(共16张PPT)
3.4.1函数与方程
淮安市新马高级中学 孟祥海
苏教版 高一年级必修一
你会求下列方程的实数根吗？
问题2：方程 的实数根怎么求呢？
lgx+2x-6=0
2x-1=0
(1)
(2) x2-4x-5=0
问题1：
我的根有点难找哦！
在2010年第六期《科学》杂志中有一篇为纪念华罗庚诞辰100周年的文章——《一元五次方程求解的往事和近闻》 ，该文章中介绍了早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，但在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了，直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解 ，即不存在用公式直接求解。
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c
（a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0) 的根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象与
x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
没有交点
有两个相等的实数根x1 = x2
没有实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
(x1,0)
问题3：
完成下表，并观察方程的根与对应的函数图像之间有什么关系？
结论：一元二次方程有实数根就是对应的二次函数图象与x轴有交点。
一元二次方程的实数根，即对应的二次函数图像与x轴交点的横坐标。
（三）总结归纳，形成概念
函数 的图像与 轴有交点
方程 有实数根
函数 有
零点
函数零点的定义：
一般地，我们把使函数
的值为0
的实数
称为函数 的零点。
例1：
求下列函数的零点
（四）概念巩固与体会
"数"的角度：
"形"的角度：
即是使f(x)=0成立的实数，即方程的实数根
即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
求方程f(x)=0的根
求函数y=f(x)的零点
找函数y=f(x)的图像
与x轴交点的横坐标
函数零点的理解：
（五）自主探究，深化概念
观察1
（1）如图，请观察，这是某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个不间断的函数图像）。由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度。你能帮助他吗？
①在7时～11时，即区间（7,11）上温度会不会出现0摄氏度呢？
②若在区间（7，11）上会出现0摄氏度，那么可以有几次？
在什么条件下有且只有一次呢？
观察2 函数y=f(x)在其零点附近的函数值正负的变化情况.
（1）f(a)f(b)__0,
<
函数在开区间（a，b）内有零点；
函数在开区间（b，c）内有零点；
（2）f(b)f(c)__0,
<
函数在开区间
（c，d）内有零点；
（3）f(c)f(d)__0,
<
通过这一组函数值正负变化情况，你能猜想有什么样的结论？
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上
有f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根
探究1：若f(a)f(b)﹤0，则y=f(x)在区间(a,b)上一定有零点吗？
是一条不间断曲线，且
猜想：
函数零点存在定理
探究2：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上不间断， f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)是否一定没有零点？
探究3：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上不间断，且f(a)f(b)﹤0，那
么函数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？
探究4：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上不间断，且在(a,b)上有零点，
那么f(a)f(b)﹤0一定成立吗？
注意：
（1）定理的条件有： 图像必须是不间断的，区间端点处
的函数值的正负必须是互异的！
（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也要作进
一步判断！（当函数在区间上单调时，零点是唯一的。）
的图象
（六）感知定理，学习应用
例2.判断函数 在区间
上是否存在零点？
0
y
x
1
2
3
4
-1
-2
2
4
试讨论该函数零点的个数
0
y
x
1
2
3
4
-1
-2
2
4
试讨论该函数零点的个数
（1）一个定义： 函数的零点
一个定理：零点存在定理
一个关系：函数与方程的关系
（七）反思小结，体会收获
（3）渗透了 、 的思想
（2）判断函数零点是否存在可以考虑用：
函数图象、
零点存在定理等
函数与方程
数形结合
解方程的根、
