四十一 直线和圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆的切线的性质及应用
1.已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为25°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,则∠D等于( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.如图,P为☉O外一点,PA切☉O于点A,OP=12,PA=6,则∠APO的度数为( )
A.30° B.60° C.45° D.22.5°
3.如图,直线EF与☉O相切于点C,直线EO与☉O相交于点D,连接CD.若
∠DEF=3∠D,则∠DCF的度数为 .
4.小明同学测量一个圆形零件的半径时,他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上,零件与直尺、三角板均相切,测得点A与其中一个切点B的距离为3 cm,则这个零件的半径是 cm.
5.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°,PA=3,则☉O的半径为 .
6.如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,P是AB延长线上一点,PD切☉O于点D,CD交AB于点E,判断△PDE的形状,并说明理由.
7.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C,
(1)若∠ADE=28°,求∠C的度数;
(2)若AC=6,CE=3,求☉O半径的长.
【B层 能力进阶】
8.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA.若
∠P=36°,且PA与☉O相切,则此时∠B等于( )
A.27° B.32° C.36° D.54°
9.(2024·淄博期末)已知,正方形ABCD的边长为8,☉O经过A,B两点,且与边DC相切.则☉O的半径长为( )
A. B.3 C.3 D.5
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,PM,PN分别与☉O相切于A,B两点,C是☉O上异于A,B的点,连接AC,BC.若∠P=50°,则∠ACB的大小是 .
11.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是☉C的切线,切点为点D,直线AC交☉C于点E,F,且CF=AC.
(1)求证:△ABF是直角三角形.
(2)若AC=6,则直接写出BF的长.
12.(2023·济南市中区四模)如图,AB是☉O的直径,点E为☉O上一点,AD和过E的切线互相垂直,垂足为D,切线DE交AB的延长线于点C.
(1)若∠DEA=66°,求∠C的度数;
(2)若∠C=30°,AB=6,求AD的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.如图,D是以AB为直径的☉O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C,垂足为点F.
(1)求证:AB=CB;
(2)若AB=18,sin A=,求EF的长.四十一 直线和圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆的切线的性质及应用
1.已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为25°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,则∠D等于(D)
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.如图,P为☉O外一点,PA切☉O于点A,OP=12,PA=6,则∠APO的度数为(A)
A.30° B.60° C.45° D.22.5°
3.如图,直线EF与☉O相切于点C,直线EO与☉O相交于点D,连接CD.若
∠DEF=3∠D,则∠DCF的度数为 72° .
4.小明同学测量一个圆形零件的半径时,他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上,零件与直尺、三角板均相切,测得点A与其中一个切点B的距离为3 cm,则这个零件的半径是 3 cm.
5.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°,PA=3,则☉O的半径为 3 .
6.如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,P是AB延长线上一点,PD切☉O于点D,CD交AB于点E,判断△PDE的形状,并说明理由.
【解析】△PDE是等腰三角形.
理由是:连接OD,
∵OC⊥AB,
∴∠CEO+∠OCE=90°,
∵OC=OD,∴∠OCE=∠ODE,
∵PD切☉O于点D,
∴∠ODE+∠PDE=90°,
∵∠OEC=∠PED,
∴∠PDE=∠PED,
∴PD=PE,∴△PDE是等腰三角形.
7.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C,
(1)若∠ADE=28°,求∠C的度数;
(2)若AC=6,CE=3,求☉O半径的长.
【解析】(1)如图,连接OA,
∵∠ADE=28°,
∴由圆周角定理得:∠AOC=2∠ADE=56°,
∵AC切☉O于A,
∴∠OAC=90°,
∴∠C=180°-∠AOC-∠OAC=180°-56°-90°=34°;
(2)设OA=OE=r,
在Rt△OAC中,由勾股定理得:OA2+AC2=OC2,
即r2+62=(r+3)2,
解得:r=.
答:☉O半径的长是.
【B层 能力进阶】
8.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA.若
∠P=36°,且PA与☉O相切,则此时∠B等于(A)
A.27° B.32° C.36° D.54°
9.(2024·淄博期末)已知,正方形ABCD的边长为8,☉O经过A,B两点,且与边DC相切.则☉O的半径长为(D)
A. B.3 C.3 D.5
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,PM,PN分别与☉O相切于A,B两点,C是☉O上异于A,B的点,连接AC,BC.若∠P=50°,则∠ACB的大小是 65°或115° .
11.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是☉C的切线,切点为点D,直线AC交☉C于点E,F,且CF=AC.
(1)求证:△ABF是直角三角形.
(2)若AC=6,则直接写出BF的长.
【解析】(1)如图,连接CD,则CF=CD,
∵AB是☉C的切线.
∴CD⊥AB,∠ADC=∠BDC=90°,
∵CF=AC,∴CD=CF=AC,
∴∠A=30°
∵AC=BC,∴∠ABC=∠A=30°,
∴∠ACB=120°,
∴∠BCD=∠BCF=60°,
又∵BC=BC,∴△BCD≌△BCF(SAS),
∴∠BFC=∠BDC=90°,
∴△ABF是直角三角形.
(2)∵AC=BC,CD⊥AB,∴AD=BD=BF,
在Rt△ACD中,∵∠A=30°,AC=6,
∴CD=AC=3,
∴AD=CD=3.
∴BF=3.
12.(2023·济南市中区四模)如图,AB是☉O的直径,点E为☉O上一点,AD和过E的切线互相垂直,垂足为D,切线DE交AB的延长线于点C.
(1)若∠DEA=66°,求∠C的度数;
(2)若∠C=30°,AB=6,求AD的长.
【解析】(1)连接OE,
∵DC为☉O的切线,
∴OE⊥DC,
∴∠OED=90°.
又∵∠DEA=66°,
∴∠OEA=90°-66°=24°.
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠OAE=24°,
∴∠EOC=∠OAE+∠AEO=48°,
∴∠C=90°-∠EOC=90°-48°=42°.
(2)连接BE,
∵∠C=30°,∠OEC=90°,
∴∠EOC=60°.
∵OE=OB,
∴△BOE为等边三角形,
∴∠ABE=60°,
∴∠EAB=30°.
∵AB=6,
∴BE=AB=3,
∴AE===3.
∵AD⊥DC,OE⊥DC,
∴AD∥OE,
∴∠DAE=∠AEO=30°,
∴DE=AE=,
∴AD=DE=×=.
【C层 创新挑战(选做)】
13.如图,D是以AB为直径的☉O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C,垂足为点F.
(1)求证:AB=CB;
(2)若AB=18,sin A=,求EF的长.
【解析】(1)连接OD,如图,
∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.
∵BC⊥DE,
∴OD∥BC.
∴∠ODA=∠C,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠A.
∴∠A=∠C.
∴AB=BC.
(2)连接BD,则∠ADB=90°,如图,
在Rt△ABD中,
∵sin A==,AB=18,
∴BD=6.
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°,
∴∠A=∠FDB.
∴sin A=sin∠FDB.
在Rt△BDF中,
∵sin∠BDF==,∴BF=2.
由(1)知,OD∥BF,
∴△EBF∽△EOD.
∴=.即=.
解得BE=.
∴EF==.
