四十五 正多边形和圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的作法及应用
1.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱咤风云的拿破仑也不例外.我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆六等分,如图只需在☉O上任取点A,从点A开始,以☉O的半径为半径,在☉O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把☉O六等分.下列可以只用圆规等分的是( )
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分
A.② B.①②
C.①②③ D.①②③④
2.如图,正六边形螺帽的边长是4 cm,那么这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是( )
A.2,2 B.4,4
C.4,2 D.4,
3.如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1,则圆的面积约为正方形面积的 倍.(精确到个位)
知识点2 圆内接正多边形的概念及计算
4.正方形的边长为4,则其外接圆半径的长是( )
A.4 B.2 C.2 D.
5.如果一个正九边形的边长为a,那么这个正九边形的半径是( )
A. B.
C. D.
6.如图,已知正五边形ABCDE,AB=BC=CD=DE=AE,A,B,C,D,E均在☉O上,连接AC,则∠ACD的度数是( )
A.72° B.70° C.60° D.45°
7.如图,正方形ABCD内接于☉O.点E为上一点,连接BE,CE,若∠CBE=15°,
BE=3,则BC的长为( )
A. B. C.3 D.3
【B层 能力进阶】
8.如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则∠BED的度数是( )
A.45° B.30° C.20° D.15°
9.如图,在正六边形ABCDEF的内部以CD为边作正方形CDGT,连接BT,则
tan ∠ABT的值为( )
A. B. C. D.1
10.如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的,OA=OB=2,则正八边形的面积为( )
A.8 B.8 C.8 D.16
11.如图,正五边形ABCDE中,分别以点C,D为圆心,边CD长为半径画弧,两弧交于点F,则∠ABF的大小为 .
12.(2023·杭州中考)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则= .
13.作图与证明:
如图,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF.
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明.
【C层 创新挑战(选做)】
14.已知,正方形ABCD内接于☉O,点P是上一点.连接BP交AC于点E.
(1)如图1,若点P是的中点,求证:CE=CD.
(2)如图2,若图中PE=OE,求的值.四十五 正多边形和圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的作法及应用
1.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱咤风云的拿破仑也不例外.我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆六等分,如图只需在☉O上任取点A,从点A开始,以☉O的半径为半径,在☉O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把☉O六等分.下列可以只用圆规等分的是(C)
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分
A.② B.①②
C.①②③ D.①②③④
2.如图,正六边形螺帽的边长是4 cm,那么这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是(B)
A.2,2 B.4,4
C.4,2 D.4,
3.如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1,则圆的面积约为正方形面积的 14 倍.(精确到个位)
知识点2 圆内接正多边形的概念及计算
4.正方形的边长为4,则其外接圆半径的长是(B)
A.4 B.2 C.2 D.
5.如果一个正九边形的边长为a,那么这个正九边形的半径是(C)
A. B.
C. D.
6.如图,已知正五边形ABCDE,AB=BC=CD=DE=AE,A,B,C,D,E均在☉O上,连接AC,则∠ACD的度数是(A)
A.72° B.70° C.60° D.45°
7.如图,正方形ABCD内接于☉O.点E为上一点,连接BE,CE,若∠CBE=15°,
BE=3,则BC的长为(D)
A. B. C.3 D.3
【B层 能力进阶】
8.如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则∠BED的度数是(D)
A.45° B.30° C.20° D.15°
9.如图,在正六边形ABCDEF的内部以CD为边作正方形CDGT,连接BT,则
tan ∠ABT的值为(D)
A. B. C. D.1
10.如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的,OA=OB=2,则正八边形的面积为(A)
A.8 B.8 C.8 D.16
11.如图,正五边形ABCDE中,分别以点C,D为圆心,边CD长为半径画弧,两弧交于点F,则∠ABF的大小为 42° .
12.(2023·杭州中考)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则= 2 .
13.作图与证明:
如图,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF.
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明.
【解析】(1)如图1,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交☉O于点B,F,C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF即为☉O的内接正六边形.
(2)四边形BCEF是矩形.
理由:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=AF=DE=DC,FE=BC,
∴===,∴BF=CE,
∴四边形BCEF是平行四边形,
∵∠EOD=60°,OE=OD,
∴△EOD是等边三角形,
∴∠OED=∠ODE=60°,
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°,
∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,
∴∠CEF=∠DEF-∠CED=90°,
∴平行四边形BCEF是矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.已知,正方形ABCD内接于☉O,点P是上一点.连接BP交AC于点E.
(1)如图1,若点P是的中点,求证:CE=CD.
(2)如图2,若图中PE=OE,求的值.
【解析】(1)如图1,连接DE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OB=OD=OC,
∴EB=ED,∠ODC=∠OCD=45°,
∴∠EBD=∠EDB,
∵点P是的中点,
∴∠PBD=∠ABD=×∠AOD=22.5°,
∴∠EDC=45°+22.5°=67.5°,
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠CED=∠EDC,∴CE=CD.
(2)如图2,连接DE,DP,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠EOD=90°,OA=OD,
∴∠P=∠BAD=90°,
∵PE=OE,∴∠PDE=∠2,由(1)知∠1=∠2,
∴∠1=∠2=∠PDE,
∵∠1+∠2+∠PDE=90°,∴∠2=30°,
∴OE=DE,∴DE=2OE,
∴OD==OE,
∴OD=OA=OE,
∴AE=OA-OE=(-1)OE,
EC=OE+OC=(+1)OE,
∴==2-.
