四十 直线和圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 判断直线和圆的位置关系
1.☉O的半径为3,点O到直线l的距离为4,则反映直线l与☉O位置关系的图形是( )
2.☉O的直径为15 cm,若圆心O与直线l的距离为7.5 cm,则l与☉O的位置关系是 (填“相交”、“相切”或“相离”).
3.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,则以2.6 cm为半径的☉C与直线AB的位置关系是 .
4.如图,已知在△OAB中,OA=OB=13,AB=24,☉O的半径长为r=5,判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由.
知识点2 根据直线和圆的位置关系求圆的半径或圆心到直线的距离
5.已知☉O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2-x-20=0的一个根,若☉O与直线l相离,☉O的半径可取的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.如图,在半径为5 cm的☉O中,直线l交☉O于A,B两点,且弦AB=8 cm,要使直线l与☉O相切,则需要将直线l向下平移( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
7.已知☉O的半径为3,直线l与☉O相交,则圆心O到直线l的距离d的取值范围是( )
A.d=3 B.d>3
C.0≤d<3 D.d<3
8.☉O的半径为5 cm,点O到直线AB的距离为d,当d= 时,AB与☉O相切.
9.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O是AB边上的一个动点,AO=m,且
☉O的半径长为1,求:
(1)线段AC与☉O没有公共点时,m的取值范围;
(2)线段AC与☉O有两个公共点时m的取值范围.
【B层 能力进阶】
10.设☉O的半径是6,点O到直线l的距离为d,☉O与直线l有公共点,则( )
A.d>6 B.d=6
C.0≤d<6 D.0≤d≤6
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,AC=5 cm,若以点C为圆心,3 cm长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相切或相交
12.在平面直角坐标系中,以点A(4,3)为圆心,以R为半径作圆A与x轴相交,且原点O在圆A的外部,那么半径R的取值范围是( )
A.0C.313.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,☉O的圆心在线段CA上,且它的半径为3.
(1)当点O与点C重合时,☉O与直线AB具有怎样的位置关系
(2)如果☉O沿直线CA移动(点O沿直线CA移动),当OC等于多少时,☉O与直线AB相切
【C层 创新挑战(选做)】
14.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,且AE=2.
(1)试判断以D为圆心,以2为半径的圆与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒,求t为何值时,以点P为圆心,以1为半径的圆被对角线AC截得弦长为 四十 直线和圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 判断直线和圆的位置关系
1.☉O的半径为3,点O到直线l的距离为4,则反映直线l与☉O位置关系的图形是(D)
2.☉O的直径为15 cm,若圆心O与直线l的距离为7.5 cm,则l与☉O的位置关系是 相切 (填“相交”、“相切”或“相离”).
3.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,则以2.6 cm为半径的☉C与直线AB的位置关系是 相交 .
4.如图,已知在△OAB中,OA=OB=13,AB=24,☉O的半径长为r=5,判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由.
【解析】直线AB与☉O相切;理由如下:
如图,作OC⊥AB于点C,
∵OA=OB=13,AB=24,
∴AC=BC=AB=12,
∴OC===5,
∵☉O的半径为5,∴d=r,
∴直线AB与☉O相切.
知识点2 根据直线和圆的位置关系求圆的半径或圆心到直线的距离
5.已知☉O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2-x-20=0的一个根,若☉O与直线l相离,☉O的半径可取的值为(A)
A.4 B.5 C.6 D.7
6.如图,在半径为5 cm的☉O中,直线l交☉O于A,B两点,且弦AB=8 cm,要使直线l与☉O相切,则需要将直线l向下平移(B)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
7.已知☉O的半径为3,直线l与☉O相交,则圆心O到直线l的距离d的取值范围是(C)
A.d=3 B.d>3
C.0≤d<3 D.d<3
8.☉O的半径为5 cm,点O到直线AB的距离为d,当d= 5 cm 时,AB与☉O相切.
9.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O是AB边上的一个动点,AO=m,且
☉O的半径长为1,求:
(1)线段AC与☉O没有公共点时,m的取值范围;
(2)线段AC与☉O有两个公共点时m的取值范围.
【解析】(1)作OE⊥AC于点E,
当OE=1时,△AOE∽△ACB,
则=,即=,解得OA=.
则当(2)当1≤m<时,线段AC与☉O有两个公共点.
【B层 能力进阶】
10.设☉O的半径是6,点O到直线l的距离为d,☉O与直线l有公共点,则(D)
A.d>6 B.d=6
C.0≤d<6 D.0≤d≤6
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,AC=5 cm,若以点C为圆心,3 cm长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是(C)
A.相离 B.相交
C.相切 D.相切或相交
12.在平面直角坐标系中,以点A(4,3)为圆心,以R为半径作圆A与x轴相交,且原点O在圆A的外部,那么半径R的取值范围是(C)
A.0C.313.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,☉O的圆心在线段CA上,且它的半径为3.
(1)当点O与点C重合时,☉O与直线AB具有怎样的位置关系
(2)如果☉O沿直线CA移动(点O沿直线CA移动),当OC等于多少时,☉O与直线AB相切
【解析】(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,☉O的圆心在线段CA上,且它的半径为3,
∴AB=13,
∴当点O与点C重合时,点C到直线AB的距离是==,
∵>3,
∴☉O与直线AB的位置关系是相离;
(2)当☉O与直线AB相切时,
则点O到AB的距离是3,
则☉O与AB的切点与点A、点O构成的三角形与△AOB相似,∴=,解得AO=,
∴OC=AC-AO=5-=或OC=AC+AO=5+=,
即当OC=或时,☉O与直线AB相切.
【C层 创新挑战(选做)】
14.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,且AE=2.
(1)试判断以D为圆心,以2为半径的圆与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒,求t为何值时,以点P为圆心,以1为半径的圆被对角线AC截得弦长为
【解析】(1)结论:☉D与AC相切.理由如下,
如图1中,连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠DAO=∠BAO=∠DAB=30°,
在Rt△ADE中,∵∠AED=90°,AE=2,
∠DAE=60°,
∴∠ADE=90°-∠DAE=30°,
∴AD=2AE=4,
∴OD=AD=2,
∵☉D的半径为2,
∴☉D与AC相切.
(2)如图2,☉P过点A或点C,过点P作PN⊥AC于点N,☉P交AC于点M.
∵PA=1,∠DAC=30°,∴PN=PA=,
∴AN==,
∴AM=2AN=,
∴当☉P过点A与C时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相交,所截得的弦长为,
①当点P在AD上时,AP1=1,
即t1=1;
②当点P在DC上时,CP2=1,
即t2=AD+DC-CP2=4+4-1=7;
③当点P在CB上时,CP3=1,
即t3=AD+DC+CP3=4+4+1=9;
④当点P在BA上时,AP4=1,
即t4=AD+DC+CB+BA-AP4=4+4+4+4-1=15;
∴当t=1,7,9,15时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相交,所截得的弦长为.
