三十八 确定圆的条件(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 确定圆的条件
1.杜大明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,杜大明带到商店去的一块碎片应该是(A)
A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
2.平面上有四个点,过其中任意3个点一共能确定圆的个数为(C)
A.0或3或4 B.0或1或3
C.0或1或3或4 D.0或1或4
3.如图,AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 30° .
4.当A(1,2),B(3,-3),C(5,n)三点可以确定一个圆,则n需要满足的条件为 n≠-8 .
知识点2 三角形的外接圆
5.(2022·陕西中考)如图,△ABC内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=(A)
A.44° B.45° C.54° D.67°
6.如图,点P为△ABC的外心,∠A=50°,则∠BPC的大小为(A)
A.100° B.110°
C.115° D.120°
7.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,E在格点上,过A,B,E三点的圆交BC于点D,则∠AED的正弦值是(D)
A. B.2 C. D.
8.(2022·邵阳中考)如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是(C)
A. B. C. D.
9.(1)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O;
(2)设每个小方格的边长为1,求出外接圆☉O的面积.
【解析】(1)如图所示,点O即为所求.
(2)连接OB,
由勾股定理得OB==,
∴外接圆☉O的面积为π×()2=10π.
【B层 能力进阶】
10.如图,△ABC中,∠A=60°,BC=2 cm,能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的半径为(B)
A. cm B. cm
C.2 cm D.2 cm
11.△ABC为☉O的内接三角形,若∠AOC=140°,则∠ABC的度数是(D)
A.80° B.160°
C.100° D.70°或110°
12.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为☉O的直径,CD=8,OA交BC于点E,则AE的长度是 4 .
13.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 9π .
14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是点A(-3,0),点B(-1,2),点C(3,2),则△ABC的外心的坐标为 (1,-2) .
15.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD;
(2)连接BO并延长,交AC于点F,交☉O于点G,连接GC.若☉O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.
【解析】(1)∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,
∴=,∴∠BAD=∠CAD;
(2)∵AD⊥BC,∠AEB=90°,
在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,
∴BE==4,
∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,
∴BC=2BE=8,
∵BG是☉O的直径,∴∠BCG=90°,
∴GC===6,
∵AD⊥BC,∠BCG=90°,∴AE∥GC,
∴△AFO∽△CFG,
∴=,即=,
解得OF=.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(2023·陕西中考)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=45°,过点B作BC的垂线,交☉O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交☉O于点F.
(1)求证:BD=BC;
(2)若☉O的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.
【解析】(1)如图,连接DC,
则∠BDC=∠BAC=45°,
∵DB⊥BC,
∴∠BCD=90°-∠BDC=45°,
∴∠BCD=∠BDC,
∴BD=BC;
(2)如图,∵∠DBC=90°,
∴CD为☉O的直径,
∴CD=2r=6.
∴BC=CD·sin∠BDC=6×=3,
∴EC===3,
∵BF⊥AC,
∴∠BMC=∠EBC=90°,∠BCM=∠BCM,
∴△BCM∽△ECB.
∴==,
∴BM===2,
CM===,
连接CF,则∠F=∠BDC=45°,∠MCF=45°,
∴MF=MC=,
∴BF=BM+MF=2+.三十八 确定圆的条件(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 确定圆的条件
1.杜大明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,杜大明带到商店去的一块碎片应该是( )
A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
2.平面上有四个点,过其中任意3个点一共能确定圆的个数为( )
A.0或3或4 B.0或1或3
C.0或1或3或4 D.0或1或4
3.如图,AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 .
4.当A(1,2),B(3,-3),C(5,n)三点可以确定一个圆,则n需要满足的条件为 .
知识点2 三角形的外接圆
5.(2022·陕西中考)如图,△ABC内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=( )
A.44° B.45° C.54° D.67°
6.如图,点P为△ABC的外心,∠A=50°,则∠BPC的大小为( )
A.100° B.110°
C.115° D.120°
7.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,E在格点上,过A,B,E三点的圆交BC于点D,则∠AED的正弦值是( )
A. B.2 C. D.
8.(2022·邵阳中考)如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( )
A. B. C. D.
9.(1)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O;
(2)设每个小方格的边长为1,求出外接圆☉O的面积.
【B层 能力进阶】
10.如图,△ABC中,∠A=60°,BC=2 cm,能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的半径为( )
A. cm B. cm
C.2 cm D.2 cm
11.△ABC为☉O的内接三角形,若∠AOC=140°,则∠ABC的度数是( )
A.80° B.160°
C.100° D.70°或110°
12.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为☉O的直径,CD=8,OA交BC于点E,则AE的长度是 .
13.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 .
14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是点A(-3,0),点B(-1,2),点C(3,2),则△ABC的外心的坐标为 .
15.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD;
(2)连接BO并延长,交AC于点F,交☉O于点G,连接GC.若☉O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(2023·陕西中考)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=45°,过点B作BC的垂线,交☉O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交☉O于点F.
(1)求证:BD=BC;
(2)若☉O的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.
