(共56张PPT)
§2.8 函数与方程
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思想方法·感悟提高
练出高分
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与 有交点 函数y＝f(x)有 .
f(x)＝0
x轴
零点
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间
内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个
也就是方程f(x)＝0的根.
f(a)·f(b)<0
(a，b)
f(c)＝0
c
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 无交点
零点个数
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
2
1
0
3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
×
×
√
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个.( )
(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1
×
×
√
－1
(a，b)和(b，c)
3
解析
由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为 .
解析
答案
思维升华
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
令f(x)＝ex－x－2，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－2－2＝e2－4＝7.39－4＝3.39>0.
∴f(x)的零点在区间(1,2)内，∴k＝1.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为 .
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
解析
答案
思维升华
令f(x)＝ex－x－2，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－2－2＝e2－4＝7.39－4＝3.39>0.
∴f(x)的零点在区间(1,2)内，∴k＝1.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为 .
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
1
解析
答案
思维升华
函数零点的求法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为 .
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
1
解析
答案
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(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为 .
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
1
解析
答案
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(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为 .
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
1
解析
答案
思维升华
解析
答案
思维升华
当x>0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，x>0时，f(x)有两个零点；
解析
答案
思维升华
当x<0时，由f(x)＝0得x＝－ ，
综上，f(x)有三个零点.
解析
答案
思维升华
当x<0时，由f(x)＝0得x＝－ ，
综上，f(x)有三个零点.
3
解析
答案
思维升华
函数零点的求法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
3
解析
答案
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(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3
解析
答案
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(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点.
3
解析
答案
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解析 ∵f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 .
①(－2，－1) ②(－1,0)
③(0,1) ④(1,2)
故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点.
f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，
∴f(－1)·f(0)<0.
②
跟踪训练1 (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 .
解析 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：
跟踪训练1 (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 .
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
4
解析
思维升华
题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
解 因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，
所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2－3x＋2，
题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
解析
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解得x≤ 或x≥1，
所以不等式f(x)≥1－x2的解集为{x|x≤ 或x≥1}.
题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
解析
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解决二次函数的零点问题：
(1)可利用一元二次方程的求根公式；
(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系；
(3)利用二次函数的图象列不等式组.
题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
解析
思维升华
解析
思维升华
例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
解 函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，
例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
解析
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例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
所以实数a的取值范围是(－5，－2 ).
解析
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解决二次函数的零点问题：
(1)可利用一元二次方程的求根公式；
(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系；
(3)利用二次函数的图象列不等式组.
例2 (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
解析
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跟踪训练2 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.
解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，
∴－2跟踪训练2 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.
方法二 函数图象大致如图，
则有f(1)<0，
即1＋(a2－1)＋a－2<0，
故－2题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
解析
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题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
解 方法一 (换元法)
设t＝2x (t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根.
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
解析
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题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，
解析
思维升华
题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；
③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－ >0，解得a＝－1.
解析
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题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
综上，a的取值范围是(－∞，2－2 ].
方法二 (分离变量法)
解析
思维升华
题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
解析
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题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
解析
思维升华
对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数.
题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
解析
思维升华
跟踪训练3 (2014·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋ |.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 .
解析 作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝ ，观察图象可得0思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例：(1)方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是 .
利用零点存在性定理；
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例：(1)方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是 .
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例：(1)方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是 .
设f(x)＝log3x＋x－3，
则f(2)＝log32－1<0，
f(3)＝log33＋3－3＝1>0，
∴f(x)＝0在(2,3)有零点，
又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内.
(2,3)
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
(1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．
(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例：(1)方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是 .
(2,3)
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2利用临界情况时f(x)的图象观察零点的大小.
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2在直角坐标系下分别作出y＝log2x，y＝log3x及y＝3－x，y＝4－x的图象，如图所示，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，故n＝2.
2
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当22
思 维 点 拨
解 析
温 馨 提 醒
(1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．
(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.
方 法 与 技 巧
1.函数零点的判定常用的方法有
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
2.研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点.
3.转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
失 误 与 防 范
1.函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.