四十四 切线长定理
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=8,则△PCD的周长为(C)
A.8 B.12 C.16 D.20
2.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE= 2 .
3.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为 7 .
4.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,分别过A,B作☉O的切线,两切线交于点P,已知☉O的半径为1,求△PAB的周长.
【解析】∵PA,PB是☉O的切线.
∴PA=PB,∠PAB=60°,
∴△PAB是等边三角形.
在Rt△ABC中,AB=AC·sin 60°=2×=,
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3.
知识点2 切线长定理的应用
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE=(D)
A. B. C. D.
6.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为 14 .
7.如图,☉O是△ABC的外接圆,过点A,B两点分别作☉O的切线PA,PB交于一点P,连接OP.
(1)求证:∠APO=∠BPO.
(2)若∠C=60°,AB=6,点Q是☉O上的一动点,求PQ的最大值.
【解析】(1)连接OA,OB,
∵PA,PB是☉O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中,,
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL),
∴∠APO=∠BPO.
(2)∵PA,PB是☉O的切线,∠C=60°,
∴PA=PB,
∴OP⊥AB,∠PAB=∠PBA=∠C=60°,
∴△PAB为等边三角形,延长PO交☉O于点Q,连接AQ,BQ,则此时PQ最大,
∵∠APB=60°,
∴∠APO=∠BPO=30°,
∵AB=6,∴AP=AB=6,∵OA=PO,
PO2-OA2=PA2,
即4OA2-OA2=62,
∴OA=2,
∴PO=2OA=4,OQ=OA=2,
∴PQ=PO+OQ=4+2=6.
【B层 能力进阶】
8.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是(D)
A.32° B.48° C.60° D.66°
9.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:
①PA=PB;
②OP⊥AB;
③四边形OAPB有外接圆;
④M是△AOP外接圆的圆心.
其中正确说法的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,从圆外一点P引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点,C为PB上的一点,连接CO交☉O于点D,若CD∥PA,PA=9,CD=2,则☉O的半径是(D)
A.2 B.2 C.4 D.3
11.(2024·滨州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F,若BF=3,AF=10,则△ABC的面积是 30 .
12.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
求:(1)PA的长.
(2)∠COD的度数.
【解析】(1)∵CA,CE都是☉O的切线,
∴CA=CE,
同理DE=DB,PA=PB,
∴C△PCD=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,即PA=6.
(2)∵∠P=60°,
∴∠PCE+∠PDE=120°,
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°,
∵CA,CE是☉O的切线,
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD;
同理:∠ODE=∠CDB,
∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°,
∴∠COD=180°-120°=60°.
【C层 创新挑战(选做)】
13.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为,AD=2.
(1)求BC的长;
(2)延长AE交BC的延长线于G点,求EG的长.
【解析】(1)过点D作DF⊥BC于点F,如图,
∵AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,
∴四边形ABFD是矩形,AD与BC是☉O的切线,
∴DF=AB=2,BF=AD=2.
∵DE与☉O相切,
∴DE=AD=2,CE=BC,
设BC=x,
则CF=BC-BF=x-2,DC=DE+CE=2+x,
在Rt△DCF中,DC 2=CF 2+DF 2,
即(2+x)2=(x-2)2+(2)2,
解得x=,
即BC=.
(2)∵AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,
∴AD∥BC,
∴△ADE∽△GCE,
∴AD∶GC=DE∶CE,AE∶GE=AD∶GC.
∵AD=DE=2,
∴CG=CE=BC=,
∴BG=BC+CG=5,
∴AE∶GE=4∶5,
在Rt△ABG中,AG==3,
∴EG=AG=.四十四 切线长定理
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=8,则△PCD的周长为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
2.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE= .
3.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为 .
4.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,分别过A,B作☉O的切线,两切线交于点P,已知☉O的半径为1,求△PAB的周长.
知识点2 切线长定理的应用
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE=( )
A. B. C. D.
6.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为 .
7.如图,☉O是△ABC的外接圆,过点A,B两点分别作☉O的切线PA,PB交于一点P,连接OP.
(1)求证:∠APO=∠BPO.
(2)若∠C=60°,AB=6,点Q是☉O上的一动点,求PQ的最大值.
【B层 能力进阶】
8.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是( )
A.32° B.48° C.60° D.66°
9.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:
①PA=PB;
②OP⊥AB;
③四边形OAPB有外接圆;
④M是△AOP外接圆的圆心.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,从圆外一点P引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点,C为PB上的一点,连接CO交☉O于点D,若CD∥PA,PA=9,CD=2,则☉O的半径是( )
A.2 B.2 C.4 D.3
11.(2024·滨州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F,若BF=3,AF=10,则△ABC的面积是 .
12.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
求:(1)PA的长.
(2)∠COD的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
13.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为,AD=2.
(1)求BC的长;
(2)延长AE交BC的延长线于G点,求EG的长.
