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高中数学 必修１
情境问题：
在第3.2.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；
利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？
情境问题：
如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于
(－2，0)点，试根据图象填空 ：
(1)k 0，b 0；
(2)方程kx＋b＝0的解是 ；
(3)不等式kx＋b＜0的解集 ．
x
y
O
－2
方程f (x)＝0的解、不等式f (x)＜0、f (x)＞0的解集
与函数y＝f (x)的图象密切相关：
方程f (x)＝0的解是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标，
如何定义这一数值呢？
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象x轴交于点(－3，0)
和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象并结合图象填空：
(1)方程ax2＋bx＋c ＝0的解是 ；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 ．
图1
－2
x
y
O
－4
2
3
1
数学建构：
函数零点的定义：
一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的根称为一次函数y＝kx＋b的零点．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
的零点．
一般地，对于函数y＝f (x)(x D)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x D)的零点．
数学应用：
例1 函数y＝f (x)(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x)的零点及不等式f (x)＞0与f (x)＜0的解集．
y
x
O
－5
－3
－1
1
3
函数f (x)的零点
x1＝－2
x2＝0
x3＝2
不等式f (x)＞0的解集为
{x|－2＜x＜0或2＜x≤3}
不等式f (x)＜0的解集为
{x|－5≤x＜－2或0＜x＜2}
数学探究：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点、图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的关系．
△＝b2－4ac △＞0 △＝0 △＜0
ax2＋bx＋c＝0的根
y＝ax2＋bx＋c的图象
y＝ax2＋bx＋c的零点
见课本92页表3-4-1
数学应用：
例2 求证：二次函数y＝2x2＋3x－7 有两个不同的零点．
变式练习1．下列区域：(1)(－3，－2)，(2)(－2，－1)，(3)(－1，0)，
(4)(0， 1)，(5)(1，2)，(6)(2，3)，函数y＝2x2＋3x－7的两个零点分别
在其中的区间 上．
(1)
(5)
数学建构：
函数零点存在条件 ：
若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
思考：若x0是二次函数y＝f (x)的零点，且a＜x0 ＜b，那么f (a)·f (b)＜0
一定成立吗？
数学应用：
例3．判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
变式练习2．
(1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______ ．
(2)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是_________；
(3) 二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ；
数学应用：
例4．求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
变式练习3．
已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝ ．
数学应用：
补充例题．若关于x的方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一根在(0，1)内，试确定实数m 的范围．
变式1．已知方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
变式2．已知方程ax2＋2x－1＝0在(0，1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
数学应用：
补充练习1．已知函数f (x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)的两个零点分别是 ， ( ＜ )，则实数a、b、 、 的大小关系用“＜”按从小到大的顺序排列是 ．
2．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，一个小于2，则实数
a的取值范围是 ．
3．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点都大于2，则实数a的取值范围
是 ．
4．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点都小于2，则实数a的取值范围
是 ．
小结：
二次函数与
一元二次方程
函数的零点
二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
函数零点存在的条件
二次函数
的零点
作业：
课本P97－习题2，5．
