人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元检测（含解析）

人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 单元检测
考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共33分）
1．（本题3分）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
2．（本题3分）已知函数是二次函数，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
3．（本题3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）抛物线与y轴交于点，过点作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
5．（本题3分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）已知二次函数，点、在该函数图像上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
7．（本题3分）如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点为，直线与抛物线交与A、B两点，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根：①抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中结论正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（本题3分）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　）
A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或
9．（本题3分）已知 ，在同一直角坐标系中，函数与的图像有可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．或
11．（本题3分）二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中，，，均为常数)
甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
二、填空题（共18分）
12．（本题3分）抛物线经过和两点，则a值为 ．
13．（本题3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为 -，其中正确的结论个数有 （填序号）
14．（本题3分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点，则AB＝ ．
15．（本题3分）如图，拱桥呈抛物线形，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降2.5m 时，水面宽度变为 ．
16．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是 ．
17．（本题3分）已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ．
三、解答题（共69分）
18．（本题12分）如图，一座抛物线形的拱桥，其形状可以用来描述．
(1)当水面到拱桥顶部的距离为时，水面的宽为多少？
(2)当水面宽为时，则水面到桥拱顶部的距离为多少？
19．（本题14分）探究问题1：
（1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
20．（本题14分）端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店以元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近，，，，五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．
【数据整理】
将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：
售价/元/盒
日销售量/盒
【模型建立】
（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
【拓广应用】
（2）①要想每天获得元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
21．（本题14分）二次函数图象的顶点坐标是，并经过点，求：
(1)二次函数表达式．
(2)当取什么值时，随的增大而减小？
22．（本题15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方拋物线上任意一点，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点，，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点平移后的对应点为，为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D B A B B C B
题号 11
答案 A
1．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．B
【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据定义解题即可．
【详解】解：根据二次函数定义，得：，且，
解得，
故选：B．
3．A
【详解】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式．先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到平移后对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移2个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为，
所以平移后的抛物线解析式为．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得，是关于抛物线对称轴对称的点，再分三种情况：若，即和在轴右侧（包括在轴上）；当时，即和在轴左侧（包括在轴上）；当，即在轴左侧，在轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：在中，令，得，
令，，
∴，是关于抛物线对称轴对称的点，
若，即和在轴右侧（包括在轴上），则点经过翻折得，点经过翻折得，如图：
由对称性可得：，此时不满足；
当时，即和在轴左侧（包括在轴上），则点即为，点即为，
∴，此时不满足；
当，即在轴左侧，在轴右侧时，如图：
此时，翻折后得，满足，
由得：，
故选：D．
5．B
【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴三角形向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，
当x=4时，y=42-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，
此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线的表达式为y=kx+b，
代入A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
6．A
【分析】
根据解析式求得抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据，可得，则点离对称轴较远，根据二次函数图像的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点、在该函数图像上，若，，则，
∴点离对称轴较远，则函数值较小，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据抛物线的图象特征和对称性可得①②④；将方程ax2+bx+c=3转化为函数图象求交点问题可解；通过数形结合可得⑤．
【详解】解：由抛物线对称轴为直线x=-= 1
b=2a，则①正确；
由图象，ab同号，c＞0，则abc＞0，则②正确；
方程ax2+bx+c-2=0可以看作是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2求交点横坐标，
由抛物线顶点为（-1，3）则直线y=3过抛物线顶点．
∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根．故③错误；
由抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点（-3，0）则有对称性抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）
则④正确；
∵A（-1，3），B（-3，0），直线y2=mx+n与抛物线交于A，B两点
∴当当-3＜x＜-1时，抛物线y1的图象在直线y2上方，则y2＜y1，
故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数各项系数的性质、抛物线对称性和从函数观点看方程和不等式，解答关键是数形结合．
8．B
【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可．
【详解】解：令，
解得：，
∴，
∵翻折，
∴翻折部分的解析式为：；
当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，
把代入，得：；
当直线与只有一个交点时，满足题意，
令，
整理，得：，
则：，
解得：；
综上：或；
故选：B．
9．C
【分析】根据题意，得，解得或，故两个函数有两个不同的交点，据此判断解答即可．
本题考查了图象的分布，根据交点个数判断是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
解得或，
故两个函数有两个不同的交点，
故选择C．
10．B
【分析】本题考查了坐标系中的轴对称，直角坐标系中点的特征，二次函数的顶点坐标，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用轴对称求出和的值，再利用点E到x轴的距离小于它到y轴的距离排除不合题意的和的值，最后直接求二次函数的顶点坐标即可．
【详解】解：∵点E，F关于y轴对称，点，点，
∴，
解得或，
∴或，
∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，
∴不合题意，舍去，
∴，，
∴二次函数，
∴其顶点坐标为，
故选：B．
11．A
【分析】根据表格数据得出与的数据正确，进而得出，对称轴为直线，判断甲正确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
【详解】解：根据表格可知，与时的函数值相等，
当时，，时，
∴
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线，即
∵
∴当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则，
∵对称轴为，当时，
∴当时，
即当时，是方程的一个根；
若时，则，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．3
【分析】由抛物线的对称轴公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，
∴对称轴为：直线，
解得：，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是利用抛物线的对称轴公式求解，熟练的求解抛物线的对称轴是解本题的关键．
13．①③④
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置以及与y轴交点位置判定①，由图象上横坐标为3的点在x轴上方判定②，根据点A的位置判定③，把－ 代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)判定④．
【详解】由图象可知抛物线开口向下，可得a＜0，
由抛物线的对称轴在y轴的右侧，说明a、b异号，可得b＞0，
抛物线与y轴的交点在x轴下方，可得c＜0，所以abc＞0，
即①正确；
当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，所以②错误；
已知C（0，c），OA=OC， 可得A（﹣c，0），
由图知，A在1的左边
∴﹣c＜1 ，即c＞－1，
即③正确；
把－ 代入方程ax2+bx+c="0" (a≠0)，得ac﹣b+1=0，
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，
即ac﹣b+1=0，
所以关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－ ，
即④正确；
故答案选C．
【点睛】本题考查利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．
14．
【分析】抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝2的两个解，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵ 抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点，横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝2的两个解，
∴，
∴，，
∴AB＝x1﹣x2＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解法、两点间的距离，解题的关键是把问题转为求解一元二次方程的解．
15．
【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降，可得，求得对应的x，即可求解．
【详解】解：如图，建立直角坐标系．

则顶点，，
可设抛物线的解析式为：
把代入可得：，解得
∴抛物线解析式为：．
水面下降米，即，代入抛物线解析式可得：
解得：，即
水面变宽为．
故答案为：.
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式．
16．
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，设抛物线解析式为，把代入，得到关于的方程，求解即可得到a的值．
【详解】解：过C作轴于点D．
由题意可知，
∵，
∴，
设，则，，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得；
故答案为：
17．或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上，
如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，
当对称轴在点A左侧时，，
把代入得，
解得或 (舍去)，
时，抛物线与线段没有交点，
当对称轴在点A右侧时，，
设线段所在直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
线段所在直线的解析式为，
联立，得：，
抛物线与线段没有交点，
，
，
综上，当或，抛物线与线段没有交点，
故答案为：或．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质的运用，将实际问题转化为数学问题是解题的关键；
（1）当时，代入函数关系式求出的值就可以求出结论；
（2）水面宽为时，由抛物线的对称性就可以得出横坐标为或，代入解析式就可以求出结论．
【详解】（1）解：当水面到拱桥顶部的距离为时，
，
将代入中，得：
解得：
所以水面宽为，
当水面到拱桥顶部的距离为时，水面的宽为
（2）当水面宽为时，取值为，
将代入中，得：
故水面到拱桥顶部的距离为米．
19．（1）；（2）；； ；（3）
【分析】本题考查二次函数与直线的交点问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与直线的交点问题是解题的关键．
（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则，即可求出m的取值范围；
（2）联立两个函数解析式可得，即，根据两个函数图象有两个交点得到，即可求出m的取值范围．由，可得，从而问题可等价转化为：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，；
（3）所求问题等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点时m的取值范围，结合函数与的图象即可解答．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
∴．
∴；
（2）变式：由方程组得，
即，
∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，
∴．
∴．
由，可得
∴等价转化：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，此时．
故答案为：；；．
（3）由题意，令，
∴．
∴二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点．
由题意，（）．
作图如下．

∵二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，
结合图象，可得，
∴．
20．（1）；（2）①要想每天获得元的利润，应定价为元/盒或元/盒；②售价定为元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）由表格可得日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系，设日销售量（盒）与售价（元/盒）之间的函数关系式为：，把表格中的两组数据代入可得和的值，可求得函数解析式并进行验证即可；
（2）①设利润为元，每天的利润每盒粽子的利润日销售量，取，求得相应的定价即可；
②由①中的函数关系可得二次函数的开口方向向下，所以当时，最大，把所得的的值代入函数关系式可得最大利润．
【详解】解：（1）日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系．
设日销售量（盒）与售价（元/盒）之间的函数关系式为：，
把和代入，
，
解得：．
．
当时，则，符合题意，
当时，则，符合题意，
故函数解析式为：；
（2）①设利润为元．
．
当时，
．
．
．
解得：，．
答：要想每天获得元的利润，应定价为元/盒或元/盒；
②，
∴当时，利润最大，最大利润为（元）．
答：售价定为元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是元．
21．(1)
(2)当时，随的增大而减小
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据抛物线的顶点坐标是，可得抛物线的对称轴为，再利用待定系数法求二次函数的解析式即可．
（2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标是，
∴抛物线的对称轴为，
又∵的图象经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵中，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴为，
∴当时，随的增大而减小．
22．(1)该抛物线的函数表达式为
(2)的最大值为，点的坐标为
(3)符合条件的点的坐标为：或或
【分析】（1）利用待定系数法求出该抛物线的函数表达式即可；
（2）首先确定点的坐标为，易知为等腰直角三角形，设直线的表达式为，利用待定系数法求得直线的表达式为，再结合题意可知也为等腰直角三角形，即有；设点的坐标为，则点，可知，结合二次函数的图像与性质可得有最大值，即可获得答案；
（3）首先确定平移后的抛物线解析式为，平移后得对称轴为，设点，点，然后分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，即可求得符合条件的点的坐标为．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，解得 ，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）在中，令，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，则，
设直线的表达式为，
则有，解得 ，
∴直线的表达式为，
∵轴，
∴，
又∵轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
设点的坐标为（其中），则点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）∵抛物线，，
∴由题意，该抛物线向右平移个3个单位，则平移后点的对应点的坐标为，
平移后的抛物线解析式为，
∴平移后得对称轴为，
由（2）可知，点的坐标为，
设点，点，
分情况讨论：
①当为对角线时，则有，解得，
∴；
②当为对角线时，则有，解得，
∴；
③当为对角线时， 则有，解得，
∴．
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式、一次函数图像上点的特征、二次函数图像的平移、二次函数的图像与性质以及平行四边形的性质等知识，综合性强，解题关键是运用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页