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2024～2025学年9上第3章 对圆的进一步认识（青岛版）
数学问卷
时间：120分钟 分值 ：120分
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5 B．π C． D．π
2．（本题3分）如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
3．（本题3分）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，是的直径， ，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P．BC＝6，则B到CP的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（本题3分）如图，阴影部分是从一块直径为的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中是等边三角形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）
A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5
9．（本题3分）如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（本题3分）在平面直角坐标系中，的半径为1，A，B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
①如图，平移线段到的长度为1的弦和，则；
②如图，平移后弦和间的距离为；
③若点A，B都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值为；
④若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为，则的最小值为1．
上面结论正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）如图，在中，，经过点、点，且交边BC于点，点在上，则 度．
12．（本题3分）如图，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则 ，图中阴影部分的面积为 结果保留．
13．（本题3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是 形．
14．（本题3分）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D．若，则半圆O的半径为 ．
15．（本题3分）如图，扇形OAB和扇形OCD所在的圆是同心圆，其圆心为O，OA=2，∠COA=15°，∠AOB=60°，则阴影部分的面积为 ．
16．（本题3分）如图，正方形的边长为4，的半径为1，若在正方形外运动（可以与该正方形的边相切），则绕正方形运动一周回到起点时，圆心O移动路径长的最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题6分）如图，矩形与⊙O交于点，点为⊙O上一点，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作出过点的切线；
（2）在图2中作一个圆周角，使这个角的正切值为．
18．（本题6分）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长.
19．（本题8分）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：．
20．（本题8分）如图，为的直径，弦、相交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求圆的半径长度．
21．（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD＝6，AE＝1，求⊙O的半径．
22．（本题10分）已知分别与相切于点为上一点．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若四边形为菱形，求的大小．
23．（本题12分）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H．
(1)求线段的长；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
24．（本题12分）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．绝密★启用前
2024～2025学年9上第3章 对圆的进一步认识（青岛版）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C C B A B C
11．140
【分析】连接、、、，利用圆的性质和多边形内角和的性质即可求解．
【详解】解：连接、、、，
∵，
∴，，
∵两个三角形、内角和为
∴
即，
∵在中，，
∴
∴
故答案为：140
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是熟练运用数形结合的思想列出角的关系式．
12．
【分析】先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：，
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
13．矩．
【详解】试题解析：连接AC、BC、BD、AD，
∵AB、CD为圆O的直径，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ACBD为矩形．
考点：1.圆周角定理；2.矩形的判定．
14．6
【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，连接，利用切线的性质得到，设半圆O的半径为r，则．结合勾股定理列得，求出r即可．
【详解】连接，如解图所示．
∵与半圆O相切于点D，
∴．
设半圆O的半径为r，则．
在中， ，
解得
∴半圆O的半径为6．
15．．
【详解】试题分析：可以先求扇形COD的面积减去三角形COD的面积得到弓形CD的面积，减去环形AB的面积就是阴影的面积．
试题解析：根据分析计算得：阴影部分的面积为：．
考点：扇形的计算
16．
【分析】根据题意可知当圆O与正方形的边相切时，圆心O移动的路径最短，由此求解即可．
【详解】解：根据题意可知当圆O与正方形的边相切时，圆心O移动的路径最短，
如图所示，虚线部分即为圆心O的运动轨迹，即圆心O的运动路径长为圆O的周长+正方形周长，
∴圆O的运动周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够知晓圆O与正方形的边相切时，圆心O移动的路径最短．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OB，AC，交于点E，过点D，E作直线，即可；
（2）延长AO交⊙O于点E，连接CE交⊙O于点F，连接AF，即可．
【详解】（1）如图1，即为所求．
（2）如图2，即为所求．
【点睛】本题主要考查圆的切线和圆周角以及正切三角函数的定义，理解切线的定义和圆周角的定义，是解题的关键．
18．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，.
∴，
∴
∵，且，
∴.
∴
【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．
19．见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．
【详解】证明：连接．
在中，，
，
，、分别是半径和的中点，
，
，
，
．
20．(1)证明见详解
(2)3
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，圆心角与弧的关系，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得，结合即可得到，继而得证；
（2）先由等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得，在中运用锐角三角函数求出，最后在中，运用勾股定理建立方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵在中，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，垂足记为点F ，，
∵，，
∴，
∴，
在中，由
得：，
解得：，
∴圆的半径长度为3．
21．
【分析】连接，由垂径定理可得，，设半径为，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴
设半径为，则
由勾股定理得：，即
解得
⊙O的半径为
【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
22．（1）80°；（2）60°
【分析】（1）连接，，根据切线的性质得到，根据圆周角与圆心角的性质得到，再利用四边形的内角和即可求解；
（2）连接，，根据切线的性质得到，根据圆周角与圆心角的性质得到，由菱形的性质得到，得到，故，故可求解．
【详解】（1）连接，．
∵分别与相切于点A，B，，为的半径，
∴．
∴．
∵，∴．
∴．
（2）连接．
∵分别与相切于点A，B，，为的半径，
∴．
∴．
∵四边形为菱形，∴．
∵，∴．
∴．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知切线的性质、圆周角定理及菱形的性质．
23．(1)
(2)或；
(3)的度数是定值，
【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理进行列式即可求解；
（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求，，的长，通过证明，可得，即可求解；
（3）先证点，点，点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： 四边形是菱形，
，，，，
，，
；
（2）解：当时，
四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
∴，
，
；
当时，
，
，
，，
，
∴，
，
；
综上所述：或；
（3）解：的度数是定值，理由如下：
如图，取的中点，连接，，，
是的垂直平分线，
，，
，
又点是的中点，
，
点是的中点，，
，
点，点，点三点共线，
点是的中点，，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
．
24．(1)
(2)
【分析】
（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）
解： 为的直径，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
解：连接，
设，
则，，，
为的直径，
，
在中，，
由（1）得，，
，
，，
，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
是的切线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
