二十七 二次函数与一元二次方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用二次函数求一元二次方程的近似根
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -2 3 6 7 6 …
下列说法错误的是(C)
A.图象开口向下
B.方程ax2+bx+c=0的一个正根在4和5之间
C.当-1D.当x>3时,y随x的增大而减小
2.(2024·青岛市南区期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的y与x的部分对应值如表:
x 1.23 1.24 1.25 1.26
y -0.06 -0.08 -0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是(D)
A.1C.1.243.已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示,求一元二次方程x2+x-m=0的解.
【解析】(1)∵一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即1+4m>0,∴m>-;
(2)二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线x=-,
∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=-对称,由题图可知抛物线与x轴的一个交点为(1,0),
∴另一个交点为(-2,0),
∴一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1,x2=-2.
知识点2 二次函数与不等式
4.如图,由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是(A)
A.-6B.x>2
C.x<-6或x>2
D.x<-6
5.(2023·济宁一模)如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围是(C)
A.x≥0 B.0≤x≤1
C.-2≤x≤1 D.x≤1
6.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知,不等式-x2+bx+c<0的解集为 x<-1或x>3 .
7.如图,抛物线y1=x2-x-2与直线y2=x+1交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)根据图象,直接写出不等式x2-x-2【解析】(1)∵抛物线y1=x2-x-2与直线y2=x+1交于A,B两点,
∴,解得:,或,
∴A(-1,0),B(3,4);
(2)由图象可知,当-1【B层 能力进阶】
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是(A)
A.-1C.x>5 D. x<-1或x>5
9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中00;③2a-c>0;④不等式ax2+bx+c>-x+c的解集为0A.4 B.3 C.2 D.1
10.如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是(D)
A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3
C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3
11.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是 -412.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表:
x … -3 -2 0 1 3 5 …
y … 7 0 -8 -9 -5 7 …
①抛物线的顶点坐标为(1,-9);
②与y轴的交点坐标为(0,-8);
③与x轴的交点坐标为(-2,0)和(2,0);
④当x=-1时,对应的函数值y为-5.
以上结论正确的是 ①②④ .(填序号)
【C层 创新挑战（选做）】
13.(2022·泰安东平期末)设二次函数y=ax2+bx-3(a,b是常数,a≠0),部分对应值如表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 0 -3 -4 -3 …
(1)试判断该函数图象的开口方向.
(2)当x=4时,求函数y的值.
(3)根据你的解题经验,直接写出ax2+bx-3<-3的解集.
【解析】(1)∵图象经过(0,-3),(2,-3),
∴图象的对称轴为直线x==1,
由题表格可得,x<1时,y随x的增大而减小,
∴抛物线图象开口向上;
(2)∵(-2,5)关于直线x=1的对称点是(4,5),
∴x=4时,函数y的值为5;
(3)∵抛物线开口向上,且经过点(0,-3),(2,-3),
∴当0故ax2+bx-3<-3的解集为0【A层 基础夯实】
知识点1 利用二次函数求一元二次方程的近似根
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -2 3 6 7 6 …
下列说法错误的是( )
A.图象开口向下
B.方程ax2+bx+c=0的一个正根在4和5之间
C.当-1D.当x>3时,y随x的增大而减小
2.(2024·青岛市南区期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的y与x的部分对应值如表:
x 1.23 1.24 1.25 1.26
y -0.06 -0.08 -0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是( )
A.1C.1.243.已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示,求一元二次方程x2+x-m=0的解.
知识点2 二次函数与不等式
4.如图,由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.-6B.x>2
C.x<-6或x>2
D.x<-6
5.(2023·济宁一模)如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围是( )
A.x≥0 B.0≤x≤1
C.-2≤x≤1 D.x≤1
6.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知,不等式-x2+bx+c<0的解集为 .
7.如图,抛物线y1=x2-x-2与直线y2=x+1交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)根据图象,直接写出不等式x2-x-2【B层 能力进阶】
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.-1C.x>5 D. x<-1或x>5
9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中00;③2a-c>0;④不等式ax2+bx+c>-x+c的解集为0A.4 B.3 C.2 D.1
10.如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是( )
A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3
C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3
11.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是 .
12.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表:
x … -3 -2 0 1 3 5 …
y … 7 0 -8 -9 -5 7 …
①抛物线的顶点坐标为(1,-9);
②与y轴的交点坐标为(0,-8);
③与x轴的交点坐标为(-2,0)和(2,0);
④当x=-1时,对应的函数值y为-5.
以上结论正确的是 .(填序号)
【C层 创新挑战（选做）】
13.(2022·泰安东平期末)设二次函数y=ax2+bx-3(a,b是常数,a≠0),部分对应值如表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 0 -3 -4 -3 …
(1)试判断该函数图象的开口方向.
(2)当x=4时,求函数y的值.
(3)根据你的解题经验,直接写出ax2+bx-3<-3的解集.
