三十三 圆的对称性(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的对称性
1.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽图案,其中是轴对称图形的是( )
2.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则的度数是( )
A.120° B.135° C.150° D.165°
知识点2 等弧、等弦、圆心角的关系
3.如图,在☉O中,=,∠AOB=40°,则∠COD的度数为( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
4.下列说法中,正确的是( )
A.长度相等的弧是等弧
B.在同圆或等圆中,等弦对等弧
C.优弧一定比劣弧长
D.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等
5.将一个圆分成四个扇形,面积比为4∶4∶5∶7,则其中最大扇形的圆心角的度数为( )
A.54° B.72° C.90° D.126°
6.如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是( )
A.AB=AD B.BE=CD
C.BE=AD D.AC=BD
7.如图,在☉O中,=,则下列结论中:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,其中正确的有 (填序号).
8.如图,已知AB是☉O的直径,CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N,且AM=BN.求证:=.
【B层 能力进阶】
9.如图,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4,则☉O的周长为( )
A.4π B.6π C.8π D.9π
10.(教材再开发·P9例1拓展)如图,已知在☉O中,BC是直径,AB=DC,则下列结论不一定成立的是( )
A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD
C.= D.O到AB,CD的距离相等
11.如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,若∠AOB是锐角,且∠AOB=2∠BOC,则下列结论正确的个数是( )
①AB=2BC;②=2;③∠ACB=2∠CAB;④∠ACB=∠BOC.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,点A,点B,点C在☉O上,分别连接AB,BC,OC.若AB=BC,∠B=40°,则
∠OCB= .
13.已知☉O的直径是4,☉O上两点B,C分☉O所得的劣弧与优弧之比为1∶3,则弦BC的长为 .
14.如图,点O在∠APB的平分线PN上,以点O为圆心的☉O分别交直线PN于点M,N,那么与相等吗 并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
15.已知锐角∠POQ,如图,在射线OP上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作,交射线OQ于点B,连接AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,交于点E,F,连接OE,EF.
(1)证明:∠EAO=∠BAO;
(2)若OE=EF.求∠POQ的度数.三十三 圆的对称性(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的对称性
1.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽图案,其中是轴对称图形的是(B)
2.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则的度数是(A)
A.120° B.135° C.150° D.165°
知识点2 等弧、等弦、圆心角的关系
3.如图,在☉O中,=,∠AOB=40°,则∠COD的度数为(B)
A.20° B.40° C.50° D.60°
4.下列说法中,正确的是(D)
A.长度相等的弧是等弧
B.在同圆或等圆中,等弦对等弧
C.优弧一定比劣弧长
D.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等
5.将一个圆分成四个扇形,面积比为4∶4∶5∶7,则其中最大扇形的圆心角的度数为(D)
A.54° B.72° C.90° D.126°
6.如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是(D)
A.AB=AD B.BE=CD
C.BE=AD D.AC=BD
7.如图,在☉O中,=,则下列结论中:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,其中正确的有 ①②③④ (填序号).
8.如图,已知AB是☉O的直径,CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N,且AM=BN.求证:=.
【证明】∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠CMO=∠DNO=90°,
∵OA=OB,AM=BN,∴OM=ON,
在Rt△COM和Rt△DON中,
∴Rt△COM≌Rt△DON(HL),
∴∠COM=∠DON,∴=,∴=.
【B层 能力进阶】
9.如图,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4,则☉O的周长为(C)
A.4π B.6π C.8π D.9π
10.(教材再开发·P9例1拓展)如图,已知在☉O中,BC是直径,AB=DC,则下列结论不一定成立的是(A)
A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD
C.= D.O到AB,CD的距离相等
11.如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,若∠AOB是锐角,且∠AOB=2∠BOC,则下列结论正确的个数是(C)
①AB=2BC;②=2;③∠ACB=2∠CAB;④∠ACB=∠BOC.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,点A,点B,点C在☉O上,分别连接AB,BC,OC.若AB=BC,∠B=40°,则
∠OCB= 20° .
13.已知☉O的直径是4,☉O上两点B,C分☉O所得的劣弧与优弧之比为1∶3,则弦BC的长为 2 .
14.如图,点O在∠APB的平分线PN上,以点O为圆心的☉O分别交直线PN于点M,N,那么与相等吗 并说明理由.
【解析】与相等,理由如下:
连接OA,OB,过点O作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F.
∵点O在∠APB的平分线PN上,
∴OE=OF,∵∠OEA=∠OFB=90°,
在Rt△OEA和Rt△OFB中,,
∴Rt△OEA≌Rt△OFB(HL),
∴∠A=∠B,
∵∠AON=∠APO+∠A,∠BON=∠BPN+∠B,∴∠AON=∠BON,
∴∠AOM=∠BOM,∴=.
【C层 创新挑战(选做)】
15.已知锐角∠POQ,如图,在射线OP上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作,交射线OQ于点B,连接AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,交于点E,F,连接OE,EF.
(1)证明:∠EAO=∠BAO;
(2)若OE=EF.求∠POQ的度数.
【解析】(1)连接AE,如图所示:
由题意得:OB=OE=OA,AE=AB,
∴∠EAO=∠AEO,∠BAO=∠ABO,=,
∴∠AOE=∠AOB,∴△EAO≌△BAO,
∴∠EAO=∠BAO.
(2)连接BF,OF,如图所示:
∵OE=OF,OE=EF,∴OE=OF=EF,
∴△OEF为等边三角形,∴∠EOF=60°,
∵AE=BF=AB,
∴==,
∴∠AOE=∠BOF=∠AOB,
∴∠POQ=∠EOF=20°.
