人教版九年级上册数学 第21章一元二次方程 单元测试题（含解析）

九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元测试题
满分：120分；考试时间：120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（本题3分）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（　　）
A．8 B．﹣1 C．0 D．2
3．（本题3分）已知是关于x的方程的一个根，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）方程的解是（　　）
A．， B．
C． D．
5．（本题3分）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（本题3分）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述中，正确的是（　　）
A． B．
C．
D．
7．（本题3分）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．13 B．18 C．22 D．26
8．（本题3分）如图，正方形内接于．已知和的面积分别是，和，，那么正方形的边长是（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（本题3分）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（本题3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ．
12．（本题3分）关于 x 的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是
13．（本题3分）关于x的一元二次方程的常数项为，则m值为 ．
14．（本题3分）方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m= ．
15．（本题3分）定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ．
16．（本题3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为 ．

17．（本题3分）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ．
18．（本题3分）在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为和；乙看错了常数项，得出的两根为8和2．则这个方程为： ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解下列方程：
(1) ；
(2)．
20．（本题8分）已知实数是的根，不解方程，求的值．
21．（本题10分）“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖．年估计某村养殖面积有亩，到年该村养殖面积达到亩．
(1)求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；
(2)某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价1元，每天可多售出千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为元/千克，若要确保每天获利元，则售价应该降低多少元？
22．（本题10分）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．
23．（本题10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
24．（本题10分）聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
(1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
(2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
25．（本题10分）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程；
综上：是一元二次方程的有3个；
故选C．
2．D
【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：方程可化为：x2+4x﹣3＝0，
二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．
所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求参数，将代入方程求解即可．
【详解】解：是关于x的方程的一个根，
，
解得：，
故选：A．
4．A
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴；
∴，；
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法的应用．
5．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解．
【详解】解析：∵，
设，则，
∵，
∴，
即，
解得：，（舍去），
∴线段的长为米．
故选：B．
6．B
【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出、、的值即可．
【详解】，
移项，得，
这里，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
7．C
【分析】先利用因式分解法解方程，再由三角形三边关系判断出第三边的长度范围，从而确定周长的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵x2 13x＋36＝0，
∴（x 4）（x 9）＝0，
则x 4＝0或x 9＝0，
解得x1＝4，x2＝9，
则此三角形的第三边的范围为，故其周长的范围为周长．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．D
【分析】先设正方形的边长为，求得的高，然后分别求出，利用三角形的面积即可求得正方形的边长．
【详解】解：设正方形的边长为，
则的面积为：，
的高为正方形的边长加上的高，即，
底为：，由和得， ， ，
则底为：，
所以，
解得（舍去），
经检验：是原方程的解.
故选：D
【点睛】本题考查了正方形的性质，一元二次方程的应用，掌握正方形的性质是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，解得，
故选项D中的5不符合题意，
故选：D．
10．C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
11．//
【分析】本题考查一元二次方程解的意义和根与系数的关系，结合已知条件列的关于k的方程式解题的关键，根据一元二次方程解的意义以及其根与系数的关系列的K的方程，解得方程即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，即．
将其代入，得，
即，
∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，．
将其代入，
得．
解得，
故答案为．
12．且
【分析】根据二次项系数非零以及，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查根的判别式．解题的关键是掌握，一元二次方程有两个实数根．注意二次项系数非零．
13．0
【分析】根据一元二次方程的定义可得，进而即可求得的值．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】根据题意，
，
解得，
又，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键，需要注意二次项系数a≠0．
14．1
【详解】试题解析：x2+2x-1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2，
则m=1；
故答案为1．
15．或
【详解】本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程即可求解．
【分析】解：由题意可得：
整理，得：
解得：
故答案为：或 ．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为米，由题意有
，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有
．
故答案为：．
17．3
【分析】先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值即可．
【详解】由题意得：，，
∴，
∴，
解得：或，
经检验：或是原方程的解，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴不符合题意，舍去，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识．
18．
【分析】先分别确定甲乙看错的方程，然后即可得出原方程．
【详解】解：甲看错的方程为：，
∵看错了一次项系数，
∴常数项为9；
乙看错的方程为：，
∵看错了常数项，
∴一次项系数；
所以原方程为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的解及确定一元二次方程，熟练掌握因式分解法的逆用是解题关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）先移项得，再利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解：，
，
或，
∴，．
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．
【详解】解：∵实数是的根，
∴，即，
由
，
，
，
∵，
∴原式，
．
21．(1)
(2)元
【分析】（1）设平均增长率为，则根据，即可列出方程．其中，，，．
（2）设售价降低元，则每天的数量为千克，根据总利润单利数量，即可列出方程，因为减少存量，则取较大的解即可．
【详解】（1）设平均增长率为，
，
，
（舍），，
答：平均增长率为．
（2）设售价降低元，
，
，
，，
减少存量，
．
答：降元可获利元，同时减少了存量．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是关键；本题还需要注意数量的表示．
22．(1)见解析
(2)当时，或，当时，或
【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论；
（2）由根与系数的关系可求得和的值，代入已知等式可得到关于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是上述方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，即，解得或，
当时，方程为，解得或，
当时，方程为，解得或．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．
23．20元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键．
设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元列方程求解即可．
【详解】解：设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出件，
由题意得：，
即，
∴，
∴，解得：或
由于为了减少库存，所以．
故买件衬衫应应降价20元．
24．(1)
(2)21个小区
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金金额2021年投入资金金额（年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）用2024年投入的费用除以改造的平均费用即可求解．
【详解】（1）解：设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为；
（2）解：．
答：该市在2024年最多可以改造21个小区．
25．(1)降价前商场每天销售该商品的利润是1800元
(2)每件商品应降价30元
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量解答；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）（270﹣210）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）设每件商品应降价x元，
由题意，得 （270﹣x﹣210）（30+3x）＝3600，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页