四十二 直线和圆的位置关系(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆的切线的判定定理
1.如果l是☉O的切线,要判定AB⊥l,还需要添加的条件是( )
A.AB经过圆心O
B.AB是直径
C.AB是直径,B是切点
D.AB是直线,B是切点
2.已知某矩形的两邻边的边长比为1∶2,若以较长一边为直径向矩形内作半圆,则该矩形的各边与半圆相切的线段有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
3.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是( )
A.∠E=∠CFE
B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC
D.∠ECF=60°
4.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为 .
5.如图,AB是☉O的直径,要使得直线AT是☉O的切线,需要添加的一个条件是 .(写一个条件即可)
6.如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的☉O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
求证:直线DE是☉O的切线.
7.如图,△ABC的边AB为☉O的直径,BC与圆交于点D,D为BC的中点,过D作DE⊥AC于E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为☉O的切线.
【B层 能力进阶】
8.如图,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P与☉O相切的直线,其作法如下.
甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.
乙:过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.两人都正确 D.两人都错误
9.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A.点(0,3) B.点(2,3)
C.点(5,1) D.点(6,1)
10.(2023·扬州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=
∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin B=,☉O的半径为3,求AC的长.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(2023·济宁中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD=CB,BE切☉O于点B,过点C作CF⊥OE,交BE于点F,若EF=2BF.
(1)如图1,连接BD,求证:△ADB≌△OBE;
(2)如图2,N是AD上一点,在AB上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN,BM,DN有怎样的数量关系 并证明你的结论.四十二 直线和圆的位置关系(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆的切线的判定定理
1.如果l是☉O的切线,要判定AB⊥l,还需要添加的条件是(C)
A.AB经过圆心O
B.AB是直径
C.AB是直径,B是切点
D.AB是直线,B是切点
2.已知某矩形的两邻边的边长比为1∶2,若以较长一边为直径向矩形内作半圆,则该矩形的各边与半圆相切的线段有(D)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
3.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是(C)
A.∠E=∠CFE
B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC
D.∠ECF=60°
4.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为 相切 .
5.如图,AB是☉O的直径,要使得直线AT是☉O的切线,需要添加的一个条件是 ∠TAC=∠B(答案不唯一) .(写一个条件即可)
6.如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的☉O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
求证:直线DE是☉O的切线.
【证明】连接OD,如图,
∵AB=BC,∴∠A=∠C.
∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,
∴∠ODA=∠C,∴OD∥BC.
∵DF⊥BC,∴DE⊥OD.
∵OD为☉O的半径,
∴直线DE是☉O的切线.
7.如图,△ABC的边AB为☉O的直径,BC与圆交于点D,D为BC的中点,过D作DE⊥AC于E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为☉O的切线.
【证明】(1)如图,连接AD,
∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC,
∵BD=DC,∴AB=AC.
(2)如图,连接OD,
∵BO=OA,BD=DC,
∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∵OD是☉O的半径,
∴DE为☉O的切线.
【B层 能力进阶】
8.如图,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P与☉O相切的直线,其作法如下.
甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.
乙:过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是(C)
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.两人都正确 D.两人都错误
9.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(C)
A.点(0,3) B.点(2,3)
C.点(5,1) D.点(6,1)
10.(2023·扬州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=
∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin B=,☉O的半径为3,求AC的长.
【解析】(1)直线AB与☉O相切,
理由:连接OD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD,
∴∠BCD=∠BOD.
∵∠BCD=∠A,
∴∠BOD=∠A.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,
∴∠BDO=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴直线AB与☉O相切.
(2)∵sin B==,OD=3,
∴OB=5,
∴BC=OB+OC=8.
在Rt△ACB中,sin B==,
∴设AC=3x,AB=5x,
∴BC==4x=8,
∴x=2,
∴AC=3x=6.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(2023·济宁中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD=CB,BE切☉O于点B,过点C作CF⊥OE,交BE于点F,若EF=2BF.
(1)如图1,连接BD,求证:△ADB≌△OBE;
(2)如图2,N是AD上一点,在AB上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN,BM,DN有怎样的数量关系 并证明你的结论.
【解析】(1)连接OF(图略),∵BE是☉O的切线,CF⊥OE,
∴∠OCF=∠OBF=90°.
∵OC=OB,OF=OF,
∴Rt△OCF≌Rt△OBF(HL),
∴CF=BF.
∵EF=2BF,
∴EF=2CF,sin E==,
∴∠E=30°,∠EOB=60°.
∵CD=CB,
∴=,
∴OC⊥BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°=∠OBE.
∵∠E+∠EBD=90°,∠ABD+∠EBD=90°,
∴∠ABD=∠E=30°,
∴AD=OB=AB,
∴△ADB≌△OBE(AAS).
(2)MN=BM+DN,证明如下:
延长ND至H使得DH=BM,连接CH,BD,如图所示,
∵∠MBC+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°,
∴∠HDC=∠MBC.
∵CD=CB,DH=BM,
∴△HDC≌△MBC(SAS),
∴∠BCM=∠DCH,CM=CH,
由(1)可得∠ABD=30°,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A=60°,
∴∠DCB=180°-∠A=120°.
∵∠MCN=60°,
∴∠BCM+∠NCD=120°-∠NCM=120°-60°=60°,
∴∠DCH+∠NCD=∠NCH=60°,
∴∠NCH=∠NCM.
∵NC=NC,
∴△CNH≌△CNM(SAS),
∴NH=NM,
∴MN=DN+DH=DN+BM.
