四十六 弧长及扇形的面积
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.(2024·菏泽期中)如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了( )
A.π cm B.2π cm C.3π cm D.4π cm
2.(2023·吉林中考)如图①,A,B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图②是其示意图,点O是圆心,半径r为15 m,点A,B是圆上的两点,圆心角∠AOB=120°,则的长为 m.(结果保留π)
3.如图,已知☉O的半径为2,AB是☉O的弦.若AB=2,则的长为 .
知识点2 扇形及相关图形阴影面积的计算
4.(2023·新疆建设兵团中考)如图,在☉O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A.12π B.6π C.4π D.2π
5.(2023·连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π-20 B.π-20
C.20π D.20
6.已知扇形的圆心角为120°,扇形的面积为27π,则扇形的半径长为 .
7.(2023·南通中考)如图,等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°,☉O和底边AB相切于点C,并与两腰OA,OB分别相交于D,E两点,连接CD,CE.
(1)求证:四边形ODCE是菱形;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【B层 能力进阶】
8.(2023·张家界中考)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于( )
A.π B.3π C.2π D.2π-
9.(2023·济南中考)如图,正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心,以AB为半径作弧BE,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
10.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若
∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 (结果保留π).
11.(2023·金华中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6 cm,∠BAC=50°,以AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,则弧DE的长为 cm.
12.(2023·江西中考)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2023·枣庄中考)如图,AB为☉O的直径,点C是的中点,过点C作射线BD的垂线,垂足为E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若BE=3,AB=4,求BC的长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).四十六 弧长及扇形的面积
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.(2024·菏泽期中)如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(D)
A.π cm B.2π cm C.3π cm D.4π cm
2.(2023·吉林中考)如图①,A,B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图②是其示意图,点O是圆心,半径r为15 m,点A,B是圆上的两点,圆心角∠AOB=120°,则的长为 10π m.(结果保留π)
3.如图,已知☉O的半径为2,AB是☉O的弦.若AB=2,则的长为 π .
知识点2 扇形及相关图形阴影面积的计算
4.(2023·新疆建设兵团中考)如图,在☉O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是(B)
A.12π B.6π C.4π D.2π
5.(2023·连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是(D)
A.π-20 B.π-20
C.20π D.20
6.已知扇形的圆心角为120°,扇形的面积为27π,则扇形的半径长为 9 .
7.(2023·南通中考)如图,等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°,☉O和底边AB相切于点C,并与两腰OA,OB分别相交于D,E两点,连接CD,CE.
(1)求证:四边形ODCE是菱形;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OC,
∵☉O和底边AB相切于点C,∴OC⊥AB.
∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.
∵OD=OC,OC=OE,∴△ODC和△OCE都是等边三角形,∴OD=OC=DC,OC=OE=CE,
∴OD=CD=CE=OE,∴四边形ODCE是菱形.
(2)连接DE交OC于点F,
∵四边形ODCE是菱形,∴OF=OC=1,DE=2DF,∠OFD=90°,
在Rt△ODF中,OD=2,∴DF===,∴DE=2DF=2,
∴S阴影部分=S扇形ODE-S菱形ODCE=-OC·DE=-×2×2=-2.
【B层 能力进阶】
8.(2023·张家界中考)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于(B)
A.π B.3π C.2π D.2π-
9.(2023·济南中考)如图,正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心,以AB为半径作弧BE,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
10.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若
∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 (结果保留π).
11.(2023·金华中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6 cm,∠BAC=50°,以AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,则弧DE的长为 π cm.
12.(2023·江西中考)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
【解析】(1)连接OE,∵∠ADE=40°,
∴∠AOE=2∠ADE=80°,
∴∠EOB=180°-∠AOE=100°.
∵AB=4,∴☉O半径长是2,
∴的长==.
(2)∵∠EAB=∠EOB=50°,
∴∠BAC=∠EAD-∠EAB=76°-50°=26°.
∵∠C=64°,∴∠C+∠BAC=90°,
∴∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=90°,
∴直径AB⊥BC,∴CB为☉O的切线.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2023·枣庄中考)如图,AB为☉O的直径,点C是的中点,过点C作射线BD的垂线,垂足为E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若BE=3,AB=4,求BC的长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).
【解析】(1)如图,连接OC,
∵点C是的中点,∴=,
∴∠ABC=∠EBC.
∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB,
∴∠EBC=∠OCB,∴OC∥BE.
∵BE⊥CE,∴半径OC⊥CE,
∴CE是☉O的切线.
(2)如图,连接AC,
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CEB=90°,
∵∠ABC=∠CBE,
∴△ACB∽△CEB,
∴=,
∴=,
∴BC=2.
(3)如图,连接OD,CD,
∵AB=4,
∴OC=OB=2,
在Rt△BCE中,BC=2,BE=3,
∴cos∠CBE===,
∴∠CBE=30°,
∴∠COD=60°,
∴∠AOC=60°.
∵OC=OD,
∴△COD是等边三角形,
∴∠OCD=60°,
∴∠OCD=∠AO C,
∴CD∥AB,
∴S△C OD=S△C BD,
∴S阴影=S扇形COD==π.
