二十八 投影(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心投影的概念及其作图
1.下列投影中属于中心投影的是(D)
A.阳光下跑动的运动员的影子
B.阳光下木杆的影子
C.阳光下汽车的影子
D.路灯下行人的影子
2.如图,在白炽灯下方有一个乒乓球,当乒乓球越接近灯泡时,它在地面上的影子 越大 (填“越小”或“越大”“不变”).
3.某自由下落的物体在灯光下的影子为AB,试确定灯M的位置,并画出站在地面上的小明的影子EF.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图:
知识点2 计算中心投影的物高、影长
4.小华家客厅有一张直径为1.2 m,高为0.8 m的圆桌AB(桌腿忽略不计),有一盏灯E到地面垂直距离EF为2 m,圆桌的影子为CD,FC=2 m,则CD的长为 2 m.
5.如图,电线杆上的路灯距离地面8 m,身高1.6 m的小明(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20 m的A处,则小明的影子AM长为 5 m.
6.(2024·枣庄薛城区期中)如图,在平面直角坐标系中,点P(4,3)是一个光源,CD为木杆AB在x轴上的投影,A(0,1),B(6,1),过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交AB于点N,求CD的长.
【解析】∵A(0,1),B(6,1),
∴AB∥x轴,AB=6,
∵点P(4,3),
∴PM=3,PN=PM-MN=3-1=2,
∵∠PAB=∠PCD,∠PBA=∠PDC,
∴△PAB∽△PCD,
∴=,
即=,
∴CD=9,
即CD的长为9.
【B层 能力进阶】
7.身高为155 cm的小军和身高为165 cm的小明站在同一盏路灯下,则小军与小明在同一路灯下的影长说法正确的是(D)
A.小军的影子长 B.小明的影子长
C.一样长 D.无法确定
8.(2023·烟台莱阳市期末)如图,在平面直角坐标系中,点光源位于P(4,4)处,木杆AB两端的坐标分别为(0,2),(4,2).则木杆AB在x轴上的影长CD为 8 .
9.(2023·东营垦利区期末)如图,小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD,在墙上形成矩形影子A'B'C'D',现测得OA=2 cm,OA'=5 cm,纸片ABCD的面积为8 cm2,则影子A'B'C'D'的面积为 50 cm2.
10.一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯,一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示,则亮着灯的窗口是 3 号窗口.
11.如图,在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯,当人从墙向灯运动时,他在墙上的影子的大小变化情况是 变大 .
12.(2023·烟台期末)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 3 m.
13.如图,在路灯下,甲的身高为图中线段AB所示,影子为AE,乙的身高为图中线段CD所示,路灯灯泡在射线HM上.
(1)请画图确定路灯灯泡P的位置,并画出乙在路灯下的影长CF(不写作法);
(2)若甲、乙两人的身高分别为1.8米和1.6米,且甲在路灯下的影子AE为1米,甲与路灯的距离AH为3米,甲、乙两人之间距离为10米,点E,A,H,C,F在同一条直线上,请求出路灯的高度和乙在路灯下的影长.
【解析】(1)如图:
P即为灯泡的位置,线段CF为乙在路灯下的影长;
(2)根据题意得:AE=1米,AH=3米,AC=10米,BA=1.8米,DC=1.6米,
∵∠BEA=∠PEH,∠BAE=90°=∠PHE,
∴△BEA∽△PEH,
∴=,即=,
解得HP=7.2米,
同理△DFC∽△PFH,
∴=,即=,
解得CF=2米,
答:路灯的高度是7.2米,乙在路灯下的影长是2米.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(2024·青岛市北区期末)通常,路灯、台灯、手电筒等的光可以看成是从一个点发出的,在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影.
【画图操作】如图①,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上,第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示.请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法);
【数学思考】如图②,夜晚,小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间函数关系的图象大致为________;
【解决问题】如图③,河对岸有一灯杆AB,在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3 m,沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4 m.已知小明的身高为1.6 m,求灯杆AB的高度.
【解析】【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示;
【数学思考】等高的物体垂直于地面时,在灯光下,离点光源近的物体影子短,离点光源远的物体影子长,所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长;
答案:D
【解决问题】∵CD∥EF∥AB,
∴△CDF∽△ABF,△ABG∽△EFG,
∴=,=,
又∵CD=EF,
∴=,
∵DF=3 m,FG=4 m,BF=BD+DF=(BD+3)m,
BG=BD+DF+FG=(BD+7)m,
∴=,
∴BD=9 m,BF=9+3=12 m,
∴=,
解得AB=6.4 m;
∴灯杆AB的高度为6.4 m.二十八 投影(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心投影的概念及其作图
1.下列投影中属于中心投影的是( )
A.阳光下跑动的运动员的影子
B.阳光下木杆的影子
C.阳光下汽车的影子
D.路灯下行人的影子
2.如图,在白炽灯下方有一个乒乓球,当乒乓球越接近灯泡时,它在地面上的影子 (填“越小”或“越大”“不变”).
3.某自由下落的物体在灯光下的影子为AB,试确定灯M的位置,并画出站在地面上的小明的影子EF.(保留作图痕迹,不写作法)
知识点2 计算中心投影的物高、影长
4.小华家客厅有一张直径为1.2 m,高为0.8 m的圆桌AB(桌腿忽略不计),有一盏灯E到地面垂直距离EF为2 m,圆桌的影子为CD,FC=2 m,则CD的长为 m.
5.如图,电线杆上的路灯距离地面8 m,身高1.6 m的小明(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20 m的A处,则小明的影子AM长为 m.
6.(2024·枣庄薛城区期中)如图,在平面直角坐标系中,点P(4,3)是一个光源,CD为木杆AB在x轴上的投影,A(0,1),B(6,1),过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交AB于点N,求CD的长.
【B层 能力进阶】
7.身高为155 cm的小军和身高为165 cm的小明站在同一盏路灯下,则小军与小明在同一路灯下的影长说法正确的是( )
A.小军的影子长 B.小明的影子长
C.一样长 D.无法确定
8.(2023·烟台莱阳市期末)如图,在平面直角坐标系中,点光源位于P(4,4)处,木杆AB两端的坐标分别为(0,2),(4,2).则木杆AB在x轴上的影长CD为 .
9.(2023·东营垦利区期末)如图,小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD,在墙上形成矩形影子A'B'C'D',现测得OA=2 cm,OA'=5 cm,纸片ABCD的面积为8 cm2,则影子A'B'C'D'的面积为 cm2.
10.一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯,一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示,则亮着灯的窗口是 号窗口.
11.如图,在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯,当人从墙向灯运动时,他在墙上的影子的大小变化情况是 .
12.(2023·烟台期末)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m.
13.如图,在路灯下,甲的身高为图中线段AB所示,影子为AE,乙的身高为图中线段CD所示,路灯灯泡在射线HM上.
(1)请画图确定路灯灯泡P的位置,并画出乙在路灯下的影长CF(不写作法);
(2)若甲、乙两人的身高分别为1.8米和1.6米,且甲在路灯下的影子AE为1米,甲与路灯的距离AH为3米,甲、乙两人之间距离为10米,点E,A,H,C,F在同一条直线上,请求出路灯的高度和乙在路灯下的影长.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(2024·青岛市北区期末)通常,路灯、台灯、手电筒等的光可以看成是从一个点发出的,在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影.
【画图操作】如图①,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上,第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示.请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法);
【数学思考】如图②,夜晚,小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间函数关系的图象大致为________;
【解决问题】如图③,河对岸有一灯杆AB,在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3 m,沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4 m.已知小明的身高为1.6 m,求灯杆AB的高度.
