四十七 圆锥的侧面积
【A层 基础夯实】
知识点1 圆锥的侧面积和全面积
1.已知圆锥的母线长为2,底面半径为1,则该圆锥的侧面展开图的面积为( )
A.π B.π C.2π D.4π
2.如图,圆锥的高h=2 cm,底面圆半径r=2 cm,则圆锥的全面积为( )
A.12π cm2 B.8π cm2
C.4π cm2 D.(4+4)π cm2
3.已知圆锥的侧面积是8π,母线长是4,则这个圆锥的底面圆周长是( )
A.20π B.10π C.5π D.4π
4.若圆锥的底面半径为5 cm,侧面积为20π cm2,则圆锥的母线长是 cm.
5.用铁皮制作圆锥形容器盖,其尺寸要求如图所示.
(1)求圆锥的高;
(2)求所需铁皮的面积S(结果保留π).
知识点2 与圆锥侧面积有关的计算
6.沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的母线l长为5 cm,底面圆的半径r=3 cm,则展开的扇形的圆心角θ的度数是( )
A.216° B.206° C.108° D.103°
7.(2023·内江中考)如图,用圆心角为120°,半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的高是 .
8.现有一张圆心角为108°,半径为40 cm的扇形纸片,小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后,将剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 .
9.如图,在单位长度为1的正方形网格中,经过格点A,B,C.
(1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置,并连接AM,CM;
(2)在平面直角坐标系中,圆心M的坐标为________;☉M的半径为________(结果保留根号);
(3)若用扇形AMC围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆半径是________.
【B层 能力进阶】
10.如图是一个机器零件的三视图,根据标注的尺寸,这个零件的表面积(单位:mm2)是( )
A.24π B.21π C.20π D.16π
11.若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°,圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是( )
12.如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=12 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则圆锥的全面积为( )
A.14π cm2 B.16π cm2
C.18π cm2 D.20π cm2
13.把一个有两边长为3,4的直角三角形,绕其较短的直角边旋转360°后得到一个圆锥,则这个圆锥的侧面积是 .
14.如图,AB是圆锥底面的直径,AB=6 cm,母线PB=9 cm,点C为PB的中点,若一只蚂蚁从A点处出发,沿圆锥的侧面爬行到C点处,则蚂蚁爬行的最短路程为
.
15.如图,一个圆锥的底面半径为5 cm,母线长为20 cm.
(1)求它的全面积和侧面展开图的圆心角;
(2)有一只小虫从点A出发沿着圆锥侧面绕一圈爬行到母线SA的中点B处,它爬行的最短路程是多少
【C层 创新挑战(选做)】
16.如图,从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的最大扇形ABC.
求:(1)剪掉后的剩余部分的面积;
(2)用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少
(3)如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底,请问是否够用 四十七 圆锥的侧面积
【A层 基础夯实】
知识点1 圆锥的侧面积和全面积
1.已知圆锥的母线长为2,底面半径为1,则该圆锥的侧面展开图的面积为(C)
A.π B.π C.2π D.4π
2.如图,圆锥的高h=2 cm,底面圆半径r=2 cm,则圆锥的全面积为(A)
A.12π cm2 B.8π cm2
C.4π cm2 D.(4+4)π cm2
3.已知圆锥的侧面积是8π,母线长是4,则这个圆锥的底面圆周长是(D)
A.20π B.10π C.5π D.4π
4.若圆锥的底面半径为5 cm,侧面积为20π cm2,则圆锥的母线长是 4 cm.
5.用铁皮制作圆锥形容器盖,其尺寸要求如图所示.
(1)求圆锥的高;
(2)求所需铁皮的面积S(结果保留π).
【解析】(1)如图,
在Rt△AOB中,根据勾股定理,
AO===30( cm),
∴圆锥的高为30 cm;
(2)×80π×50=2 000π( cm2),
答:所需铁皮的面积为2 000π cm2.
知识点2 与圆锥侧面积有关的计算
6.沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的母线l长为5 cm,底面圆的半径r=3 cm,则展开的扇形的圆心角θ的度数是(A)
A.216° B.206° C.108° D.103°
7.(2023·内江中考)如图,用圆心角为120°,半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的高是 4 .
8.现有一张圆心角为108°,半径为40 cm的扇形纸片,小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后,将剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 18° .
9.如图,在单位长度为1的正方形网格中,经过格点A,B,C.
(1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置,并连接AM,CM;
(2)在平面直角坐标系中,圆心M的坐标为________;☉M的半径为________(结果保留根号);
(3)若用扇形AMC围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆半径是________.
【解析】(1)如图,点M,AM,CM为所作.
(2)如图,圆心M的坐标为(2,0);
AM==2,
即☉M的半径为2.
答案:(2,0) 2
(3)设该圆锥的底面圆半径为r,
∵AM=CM=2,AC==2,
∴AM 2+CM 2=AC 2,
∴△AMC为直角三角形,∠AMC=90°.
根据题意得2πr=,
解得r=,
即该圆锥的底面圆半径为.
答案:
【B层 能力进阶】
10.如图是一个机器零件的三视图,根据标注的尺寸,这个零件的表面积(单位:mm2)是(A)
A.24π B.21π C.20π D.16π
11.若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°,圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是(A)
12.如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=12 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则圆锥的全面积为(D)
A.14π cm2 B.16π cm2
C.18π cm2 D.20π cm2
13.把一个有两边长为3,4的直角三角形,绕其较短的直角边旋转360°后得到一个圆锥,则这个圆锥的侧面积是 12π或20π .
14.如图,AB是圆锥底面的直径,AB=6 cm,母线PB=9 cm,点C为PB的中点,若一只蚂蚁从A点处出发,沿圆锥的侧面爬行到C点处,则蚂蚁爬行的最短路程为
cm .
15.如图,一个圆锥的底面半径为5 cm,母线长为20 cm.
(1)求它的全面积和侧面展开图的圆心角;
(2)有一只小虫从点A出发沿着圆锥侧面绕一圈爬行到母线SA的中点B处,它爬行的最短路程是多少
【解析】(1)设它的侧面展开图的圆心角为n°,
根据题意得2π×5=,解得n=90,
所以它的侧面展开图的圆心角为90°.
全面积=×2π×5×20+π×52=125π(cm2).
(2)如图,连接AB',则线段AB'为它爬行的最短路线,
∵B点为SA的中点,
∴B'点为SA'的中点,
∴SB'=10 cm,
在Rt△SAB'中,AB'==10(cm),
即它爬行的最短路程是10 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
16.如图,从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的最大扇形ABC.
求:(1)剪掉后的剩余部分的面积;
(2)用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少
(3)如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底,请问是否够用
【解析】(1)连接BC,
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴BC=1米,∠ABC=∠ACB=45°,
∴AB=AC=BCcos 45°=,
∴S扇形ABC==(平方米),
则剪掉后的剩余部分的面积为
π×()2-=-=(平方米);
(2)设该圆锥的底面半径是r米,
用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥,底面圆的周长为=π(米),则π=2πr,解得r=米,该圆锥的底面半径是米;
(3)如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底,不够用.理由如下:
如图,剪掉的部分中③的面积最大.
连接AO并延长交于点D,交☉O于点E,则DE=1-.
由(2)可知,能与扇形围成圆锥的底面圆的直径d=2r=2×=(米),又∵DE=
1-
