三十四 圆的对称性(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 应用圆心角的度数和所对弧的度数的关系进行证明
1.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上的一动点(不与A,B重合),CD⊥AB于D,
∠OCD的平分线交☉O于P,则当C在☉O上运动时,点P的位置(B)
A.随点C的运动而变化
B.不变
C.在使PA=OA的劣弧上
D.无法确定
2.如图,点A,B,C,D是☉O上的点,AD为直径,AB∥OC.求证:点C平分.
【证明】连接OB(图略),
∵OC∥AB,∴∠DOC=∠OAB,∠COB=∠OBA.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
∴∠DOC=∠COB,∴=,
∴点C平分.
知识点2 应用圆心角的度数和所对弧的度数的关系进行计算
3.如图,在☉O中,∠AOB=100°,则的度数为(C)
A.50° B.80° C.100° D.200°
4.如图,游乐园的大观览车半径为25米,已知观览车绕圆心O顺时针做匀速运动,旋转一周用12分钟,某人从观览车的最低处(A处)乘车,问经过4分钟后,此人距地面AD的高度是(观览车最低处距地面的高度忽略不计)(C)
A.米 B.25米
C.米 D.米
5.如图,AB,CD是☉O的直径,弦CE∥AB,的度数为40°,∠AOC的度数为 70° .
6.如图,点A在半圆O上,BC是直径,=.若AB=2,则BC的长为 2 .
7.如图,在☉O中,AB为直径,延长AB至点P,C是☉O上一点,连接PC并延长交☉O于点D.∶∶=1∶2∶3,☉O的半径为2,求弦CD的长.
【解析】如图,连接OC,
∵AB是☉O的直径,∶∶=1∶2∶3,
∴∠BOC=180°×=30°,
∠COD=180°×=60°,
∠AOD=180°×=90°,又∵OC=OD,
☉O的半径为2,∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=2.
【B层 能力进阶】
8.如图,在☉O中,若=,∠OAB=50°,则∠BOC的度数为(A)
A.40° B.45° C.50° D.60°
9.(2024·聊城期中)如图,AB,CD是☉O的弦,延长AB,CD相交于点E,已知∠E=30°,∠AOC=100°,则所对的圆心角的度数是(B)
A.30° B.40° C.50° D.70°
10.如图,点C是直径AB的三等分点(AC11.如图,AB是☉O的直径,点C,E都在☉O上,OC⊥AB,=2,DE∥AB交OC于点D,延长OC至点F,使FC=OC,连接EF.
(1)求证:CD=OD.
(2)若☉O的直径是4,求EF的长.
【解析】(1)连接OE,CE,如图,
∵OC⊥AB,∴∠AOC=90°,
∵=2,∴∠COE=2∠AOE,
∴∠COE=60°,
而OE=OC,∴△OCE为等边三角形,
∵DE∥AB,OC⊥AB,
∴DE⊥OC,∴CD=OD;
(2)∵☉O的直径是4,
∴OE=OC=CF=2,CD=OD=1,
∴FD=CF+CD=3,
在Rt△ODE中,DE==,
在Rt△EFD中,EF===2.
【C层 创新挑战(选做)】
12.如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,交AB于C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)求证:=;
(2)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由.
【解析】(1)连接OE,OF,
∵AC=BD,OA=OB,∴OC=OD,
∵EG⊥AB,FH⊥AB,
∴在Rt△COE和Rt△DOF中,
∴Rt△COE≌Rt△DOF(HL),
∴∠AOE=∠BOF,∴=;
(2)==成立,理由如下:
∵C,D分别为OA,OB的中点,
∴OC=OE,
∴cos∠AOE==,
∴∠AOE=60°,
同理∠BOF=60°,
∴∠EOF=60°,
∴==.三十四 圆的对称性(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 应用圆心角的度数和所对弧的度数的关系进行证明
1.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上的一动点(不与A,B重合),CD⊥AB于D,
∠OCD的平分线交☉O于P,则当C在☉O上运动时,点P的位置( )
A.随点C的运动而变化
B.不变
C.在使PA=OA的劣弧上
D.无法确定
2.如图,点A,B,C,D是☉O上的点,AD为直径,AB∥OC.求证:点C平分.
知识点2 应用圆心角的度数和所对弧的度数的关系进行计算
3.如图,在☉O中,∠AOB=100°,则的度数为( )
A.50° B.80° C.100° D.200°
4.如图,游乐园的大观览车半径为25米,已知观览车绕圆心O顺时针做匀速运动,旋转一周用12分钟,某人从观览车的最低处(A处)乘车,问经过4分钟后,此人距地面AD的高度是(观览车最低处距地面的高度忽略不计)( )
A.米 B.25米
C.米 D.米
5.如图,AB,CD是☉O的直径,弦CE∥AB,的度数为40°,∠AOC的度数为 .
6.如图,点A在半圆O上,BC是直径,=.若AB=2,则BC的长为 .
7.如图,在☉O中,AB为直径,延长AB至点P,C是☉O上一点,连接PC并延长交☉O于点D.∶∶=1∶2∶3,☉O的半径为2,求弦CD的长.
【B层 能力进阶】
8.如图,在☉O中,若=,∠OAB=50°,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
9.(2024·聊城期中)如图,AB,CD是☉O的弦,延长AB,CD相交于点E,已知∠E=30°,∠AOC=100°,则所对的圆心角的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
10.如图,点C是直径AB的三等分点(AC11.如图,AB是☉O的直径,点C,E都在☉O上,OC⊥AB,=2,DE∥AB交OC于点D,延长OC至点F,使FC=OC,连接EF.
(1)求证:CD=OD.
(2)若☉O的直径是4,求EF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
12.如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,交AB于C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)求证:=;
(2)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由.
