(共15张PPT)
画二次函数y=x2-2x-3的图象。
问题情境
3
x
y
o
-4
1
-1
二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标；
就是二次函数y=x2-2x-3的函数值为0时自变量x的值。
就是二次方程x2-2x-3=0的实数根。
x称为此二次函数的零点
当a＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点、二次函数
图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根之间的关系．
△＝b2－4ac △＞0 △＝0 △＜0
ax2＋bx＋c＝0
的根
y＝ax2＋bx＋c
的图象
y＝ax2＋bx＋c
的零点
数学探究：
函数的零点定义
一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x) 的零点(zeropoint) 。
思考：（1）零点是不是点？
（2）是不是任何函数都有零点？
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0的实数根（数）
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标（形）
数缺形时少直观
形少数时难入微
数形结合百般好
割裂分家万事休
数学建构：
例1、求证：函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点。
数学应用：
证明：考察二次方程x2－2x－1=0。
因为△=（-2）2－4×（-1）=8＞0
所以方程x2－2x－1=0有两个不相等的实数根。
因此，二次函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点。
解法1
例1、求证：函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点？
数学应用：
证明：设f(x)=x2-2x-1,则 f(1)=－2<0。
因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断），
这表明此图象一定穿过x轴，
所以f(x)的图象与x轴有两个不同的交点。
因此，二次函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点。
解法2
变式1:判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
例1、求证：函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点？
解：令f(x)=0,求得方程的两个根分别为：
因此，函数在区间（2,3）上存在零点。
数学应用：
解法1
变式1:判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
例1、求证：函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点？
数学应用：
变式1:判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
例1、求证：函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点？
解：因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0，
而此函数在区间[2,3]上的图象是不间断的，
这表明此函数图象在区间（2,3）上一定穿过x轴，即函数在区间（2,3）上存在零点。
x
y
o
1
2
3
数学应用：
解法2
变式1:判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
例1、求证：函数f(x)＝x2－2x－1有两个不同的零点？
变式2:判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(-1，0)上是否存在零点？
变式3:将上述区间变为（1，2）、（-2，-1）结果怎样？
数学应用：
x
y
o
1
2
设问：如何判断函数在区间（a，b）上是否存在零点？
计算f(a)、f(b)
f(a)f(b)<0
是
否
函数在(a，b)上存在零点
函数在(a，b)不一定存在零点
函数零点存在结论
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0,则函数y＝f(x)在（a，b）上有零点。
思考：
如果x0是函数y＝f(x)的零点，且m< x0想一想？
例2．求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
变式练习：已知函数f(x)＝x3+x2＋1在R上有且只有一个零点，且该零点在区间（t，t＋1）上，则整数t＝ ．
证明：
且函数的图象在区间[－2,－1]上的图象是不间断的， 所以，函数在区间（－2,－1）上存在零点。
数学应用：
因为f(-2)=-3＜0, f(-1)=1＞0,
巩固练习：
（1）已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x,f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 个。
(2)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围 ；
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