三十七 圆周角和圆心角的关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理的推论
1.(教材开发·P23“随堂练习T2”拓展)有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心.暂时只能用一块足够大的直角三角板(无刻度)可以使用.为此同学们需要先得到两条不同的直径,下列寻找直径AB的方法正确的是(B)
2.如图,☉O的直径AB=10 cm,C为☉O上的一点,∠B=30°,则AC的长为(D)
A.4 cm B.5cm C.5cm D.5 cm
3.(2023·枣庄山亭区一模)如图,AB是☉O的直径,C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为 110° .
4.(2022·湘潭中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.
【解析】(1)∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,
∴△AEC∽△DEB;
(2)∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°,
∵AB是☉O的直径,AD=3,
∴∠ADB=90°,
∴AB=6,∴☉O的半径为3.
知识点2 圆周角定理的应用
5.如图,海边有两座灯塔A,B,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,O为圆心,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A,B的张角∠APB的最大值为 40° .
6.一个海港在范围内是浅滩,为了使深水船只不进入浅滩,需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY,把它与已知的危险角(上任意一点Z与两个灯塔所成的角∠XZY)相比较,航行中保持∠XPY小于∠XZY.你知道这样做的道理吗
【解析】如图:
设的圆心为O,当船的位置点P在圆O外部不会进入浅滩,理由如下:
连接PO交☉O于Z',则∠XZY=∠XZ'Y.
∵∠2是△PZ'X的外角,∠4是△PZ'Y的外角,
∴∠2>∠1,∠4>∠3,
∴∠2+∠4>∠1+∠3,
∴∠XZ'Y>∠XPY,
即∠XPY<∠XZY.
∴只要船航行保持∠XPY小于∠XZY也就保证船只不会进入浅滩.
【B层 能力进阶】
7.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第30秒时点E在量角器上对应的度数是(B)
A.60° B.120° C.90° D.80°
8.☉P经过坐标原点O,分别与x轴、y轴交于点A、点B,点C是☉P位于第一象限部分上的一点,如图,若点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),则cos∠OCA的值为(B)
A. B. C. D.
9.如图,BC是☉O的直径,A是☉O外一点,连接AC交☉O于点E,连接AB并延长交☉O于点D.若∠A=30°,则∠DOE是 120 度.
10.如图,AB是圆O的直径,==,AC与OD交于点E.如果AC=3,那么DE的长为 .
11.(教材开发·P22“例”拓展)(2024·淄博周村区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交AC于点E.
(1)求证:点D是BC的中点.
(2)记的度数为α,∠C的度数为β.探究α与β的数量关系.
【解析】(1)如图,连接AD,
∵AB是☉O的直径,点D在圆上,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,∴BD=CD,
即点D是BC的中点;
(2)β-α=45°.
如图,连接OE,
∵的度数为α,∴∠AOE=α,
∵OA=OE,∴∠OAE=,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠OAE=45°-α,
∵∠CAD+∠C=90°,
∴45°-α+β=90°,即β-α=45°.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(2022·呼和浩特中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BD=CD;
(2)若tan C=,BD=4,求AE的长.
【解析】(1)连接AD,
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,∴BD=DC;
(2)∵BD=DC=4,∴BC=DB+DC=8,
在Rt△ADC中,tan C=,
∴AD=CD·tan C=4×=2,
∴AC===2,
∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∵∠AEB=∠ADC=90°,∠C=∠C,
∴△CDA∽△CEB,∴=,
∴=,∴CE=,
∴AE=CE-AC=,∴AE的长为.三十七 圆周角和圆心角的关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理的推论
1.(教材开发·P23“随堂练习T2”拓展)有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心.暂时只能用一块足够大的直角三角板(无刻度)可以使用.为此同学们需要先得到两条不同的直径,下列寻找直径AB的方法正确的是( )
2.如图,☉O的直径AB=10 cm,C为☉O上的一点,∠B=30°,则AC的长为( )
A.4 cm B.5cm C.5cm D.5 cm
3.(2023·枣庄山亭区一模)如图,AB是☉O的直径,C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为 .
4.(2022·湘潭中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.
知识点2 圆周角定理的应用
5.如图,海边有两座灯塔A,B,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,O为圆心,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A,B的张角∠APB的最大值为 .
6.一个海港在范围内是浅滩,为了使深水船只不进入浅滩,需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY,把它与已知的危险角(上任意一点Z与两个灯塔所成的角∠XZY)相比较,航行中保持∠XPY小于∠XZY.你知道这样做的道理吗
【B层 能力进阶】
7.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第30秒时点E在量角器上对应的度数是( )
A.60° B.120° C.90° D.80°
8.☉P经过坐标原点O,分别与x轴、y轴交于点A、点B,点C是☉P位于第一象限部分上的一点,如图,若点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),则cos∠OCA的值为( )
A. B. C. D.
9.如图,BC是☉O的直径,A是☉O外一点,连接AC交☉O于点E,连接AB并延长交☉O于点D.若∠A=30°,则∠DOE是 度.
10.如图,AB是圆O的直径,==,AC与OD交于点E.如果AC=3,那么DE的长为 .
11.(教材开发·P22“例”拓展)(2024·淄博周村区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交AC于点E.
(1)求证:点D是BC的中点.
(2)记的度数为α,∠C的度数为β.探究α与β的数量关系.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(2022·呼和浩特中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BD=CD;
(2)若tan C=,BD=4,求AE的长.
