三十九 确定圆的条件(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆内接四边形的性质
1.如图,已知四边形ABDC内接于☉O,∠BDC=130°,则∠BOC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
2.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=82°,那么∠BOD的度数为( )
A.160° B.162° C.164° D.170°
3.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,∠BAD=108°,E是BC延长线上一点,若CF平分∠DCE,则∠DCF的大小是( )
A.52° B.54° C.56° D.60°
4.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,对角线BD经过圆心O,AC与BD相交于点E,下列说法正确的是( )
A.∠ABD=∠ACD
B.∠ABC=∠ADC
C.∠BAD≠∠BCD
D.∠AEB=2∠ACB
5.四边形ABCD内接于☉O,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶m∶4∶n,则m,n满足条件( )
A.3m=4n B.4m=3n
C.m+n=7 D.m+n=180°
6.如图,四边形ABCD内接于☉O,且四边形OABC是平行四边形,则∠D= .
7.如图,四边形ABCD是半圆O的内接四边形,AB是直径,=.若∠C=110°,则∠ABC的度数为 .
8.如图,四边形ABCD内接于☉O,AE∥BC与CD的延长线交于E,∠BAC=∠DAE.求证:AC=CE.
【B层 能力进阶】
9.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB∥DC,点D是的中点,连接AC,若
∠BAC=35°,则∠B的度数是( )
A.30° B.35° C.70° D.110°
10.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠B=90°,连接OC,过圆心O作OH∥CD交AD于点H,若OC=,AD=2,则OH的长为( )
A.1 B. C. D.2
11.如图所示,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=,点E为CD的中点,连接OE.若∠ADC=130°,则∠AOE的度数等于( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
12.如图,点A,B,C,D,E都是☉O上的点,=,∠D=128°,则∠B的度数为 .
13.如图,四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线相交于点E,AB,DC的延长线相交于点F.若∠A=55°,∠F=30°,则∠E= .
14.(教材开发·P31“数学理解T5”拓展)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠A=90°,∠B=60°,AB=2,BC=4-,则CD的长为 .
15.(2022·威海中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.
【C层 创新挑战(选做)】
16.已知,四边形ACBD是圆内接四边形,当AC=BC时,
(1)求证:DC平分∠ADB;
(2)当∠ACB=60°时,求证:CD=AD+BD.三十九 确定圆的条件(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆内接四边形的性质
1.如图,已知四边形ABDC内接于☉O,∠BDC=130°,则∠BOC的度数为(D)
A.130° B.120° C.110° D.100°
2.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=82°,那么∠BOD的度数为(C)
A.160° B.162° C.164° D.170°
3.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,∠BAD=108°,E是BC延长线上一点,若CF平分∠DCE,则∠DCF的大小是(B)
A.52° B.54° C.56° D.60°
4.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,对角线BD经过圆心O,AC与BD相交于点E,下列说法正确的是(A)
A.∠ABD=∠ACD
B.∠ABC=∠ADC
C.∠BAD≠∠BCD
D.∠AEB=2∠ACB
5.四边形ABCD内接于☉O,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶m∶4∶n,则m,n满足条件(C)
A.3m=4n B.4m=3n
C.m+n=7 D.m+n=180°
6.如图,四边形ABCD内接于☉O,且四边形OABC是平行四边形,则∠D= 60° .
7.如图,四边形ABCD是半圆O的内接四边形,AB是直径,=.若∠C=110°,则∠ABC的度数为 55° .
8.如图,四边形ABCD内接于☉O,AE∥BC与CD的延长线交于E,∠BAC=∠DAE.求证:AC=CE.
【证明】∵AE∥BC,
∴∠B+∠BAE=180°,
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠B+∠ADC=180°,
∴∠BAE=∠ADC,
∵∠ADC=∠E+∠DAE,
∴∠E=∠BAD,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴∠CAE=∠E,
∴AC=CE.
【B层 能力进阶】
9.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB∥DC,点D是的中点,连接AC,若
∠BAC=35°,则∠B的度数是(C)
A.30° B.35° C.70° D.110°
10.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠B=90°,连接OC,过圆心O作OH∥CD交AD于点H,若OC=,AD=2,则OH的长为(A)
A.1 B. C. D.2
11.如图所示,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=,点E为CD的中点,连接OE.若∠ADC=130°,则∠AOE的度数等于(C)
A.65° B.70° C.75° D.80°
12.如图,点A,B,C,D,E都是☉O上的点,=,∠D=128°,则∠B的度数为 116° .
13.如图,四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线相交于点E,AB,DC的延长线相交于点F.若∠A=55°,∠F=30°,则∠E= 40° .
14.(教材开发·P31“数学理解T5”拓展)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠A=90°,∠B=60°,AB=2,BC=4-,则CD的长为 1 .
15.(2022·威海中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.
【解析】(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ADE=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE;
(2)连接CO并延长交☉O于点F,连接BF,
则∠FBC=90°,
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∴sin F==,
∵∠F=∠BAC,∴sin∠BAC=.
【C层 创新挑战(选做)】
16.已知,四边形ACBD是圆内接四边形,当AC=BC时,
(1)求证:DC平分∠ADB;
(2)当∠ACB=60°时,求证:CD=AD+BD.
【解析】(1)∵AC=BC,
∴=,
∴∠ADC=∠BDC,
∴DC平分∠ADB.
(2)如图,延长DB至E,使DE=DC,连接CE,
∵四边形ACBD是圆内接四边形,
∴∠ACB+∠ADB=180°,
∵∠ACB=60°,∴∠ADB=120°,
∵DC平分∠ADB,
∴∠BDC=60°,
∴△DEC是等边三角形,
∴DC=EC,∠DCE=60°,
∴∠DCB+∠BCE=60°,
∵∠BCD+∠ACD=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∵AC=BC,∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE,∴DC=DE=BD+BE=BD+AD.
