三十五 垂径定理
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及应用
1.下列说法中,正确的是( )
A.角度相等的弧是等弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.三点确定一个圆
D.直径所对的弧是半圆
2.☉O的半径为5,M是圆外一点,MO=6,∠OMA=30°,则弦AB的长为( )
A.4 B.6 C.6 D.8
3.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为(0,2),(0,-2),以点A为圆心,AB为半径作圆,☉A与x轴相交于C,D两点,则CD的长度是 .
4.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若CD=10,AB=18,小圆半径为13,则大圆半径OA= .
知识点2 垂径定理在实际问题中的应用
5.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 cm.
6.如图,舞台地面上有一段以点O为圆心的,某同学要站在的中点C的位置上.于是他想:只要从点O出发,沿着与弦AB垂直的方向走到上,就能找到的中点C,老师肯定了他的想法.这位同学确定点C所用方法的依据是 .
7.(2024·淄博质检)如图,AB为☉O的直径,点D是的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交☉O于点F.若AC=4,AE=2,求☉O的直径.
【B层 能力进阶】
8.如图,在平面直角坐标系中,半径为5的☉E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于点C,D,则点D的坐标为( )
A.(4-2,0)
B.(-4+2,0)
C.(-4+,0)
D.(4-,0)
9.(2024·聊城期中)如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EB.若AB=4,CD=1,则EB的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,AB为☉O的直径,AB=10,C,D为☉O上两动点(C,D不与A,B重合),且CD为定长,CE⊥AB于点E,M是CD的中点,则EM的最大值为( )
A.4 B.4.5 C.5 D.6
11.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos ∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
12.(2024·德州期中)如图,在☉O中,弦AB=9,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为 .
13.已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(2024·潍坊质检)根据素材解决问题.
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材 1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形拱桥的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素材 2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=x.
问题解决
任务 1 确定拱 桥半径 求圆形拱桥的半径
任务 2 拟定设 计方案 根据图3状态,货船能否通过圆形拱桥 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过 三十五 垂径定理
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及应用
1.下列说法中,正确的是(D)
A.角度相等的弧是等弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.三点确定一个圆
D.直径所对的弧是半圆
2.☉O的半径为5,M是圆外一点,MO=6,∠OMA=30°,则弦AB的长为(D)
A.4 B.6 C.6 D.8
3.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为(0,2),(0,-2),以点A为圆心,AB为半径作圆,☉A与x轴相交于C,D两点,则CD的长度是 4 .
4.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若CD=10,AB=18,小圆半径为13,则大圆半径OA= 15 .
知识点2 垂径定理在实际问题中的应用
5.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 16 cm.
6.如图,舞台地面上有一段以点O为圆心的,某同学要站在的中点C的位置上.于是他想:只要从点O出发,沿着与弦AB垂直的方向走到上,就能找到的中点C,老师肯定了他的想法.这位同学确定点C所用方法的依据是 垂径定理 .
7.(2024·淄博质检)如图,AB为☉O的直径,点D是的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交☉O于点F.若AC=4,AE=2,求☉O的直径.
【解析】如图,连接OF,
∵DE⊥AB,
∴DE=EF,=,
∵点D是的中点,
∴=,
∴=,
∴DF=AC=4,
∴EF=DF=2,
设OA=OF=x,
∵OF2=OE2+EF2,
∴x2=(x-2)2+(2)2,
∴x=4,
∴☉O的直径AB=2x=8.
【B层 能力进阶】
8.如图,在平面直角坐标系中,半径为5的☉E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于点C,D,则点D的坐标为(B)
A.(4-2,0)
B.(-4+2,0)
C.(-4+,0)
D.(4-,0)
9.(2024·聊城期中)如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EB.若AB=4,CD=1,则EB的长为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,AB为☉O的直径,AB=10,C,D为☉O上两动点(C,D不与A,B重合),且CD为定长,CE⊥AB于点E,M是CD的中点,则EM的最大值为(C)
A.4 B.4.5 C.5 D.6
11.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos ∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
12.(2024·德州期中)如图,在☉O中,弦AB=9,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为 .
13.已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为 1或7 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(2024·潍坊质检)根据素材解决问题.
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材 1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形拱桥的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素材 2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=x.
问题解决
任务 1 确定拱 桥半径 求圆形拱桥的半径
任务 2 拟定设 计方案 根据图3状态,货船能否通过圆形拱桥 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过
【解析】任务1:设圆心为点O,则点O在CD的延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如图,
设拱桥的半径为r m,则OD=(r-4)m,
∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=8 m,
∵在Rt△ADO中,OD2+AD2=OA2,
∴(r-4)2+82=r2,∴r=10,
∴圆形拱桥的半径为10 m.
任务2:根据题图3状态,货船不能通过圆形拱桥,至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.理由:
当EH是☉O的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如图,
∵四边形EFGH为矩形,
∴EH∥FG,
∵OC⊥AB,
∴OM⊥EH.
∴EM=EH=5,
∴OM==5 m,
∵OD=6 m,
∴DM=(5-6)m<3 m,
∴根据题图3状态,货船不能通过圆形拱桥,
∴船在水面部分可以下降的高度y=3-(5-6)=(9-5)m.
∵y=x,
∴x=100×(9-5)=(900-500)吨,
∴至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.
