三十六 圆周角和圆心角的关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角及圆周角定理
1.(2024·济宁期中)如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=30°,则∠ABO的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图,在☉O中,所对的圆周角∠ACB=70°,若P为上一点,∠AOP=75°,则
∠POB的度数为( )
A.50° B.65° C.75° D.80°
3.(2024·淄博桓台县期末)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°,则∠BAC=( )
A.23° B.24° C.25° D.26°
4.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
知识点2 圆周角定理的推论1
5.(2022·滨州中考)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为( )
A.32° B.42° C.52° D.62°
6.(2023·青岛市南区三模)如图,AB为☉O的直径,点C,D,E在☉O上,且=,
∠E=70°,则∠ABC的度数为( )
A.30° B.40° C.35° D.50°
7.如图,AB为☉O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E.连接AC,OC,BC.
(1)试说明:∠BCO=∠ACD.
(2)若AE=4 cm,BE=16 cm,求弦CD的长.
【B层 能力进阶】
8. (2023·吉林中考)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( )
A.70° B.105° C.125° D.155°
9.(2021·聊城中考)如图,A,B,C是半径为1的☉O上的三个点,若AB=,∠CAB=
30°,则∠ABC的度数为( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
10.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=( )
A.1 B.2 C.2 D.4
11.(2024·聊城期中)如图,在☉O中,弦AB所对的圆周角∠C=45°,AB=,BC=1,则∠A= °
12.如图,在☉O中,=,直径CD⊥AB于点N,P是上一点,则∠BPD的度数是 .
13.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】(2024·滨州邹平期中)在半径为1的☉O中,弦AB=,AC=,那么∠BAC= .
14.如图,AB是☉O的弦,C是☉O上的一点,且∠ACB=60°,OD⊥AB交AB于点E,交☉O于点D.若☉O的半径为6,求弦AB的长.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(2022·天津期末)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,D为的中点.
(1)如图①,连接AC,AD,OD.求证:OD∥AC.
(2)如图②,过点D作DE⊥AB交☉O于点E,直径EF交AC于点G,若G为AC中点,☉O的半径为2,求AC的长.三十六 圆周角和圆心角的关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角及圆周角定理
1.(2024·济宁期中)如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=30°,则∠ABO的度数为(C)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图,在☉O中,所对的圆周角∠ACB=70°,若P为上一点,∠AOP=75°,则
∠POB的度数为(B)
A.50° B.65° C.75° D.80°
3.(2024·淄博桓台县期末)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°,则∠BAC=(D)
A.23° B.24° C.25° D.26°
4.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是(B)
A.2 B.2 C.4 D.2
知识点2 圆周角定理的推论1
5.(2022·滨州中考)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为(A)
A.32° B.42° C.52° D.62°
6.(2023·青岛市南区三模)如图,AB为☉O的直径,点C,D,E在☉O上,且=,
∠E=70°,则∠ABC的度数为(B)
A.30° B.40° C.35° D.50°
7.如图,AB为☉O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E.连接AC,OC,BC.
(1)试说明:∠BCO=∠ACD.
(2)若AE=4 cm,BE=16 cm,求弦CD的长.
【解析】(1)∵AB⊥CD,
∴=,
∴∠ACD=∠B,
∵OB=OC,∴∠B=∠BCO,
∴∠BCO=∠ACD.
(2)∵AE=4 cm,BE=16 cm,
∴OA=10 cm,OE=6 cm,
在Rt△OCE中,CE==8(cm),
∵AB⊥CD,∴CE=DE,
∴CD=2CE=16(cm).
答:弦CD的长为16 cm.
【B层 能力进阶】
8. (2023·吉林中考)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是(D)
A.70° B.105° C.125° D.155°
9.(2021·聊城中考)如图,A,B,C是半径为1的☉O上的三个点,若AB=,∠CAB=
30°,则∠ABC的度数为(C)
A.95° B.100° C.105° D.110°
10.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=(B)
A.1 B.2 C.2 D.4
11.(2024·聊城期中)如图,在☉O中,弦AB所对的圆周角∠C=45°,AB=,BC=1,则∠A= 30 °
12.如图,在☉O中,=,直径CD⊥AB于点N,P是上一点,则∠BPD的度数是 30° .
13.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】(2024·滨州邹平期中)在半径为1的☉O中,弦AB=,AC=,那么∠BAC= 75°或15° .
14.如图,AB是☉O的弦,C是☉O上的一点,且∠ACB=60°,OD⊥AB交AB于点E,交☉O于点D.若☉O的半径为6,求弦AB的长.
【解析】如图,连接OB,
∵∠ACB=60°,
∴∠AOB=2∠ACB=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=
(180°-∠AOB)=30°,
∵OE⊥AB,OE过圆心O,
∴AE=BE,∠AEO=90°,
∵OA=6,∴OE=OA=3,
由勾股定理得AE==
=3,∴BE=3,
即AB=AE+BE=3+3=6.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(2022·天津期末)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,D为的中点.
(1)如图①,连接AC,AD,OD.求证:OD∥AC.
(2)如图②,过点D作DE⊥AB交☉O于点E,直径EF交AC于点G,若G为AC中点,☉O的半径为2,求AC的长.
【解析】(1)如图①,连接OC,
∵D为的中点,
∴=,
∴∠BOD=∠COD,
∴∠BOC=2∠BOD,
又∵∠BOC=2∠BAC,
∴∠BOD=∠BAC,
∴OD∥AC.
(2)如图②,连接OC,
∵OA=OC,G为AC中点,
∴EF⊥AC,
∵OD∥AC,
∴OD⊥EF,
∵AB是☉O的直径,DE⊥AB,
∴=,
∴∠BOD=∠BOE=∠DOE=45°,
∴∠AOG=∠BOE=45°,
∵OG⊥AC,
∴△AOG是等腰直角三角形,
∵☉O的半径为2,
∴AG=,
∴AC=2.
