m).
∵该抛物线的顶点到x轴的距离为2,
∴|-1-m|=2.
解得:m=1或-3.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(2024·烟台芝罘区期中)已知二次函数y=-x2+2x+3.
(1)在如图坐标系中用描点法画出这个二次函数的图象;
(2)观察图象,若点(-2,y1),(1,y2),(2,y3)是这条抛物线上的三个点,请用“<”连接y1,y2,y3________ ;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,求△ABC的面积.
【解析】(1)当x=0时,y=-x2+2x+3=3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3);
当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,则抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0),(3,0);
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4),
如图,
(2)由图象得,y1答案:y1(3)由(1)得C(0,3),点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),
∴△ABC的面积为×(3+1)×3=6.二十六 二次函数与一元二次方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.(2024·济宁梁山县期中)下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是( )
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
2.(2024·泰安岱岳区期中)抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与x轴的一个交点为(-5,0),抛物线与x轴的另一个交点为 .
3.若抛物线y=x2+6x-m与x轴有公共点,则m的取值范围为 .
4.二次函数y=-x2+bx+2(b为常数)的图象与x轴相交吗 如果相交,有几个交点
知识点2 二次函数与一元二次方程关系的综合应用
5.已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x<-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是( )
A.a<2 B.a>-1
C.-16.(2022·无锡中考)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: .
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两交点的坐标是A(-3,0),B(1,0),与y轴的交点C的坐标是(0,-3).
(1)求此二次函数的表达式.
(2)在平面直角坐标系内画出y=ax2+bx+c的大致图象,根据图象指出:当-3【B层 能力进阶】
8.已知抛物线y=x2-2 022x+1与x轴交于点A(a,0)和B(b,0),则a2-的值为( )
A.1 B.-1
C.2 022 D.-2 022
9.(2022·天津中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0①2a+b<0;
②当x>1时,y随x的增大而增大;
③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限,则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
11.(2022·呼和浩特中考)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是
.
12.关于抛物线y=ax2-2x+1(a≠0),给出下列结论:
①当a<0时,抛物线与直线y=2x+2一定没有交点;
②若抛物线与x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间;
③若抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)围成的三角形区域内(包括边界),则a≥1.
其中正确结论的序号是 .
13.已知抛物线y=x2+2x-m.
(1)若抛物线与x轴只有一个交点,求此时m的值;
(2)若该抛物线的顶点到x轴的距离为2,求m的值.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(2024·烟台芝罘区期中)已知二次函数y=-x2+2x+3.
(1)在如图坐标系中用描点法画出这个二次函数的图象;
(2)观察图象,若点(-2,y1),(1,y2),(2,y3)是这条抛物线上的三个点,请用“<”连接y1,y2,y3________ ;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,求△ABC的面积.