四十三 直线和圆的位置关系(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点 三角形的内切圆
1.有关三角形内心的说法正确的是( )
A.内心是三边垂直平分线的交点
B.内心是三条中线的交点
C.内心到三个顶点的距离相等
D.内心到三边的距离相等
2.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3,则其内切圆半径的长为 .
4.如图是一块直角三角形木料,∠C=90°,AC=6,BC=8,且△ABC的三边都与圆O相切,点O为内切圆的圆心,D,E,F分别为三角形三边的切点,木工师傅要从中裁下一块圆形木料,则可裁圆形木料的最大半径为 .
5.已知:如图,∠C=90°,内切圆O分别与BC,AC相切于点D,E,判断四边形ODCE的形状,并说明理由.
6.某新建小区要在一块等边△ABC空地内修建一个圆形花坛.
(1)要使花坛面积最大,请你用尺规画出圆形花坛示意图.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若这个等边三角形的边长为12米,请计算出圆形花坛的面积.
【B层 能力进阶】
7.已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,点A,B,C,P均在格点上,则点P叫做△ABC的( )
A.内心 B.重心
C.外心 D.无法确定
8.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,O为△ABC的内心,若△ABO的面积为20,则△ACO的面积为( )
A.20 B.15 C.18 D.12
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC的内心,O是AB边上一点,☉O经过B,D两点,若BC=4,tan∠ABD=,则☉O的半径为( )
A. B. C. D.
10.如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A=84°,则∠D的度数为( )
A.42° B.66° C.76° D.82°
11.如图,AB是☉O的直径,AC,BC是☉O的弦,I是△ABC的内心,连接OI,若OI=,∠BOI=45°,则BC的长是 .
12.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:
(1)CD=CI;
(2)OI是△IBD的外接圆的切线.
【C层 创新挑战(选做)】
13.△ABC的内切圆分别切BC,CA,AB三边于D,E,F,G是EF上的一点,且DG⊥EF,求证:GD平分∠BGC.四十三 直线和圆的位置关系(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点 三角形的内切圆
1.有关三角形内心的说法正确的是(D)
A.内心是三边垂直平分线的交点
B.内心是三条中线的交点
C.内心到三个顶点的距离相等
D.内心到三边的距离相等
2.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为(D)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3,则其内切圆半径的长为 1.5 .
4.如图是一块直角三角形木料,∠C=90°,AC=6,BC=8,且△ABC的三边都与圆O相切,点O为内切圆的圆心,D,E,F分别为三角形三边的切点,木工师傅要从中裁下一块圆形木料,则可裁圆形木料的最大半径为 2 .
5.已知:如图,∠C=90°,内切圆O分别与BC,AC相切于点D,E,判断四边形ODCE的形状,并说明理由.
【解析】四边形ODCE为正方形,理由如下:
∵内切圆O分别与BC,AC相切于点D,E,
∴OE⊥AC,OD⊥BC.
∵∠C=90°,∴四边形ODCE为矩形.
又∵OD=OE,∴四边形ODCE为正方形.
6.某新建小区要在一块等边△ABC空地内修建一个圆形花坛.
(1)要使花坛面积最大,请你用尺规画出圆形花坛示意图.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若这个等边三角形的边长为12米,请计算出圆形花坛的面积.
【解析】(1)如图,☉O即为所求.
(2)∵等边三角形的边长为12米,
∴AB=BC=AC=12米.
∵AE平分∠BAC,∴AE⊥BC,
∴BE=CE=6米.
∵BO平分∠ABC,∴∠OBE=30°,
∴OE=BE·tan 30°=6×=2(米),
∴内切圆半径为2米,则花坛面积为12π(平方米).
【B层 能力进阶】
7.已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,点A,B,C,P均在格点上,则点P叫做△ABC的(B)
A.内心 B.重心
C.外心 D.无法确定
8.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,O为△ABC的内心,若△ABO的面积为20,则△ACO的面积为(B)
A.20 B.15 C.18 D.12
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC的内心,O是AB边上一点,☉O经过B,D两点,若BC=4,tan∠ABD=,则☉O的半径为(A)
A. B. C. D.
10.如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A=84°,则∠D的度数为(B)
A.42° B.66° C.76° D.82°
11.如图,AB是☉O的直径,AC,BC是☉O的弦,I是△ABC的内心,连接OI,若OI=,∠BOI=45°,则BC的长是 1+ .
12.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:
(1)CD=CI;
(2)OI是△IBD的外接圆的切线.
【证明】(1)∵∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA,∠CID=
∠IAD+∠IDA,∴∠CDI=∠CID,∴CD=CI.
(2)结合(1)的过程同理分析得出CI=CB,
∴CB=CI=CD,
故点C是△IBD的外心.
连接OA,OC.
∵I是AC的中点,且OA=OC,
∴OI⊥AC,即OI⊥CI.
∴OI是△IBD外接圆的切线.
【C层 创新挑战(选做)】
13.△ABC的内切圆分别切BC,CA,AB三边于D,E,F,G是EF上的一点,且DG⊥EF,求证:GD平分∠BGC.
【证明】连接DF,DE,设N,K分别是DF,DE的中点,连接BN,CK,OF,OD.
∵△ABC的内切圆分别切BC,CA,AB三边于D,E,F,∴BF=BD,CD=CE,
∴BN⊥DF,CK⊥DE,∠FBN=∠FBD,
∵∠DOF=2∠DEF,∠DOF+∠FBD=180°,∠GDE+∠DEG=90°,
∴∠FBN=∠EDG,
∵DG⊥EG,
∴∠BNF=∠DGE=90°,
∴Rt△BFN∽Rt△DEG,==,
同理:Rt△CEK∽Rt△DFG,==,
∴BF·GE=DF·DE=CE·FG,
∴=,∵∠BFG=∠CEG,
∴△BFG∽△CEG,
∴∠BGF=∠CGE.
∵DG⊥EF,∴∠BGD=∠CGD.
即GD平分∠BGC.
